1.1 集合的概念（题型专练，4基础题型+4提升题型+培优题）数学人教A版2019必修第一册

1.1 集合的概念 题型一：集合的定义判断 1.下列说法正确的是（    ） A．，，，是两个集合 B．中有两个元素 C．是有限集 D．是空集 【答案】C 【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】在中，由集合中元素的无序性， 得到，，，是同一个集合，故错误； 在中，中有一个元素，故错误； 在中，，2，3，，是有限集，故正确； 在中，，，不是空集，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键． 2. 下列说法正确的是（    ） A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义，结合元素性质，即可容易判断. 【详解】A项中元素不确定，故不能构成集合，故错误； B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，故错误； D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素，故错误. 不超过20的非负数组成一个集合，故正确. 故选：. 【点睛】本题考查集合的定义以及元素的性质，属简单题. 3.下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 4. 下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【解析】根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论. 【详解】①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合； ②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合； ③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合； ④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合； ⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合； 故③④正确. 故选：A. 题型二：列举法表示集合 1.把集合用列举法表示为 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合 【详解】解方程得，应用列举法表示解集即为 故选A 2. 方程的解集是． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】解方程组求得，利用点集表示出解集. 【详解】由得：    解集为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用集合表示方程组的解集，属于基础题. 3. 把集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法表示集合 【分析】先解方程，再用列举法表示. 【详解】或 所以= 故选：D 【点睛】本题考查列举法，考查基本求解能力，属基础题. 4.（多选）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数或 C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 【答案】ABC 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】根据集合的概念，集合中元素的组成，以及集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，即，解得或或， 因为，所以集合用列举法表示应为，所以A错误； 对于B中，集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为为实数或，所以B错误； 对于C中，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为，所以C错误； 对于D中，由，可得且，解得，所以组成的集合为，所以D正确． 故选：ABC. 题型三 描述法表示集合 1.方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、方程组的解 【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解. 【详解】由得， 将代入得，所以， 故选：D 2. 集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为 A．{x|x是不大于7的非负奇数} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7} 【答案】A 【知识点】描述法表示集合 【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A选项，集合的元素为，符合题意.对于B选项，集合的元素包括了小数，不符合题意.对于C选项，集合的元素包括不符合题意.对于D选项，集合的元素包括，不符合题意.综上所述，本小题选A. 【点睛】本小题主要考查集合的表示方法，考查列举法和描述法，属于基础题. 3. 已知集合，，则B中所含元素的个数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合的形式，逐个验证的值，从而可求出集合中的元素. 【详解】因为， 所以时，；时，或；时，，或. 所以，所以B中所含元素的个数为. 故选：B. 4.由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 【答案】D 【知识点】描述法表示集合 【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合． 解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11． 即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}． 故选D． 点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础． 题型四：根据元素与集合的关系求参数 1.若由a2，2025a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（    ） A．0 B．2025 C．1 D．0或2025 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合的元素互异性判断即可. 【详解】若集合M中有两个元素，则a2≠2025a.即a≠0且a≠2025. 故选：C. 2.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意，令代入进行求解，依次赋值代入进行化简，把集合A中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可. 【详解】由题意，当时，， 令替换中的a，则， 则，则， 即，所以，故选B. 【点睛】 本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 3.已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 4.已知元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}， ∴a的值为0． 故选A． 【点睛】本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 题型一：判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用 1.下列说法中正确的是（    ） A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合元素的特征判断可得； 【详解】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误； 对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误； 对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确； 对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误； 故选：C 2.已知集合，若，求实数m的值． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】让集合的两个元素分别等于3，求出，并检验符合元素的互异性． 【详解】解：由，可得，，此时，不合题意； 或．（舍去）或． ． 故答案为：． 3.如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据集合的元素的互异性列出不等式，解之即得. 【详解】由集合元素的互异性可得，解得且. 故答案为：且. 4.由实数，，，，组成的集合中最多含有 个元素． 【答案】4 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】把，，，，分别可化为，，，，，根据集合中元素的互异性，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可得，此时，，，，分别可化为，，，，，所以由实数，，，，组成的集合中最多含有4个元素． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的特征的应用，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合中运算的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 题型二：列举法求集合中元素的个数、集合新定义 1. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 2.（多选题）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可. 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 3.下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】判断数所在数域，得到正确答案. 【详解】为实数，①正确；是无理数，，②正确； 是自然数，③正确；，④错误， 故选：C 4. 定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ） A．0 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【知识点】列举法表示集合、集合新定义 【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D． 考点：元素的互异 点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍 题型三：利用集合中元素的性质求集合元素个数 1.设A、B是非空数集，定义：AB={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合AB的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由已知集合及新定义的运算可求集合AB，即得到元素个数 【详解】∵AB={a+b|a∈A，b∈B}，又A={1，2，3}，B={4，5，6} ∴AB={5，6，7，8，9} 故AB的元素个数为5个 故选：B 【点睛】本题考查了集合的概念，运用新定义求集合，并应用集合的元素的互异性确定元素，从而求得元素个数 2.若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】将集合中元素逐个代入中计算的值，然后根据元素的互异性得到集合的组成. 【详解】由，得，当，1时，；当，0时，；当时，；当时，.故集合，故选C. 【点睛】本题考查对集合的两种表示方法的理解，难度较易.通过运算得到函数值的集合时，注意利用互异性对函数值进行取舍. 3.已知集合，集合，则集合中元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】直接带值求出z可能的取值，即得B集合元素的个数． 【详解】集合A＝{1，2，4，8}，集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1，2，4，8，16，32，64}， 集合B中元素的个数为7． 故选A． 【点睛】本题考查集合的基本概念，考查集合的互异性,是基础题 4.已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（    ） A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15 【答案】B 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】先去掉绝对值，转化为两个方程，针对方程根的情况进行讨论． 【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②． 由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和． ，对于方程①，． 方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6． 而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3， 在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9； 当时，方程②无实根，故P中元素和为6； 当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6， 故P中元素的和为12. 故选：B． 题型四：根据集合中元素的个数求参数 1.已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可. 【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素， 所以，解得. 故选：C 2.已知集合，若中只有一个元素，则的值是（    ） A． B．0或 C．1 D．0或1 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了. 【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解； （1）当时，方程化为，只有一个解； （2）当时，若只有一个解，只需，即； 综上所述，可知的值为或. 故选：B 【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题. 3.如果集合只有一个元素，则的值是 A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值. 【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解. 当，，合乎题意； 当时，则，解得. 综上所述：或，故选D. 【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题. 4.若集合中只有一个元素，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【解析】分和两种情况讨论，结合集合中只有一个元素可求得实数的值. 【详解】当时，，合乎题意； 当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得. 综上所述，或. 故选：D. 1.下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合、判断元素与集合的关系 【分析】直接由元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】①集合中最小数为，故①错误； ②取，则，故②错误； ③若，，则的最小值为2，错误，当时，，故③错误； ④所有的正数组成一个集合，故④正确； 故选：B. 2.下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法求集合中元素的个数、集合的分类 【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案. 【详解】对于A，因为，，则，，故A 错误； 对于B，因为，，则， 所以，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，有无数个元素.故D正确. 故选：D. 3.（多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 4.（2010·福建·高考真题）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断． 【详解】非空集合S={x|m⩽x⩽l}满足：当x∈S时,有∈S. 对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对； 对于②，若m=,满足∈S时,有，∴ ≤ l ≤ 1，②对； 对于③，若l=，可得，则.∴③对 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 题型一：集合的定义判断 1.下列说法正确的是（    ） A．，，，是两个集合 B．中有两个元素 C．是有限集 D．是空集 2. 下列说法正确的是（    ） A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 3.下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 4. 下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 题型二：列举法表示集合 1.把集合用列举法表示为 A． B． C． D． 2. 方程的解集是． A． B． C． D． 3. 把集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）给出下列说法，其中不正确的是（    ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为为所有实数或 C．方程组的解组成的集合为 D．方程的所有解组成的集合为 题型三 描述法表示集合 1.方程组的解集可表示为（    ） A． B． C． D． 2. 集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为 A．{x|x是不大于7的非负奇数} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7} 3. 已知集合，，则B中所含元素的个数为（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 4.由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 题型四：根据元素与集合的关系求参数 1.若由a2，2025a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（    ） A．0 B．2025 C．1 D．0或2025 2.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 3.已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型一：判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用 1.下列说法中正确的是（    ） A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 2.已知集合，若，求实数m的值． 3.如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是 ． 4.由实数，，，，组成的集合中最多含有 个元素． 题型二：列举法求集合中元素的个数、集合新定义 1. 定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 2.（多选题）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 3.下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ） A．0 B．2 C．3 D．6 题型三：利用集合中元素的性质求集合元素个数 1.设A、B是非空数集，定义：AB={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合AB的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，集合，则集合中元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4.已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（    ） A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15 题型四：根据集合中元素的个数求参数 1.已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 2.已知集合，若中只有一个元素，则的值是（    ） A． B．0或 C．1 D．0或1 3.如果集合只有一个元素，则的值是 A． B．或 C． D．或 4.若集合中只有一个元素，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 1.下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.下列集合中有无数个元素的是（    ） A． B． C． D． 3.（多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 4.（2010·福建·高考真题）设非空集合S={x| m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S . 给出如下三个命题： ①若m=1，则S={1}；②若m= ，则 ≤ l ≤ 1；③ l=，则 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 学科网（北京）股份有限公司 $$