广东珠海市部分校2025-2026学年第二学期期末练习高一数学（B类）

**基本信息** 注重知识体系整合与核心素养分层考查，通过基础巩固、能力提升与创新应用梯度设计，适配高中数学期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约40分|函数与导数、立体几何、概率统计|以科技情境为载体，考查运算能力与推理意识，融入数据分析与模型构建，呼应真题情境化命题趋势|

2025-2026学年第二学期期末练习(B类) 高一数学参考答案及评分标准 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B A D A ACD ACD AB 3 √6 0 6 1.【答案】B 【详解】由(1+i)z=2,得z=, 22-)1-1,所以zP+(-可=5故选B 1+i(1+i)(1-i) 2.【答案】A 【详解】向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c, 所以2x-4=0,-4=2y,得x=2,y=-2,则x+y=0.,故选A 3.【答案】D 【详解】对于A:若∥c,/∥，则，n可以平行或相交或异面，故A错误； 对于B:若m/∥，m⊥n,则n⊥a或n/∥a或nCa,故B错误； 对于C:若⊥a,⊥n,则n∥a或nCa,故C错误； 对于D:若⊥a,nca,则⊥n,故D正确 4.【答案】C 【群解由、5血uoa名得a名号 所以os0u-骨=co2a-引=1-2smu-吾=1-2x-3故选：C. 5.【答案】A 【详解1.加-+创=+名-+应+-+名-8+3放选A 6 6 6.【答案】D 【详解】：取AA,的中点F,连接DF,EF,则EFD,C1为截面，设棱长为a,V正=3， D =写咖，4=g-叫-长 11 4 7.【答案】A 【详解】：由圆锥内切球的表面积为16π，可知半径为2，设内切球球心为O,PO=x 参考答案第1页共10 APCO∽APDB→OC=PO2 BDPB4N(x+2)+4P⊙s0 3 可以得出圆锥的高为号，母线长为9，由侧面积公式可符8 3 B 8.【答案】C 【详解】：因为tamA+tanB=tan(A+B)l-tanAtanB],又A+B+C=π，则tam(A+B)=-tanC,可 得tmB=5,B-胥由余弦定理得=a2+c2-2acoe写=d2+e2-ac,又因为护-音c,可 3 3 a c b 2b 得a2+c2= 3ac,再由正弦定理可得sinA sinC 万，可得mA=5mc-yc Sin 26 2b 3 sin A+sinC= 5(a+c)V5 (a+c)2 ac +2ac V39 2b 4 ac 3 Rc 9.【答案】：ACD 【详解】：设1=41+b1,52=a2+bi,则12=(a1a2-b2)+(a1b+a2)2,则 ==V(aa3-b)2+(ab3+a)2==V(a2+b2a2+b2),A正确 取-=1+i,得B错误 1=4+,=a,-,则=a42+2=,所以C正确 (+2=2+252+2,(5-2)2=2-252+2,所以D正确 10.【答案】1：ACD 【详解】：因为/，则(2c-b)cosA=acosB, 2sin C cos A=sin B cos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C 得cosA=1 方4=行，则A正确 参考答案第2页共10 若a=5.8=则m8-mc-m-)=35,山正弦定理可得 2 8 品。2，则：=355，则B错 4 若a=2,由余弦定理可得b2+c2=4+bc,又因为b2+c2≥2bc,可得bc≤4bc≤4， ecm-5csV5,C正确 2 34 由M为8c的中点，则i-函+A0,则- 21V b3+c2+2bccos=v2bo+4513 D正确 11.【答案】1：AB 【详解】：因为△4BD面积为定值，B,D/I平面BD,则点P到平面ABD距离是定值，所以 三棱锥P-ABD的体积为定值，A正确， 连接BM,过点M作平面B,DB的垂线，垂足为H,则H为靠近B线段B,D的四等分点，过 点H作棱BD的垂线交棱BD于点N,连接MN,则∠WH即为二面角M-DB-B的平面角， 自-只-2，所以0=m∠Aa号则8正确 2 三角形ABD是边长为2√2的等边三角形，连接AC交平面ABD于点G,则 C1平面0，且G0=子4G-5，所以三枝锥G-ABD的体积为 3 3 v=×22xsm二×4y5-8,所以c错误， 32 333 如图，过点O作平面BCCB的垂线，垂足为O,过点Q作BM的垂线交BB和CC于点 H,F,则H,F分别为BB,和CC的四等分点，由三垂线定理可得：若E∈HF,则OE⊥HF: 再过点H作AA的垂线交AA于点G,可以得出矩形HGIF,则点E的轨迹长度为矩形HGIF 的周长，即2√5+4，所以D错误. 81 01 参考答案第3页共10 12.【答案】3 【详解】：因为ā6=同个，（位+2）(a-)=+8=4,则同=3. 13.【答案】V6 6 【详解】：连接BE,则FB⊥平面B,BCC1,所以∠BEF为直线EF与平面B,BCC,所成角 设正方体边长为2，则BF=CE=L,BC=2三BE=√5，EF=√6 所以sin∠BEF= BF 1 6 ,故答案为6 EF√66 D C A B D B 14.【答案】0 【详解】因为a=2 bsinC,由正弦定理得sinA=2 sinBsinC, 因为A+B+C=元，所以A=π-(B+C),则sinA=sin兀-(B+C)=sin(B+C), 又因为sinA=2 sinBsinC,所以sin(B+C)=2 sinBsinC, sinBcosC+cosBsinC 2sinBsinC, 由于△ABC是锐角三角形，sinB≠0，sinC≠0，等式两边同时除以sinBsinC, 得到cosC+cosB 2,即1+1 =2, sinC sinB tanc tanB 因为A+B+C=元，所以A=兀-(B+C),则tanA=-tan(B+C)= tanB+tanC 1-tanBtanC 所以4-tanptanc=-4机=tanBtanC）_tanptanc, tanA 2 tanB+tanc 2 由、 ,1=2,可得tanB+tanC=2 etanBtanC,令t=tanBtanC, tanc tanB 由△ABC是锐角三角形知taA>0,tanB>0,tanC>0,t>1, 则4-tanBtanC=-41-0.1=2-2- I, tan 2 2t2 t2 根据基本不等式得2.21=2-2+)s2-2=0,当且仅当1=2时等号成立， t2 参考答案第4页共10 即41 tanBtanC的最大值为0. tand 2 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.己知2 bcosC+c=2a (1)求角B的大小： (2)设a=2,c=3,求b和cos(2A-B)的值 【解1：(1)因为2bc0sC+c=2a,所以2622+52-c =2a-C.… ..2分 2ab 化简得a2+b2-C2=ac,.........3分 即c0s8=Q2+c2-b21 2ac 2 5分 又B∈(0，)，所以B=刀 3 6分 (I)在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B= Γ3 有b2=a2+c2-2acc0sB=7,故b=√万...... 8分 由64=a血8，可行mA=月.因为a<0,故sA=2行 3 9分 7 因此sim2A=2si4cosA= 4W > 2，c0w2A=2c0r2A-1=1 711分 所以，cos(2A-B)=cos2 AcosB+sim2 Asin B=x}+45x5_13 13分 727214 16.(15分)已知f(x)=V3cos2x+2 sinxcosx-√5sinx (1)求函数f(x)的周期： Q诺2+2 2W3 3， 且昏<a<,求ma的值： (3)求f(x)在区间 126 上的最值及相应的x值. 【解】(1)f(x)=V3cos2x+2 sin x cosx-V3sin2x=2 sinx cosx+V3(cos2x-sim2x） =m2+5cos2x=2m2+到，故f)-2sim2x+写 ..4分 函数f(x)的周期T= 2π =万 .5分 0 a)由倍+引29可，2s*引+引-2ma引2oa= 2V3 2 3 参考答案第5页共10 化简得cosa=- .8分 因为5<a<元，所以sina=-cosa=6 9分 (3)因为x∈ 26 所以2x+好到8 .10分 所以当2x+弩名时，f)取到最小值为2m名1，北时x= ..12分 6 12 当2x+否号时，了心取到最大值为2sm受2，此时号 .14分 所以当=晋时，心取到放小值1当=音时。取到放大值215分 17.(15分)如图，设Ox,O是平面内相交成(0<a<)的两条射线，？，e2分别为Ox, O同向的单位向量，若向量OP=x+吧，则把有序数对（化，）叫做向量在斜坐标系 a-xO中的坐标，记为OP=(x,y) e21 (1)在斜坐标系xOy中，OM=(3,2,求OM: 3 （Q在斜坐标系-0中，0P=L2),00-(10,且o与00的夹角0-写 ①求a; ②A,B分别在射线Ox,Q上，4B=4,B,P为线段AB上两点，且A正=AB,AF=AB, 求OE.OF的最小值 【解】：(1)因为0M=(3,2),所以OM=32+22, .1分 所以07=(3e,+2g)=9e,+12e+4e,2-19, 。。。。。。。。。 .2分 所以OM=V19.(佣余弦定理解题给分)…。 .3分 (2)①因为0P=(1,2)=e+22,00=(1,1)=-e+e2, 所以=Vg+2g=5+ee,0@=+e=2-22e, 4分 得到0n.00=(g+2e)(-g+e2)=2-1-226+662=1-682,5分 参考答案第6页共10 则cos6 0p.00 1-ee 1 oP.oo V5+4g·g,V2-2ge 2’6分 化简得2g6-gg-1=0,解得6g,=cosa=- 5或e2=cos=1(舍去)7分 则a=2 8分 ②依题意设OA=mg,OB=ne,(m>0,n>0), 正=专4B,os=01+号o呢=s+g, 2」 3 9分 同理亚号西，o丽-+死-+ 1 .10分 则远亦-+j+网 ..11分 在△0Aa中，A0B=,hB=4,QA-=m,o8-网=n, 依据余弦定理得coS∠AOB 0+08"-AB"m+n-16_1 204 OB 21m 2 整理得m2+n2+m=16..… .12分 9 ..13分 m+n+m=l6≥3m,m≤5，当且仅当m=n 4W3 时等号成立..14分 3 死0示2-号}；即玩示的说个值为 .15分 18.(17分)现有两个含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图， △PAB与△PCD为这两个三角板，其中PA=PC=I0cm,∠PBA=∠PDC=30°.初始时， 两三角板的直角顶点重合于点P,斜边AB,CD共线现将两三角板绕点P展开，在展开的 过程中保持AB与CD平行，展开后得到四棱锥P-ABCD B (I)求证：平面PAC⊥平面ABCD; 参考答案第7页共10 (2)设平面PAB⌒平面PCD=1. (i)求证：l/平面ABCD: (ⅱ)当二面角A-1-C的大小为多少时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值？求出该最 大值 【解】(I)由AB与CD平行且相等，得四边形ABCD为平行四边形， 1分 所以O为AC,BD的中点.又由于PA=PC,PB=PD, 所以PO⊥AC,POLBD,.3分 又因为AC,BDC平面ABCD,AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.....4分 又POC平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD;. 5分 (2)(i)因为AB∥CD,ABE平面PCD,CDC平面PCD, 所以AB/平面PCD,… 6分 又因为ABC平面PAB,平面PABO平面PCD=I,所以AB∥1..8分 又因为I工平面ABCD,ABC平面ABCD,所以I//平面ABCD.9分 (i)作PE⊥CD,PF⊥AB,垂足分别为E,F, p D E 因为AB∥CD∥1，所以PE⊥1，PF⊥1，.10分 所以∠EPF是二面角A-1-C的平面角11分 因为PB=PF=53,0为EF的中点，12分 所以∠EPO=∠OPF,设∠EPO=∠OPF=0 则P0=5√5c0s0,EF=20B=10W3sin0.....13分 因为PE⊥AB,PF⊥AB,PE∩PF=P,PE,PFC平面PEF, 所以AB⊥平面PEF,所以AB⊥EF.15分 F以.8c2-x20x10W3sim0x5V3cos0=50sin20≤500.16分 当且仅当20=90°，即二面角A-1-C的大小为90°时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大 值500cm3.17分 参考答案第8页共10 19.(17分)三角形的布洛卡点由数学家布洛卡首次发现，当△ABC内一点P满足 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=日时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角日为布洛卡角.如图， 在斜△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,点P是 △ABC的布洛卡点，布洛卡角为日. B (I)当△ABC为等边三角形，△4BC的布洛卡角为0，求tanO的值： 2证明：】。-++c其中S为△4BC的面积 4S (3)当AB=AC且Pc=√3PB时，求tanO的值； π 解：(1)△4BC为等边三角形，布洛卡点P为△4BC的中心，所以布洛卡角8=石，则 tan6=tam产=V3 …2分 63 BP a （2)在△BCP中，由正弦定理可得 ………4分 im(C-f)sim(π-C) 在A8P中，由正弦定理可得D: sim8sim(π-B)’ …6分 两式相除得sin(-0-csinc_c2 …8 sin asin B ab 分 将分子展开得smC …9分 tane COSC=c2 ab 化简得imC-2+2+62-c2a2+62+c tana ab 2ab 2ab 即，1=2+b2+c2a2+62+c2 …10分 tan 0 2ab sin C 4S (3)当AB=AC时，△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB,AB=AC=b 而∠ABC=∠PBA+∠PBC,∠ACB=∠PCA+∠PCB,∠PBC=∠PCA=O,则∠PBA=∠PCB, 又∠PAB=∠PBC,则△PAB~APBC,…12分 PB_BC=PC=3 PA b PB 则2CVB6,S8eV)鸭E8b2au5分 4 参考答案第9页共10 1a2+b2+c2b2+b2+3b25 由(1)可得tm0 4S 4x5625, 4 所以tan6= 3 …17分 参考答案第10页共10注意事项： 1.答卷前 2.回答选 黑。如需改动， 答题卡上。写 3.考试结 一、选择题： 有一项是？ L.已知i为虚 A.1 2.设x,yeR A.0 3,已知m,n A.若m∥ C.若m⊥ 4.已知3sim 5.在平行四 点，点F在B副 2025-2026学年度第二学期期末练习 高一数学(B类 ，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 在本试卷上无效。 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 符合题目要求的。 数单位，且复数z满足( (1+i)z=2， $$B . \sqrt 2$$ C.2 $$D . 2 \sqrt 2$$ 向量 $$\overrightarrow { a } = \left( x ， 1 \right) ， \overrightarrow { b } = \left( 1 ， y \right) ， \overrightarrow { c } = \left( 2 ， - 4 \right) ， 且 \overrightarrow { a } \bot \overrightarrow { c } ， \overrightarrow { b } \parallel \overrightarrow { c } ，$$ ，则 x+y= B.1 C.2 D.3 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 α，n∥α， ，则 m∥n B.若 m∥α，m⊥n， ，则 n⊥α α，m⊥n， ，则 n∥α D. 若 m⊥α，n⊂α， ，则 m⊥n $$\alpha - \cos \alpha = \frac { 6 } { 5 } ，$$ $$， 则 \cos \left( 2 \alpha - \frac { \pi } { 3 } \right) =$$ $$B . - \frac { 1 6 } { 2 5 }$$ $$C . \frac { 7 } { 2 5 }$$ $$D . \frac { 2 4 } { 2 5 }$$ ABCD 中，设AB $$= \overrightarrow { a } ， \overrightarrow { A D } = \overrightarrow { b } ，$$ ，E 是对角线 AC 上靠近点 A 的三等分 上，若 BF=FE， ，则 $$\overrightarrow { A F } =$$ $$\frac { 1 } { 6 } \overrightarrow { b }$$ $$B . \frac { 1 } { 6 } \overrightarrow { a } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { b }$$ $$C . \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { a } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { b }$$ $$D . \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { a } + \frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { b }$$ 数学试题第1页(共6页) 6.如图，正方体AB( 正方体为两部分，其 人品 7.已知圆锥的底面半径 A.505 8.记△4BC的内角4 公-e,则如4+ A.30 4 二、选择题：本题共3 多项符合题目要求 9若名，2为复数，则 A.3= C.云=间 10.在△4BC中，内角 日=a,2c-,满足/ AA=号 B.若a=5,cosB=3 C.若a=2,则△ABC的 D.若a=2,点M为BC D-AB,C,D,E为棱BB,的中点，用过点C,D,E的平面截得 本积分别为，，化<)，则可 的值是 1 B. C. D. 6 3 为4，圆锥内的最大球的表面积为16π，则该圆锥的侧面积为 B.16√2元 C.20r D.15元 C的对边分别是a,b,c,已知tanA+tanB+tanC=√3 tan Atan C, C= 2 C.39 D.6+2 4 4 小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 下列选项一定正确的是 B.z子= D.(亿+z)}+么-2}=2(2+z) AB,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(osA,cosB), ，则 则c-3v5-V万 8 面积最大值为√ 的中点，则4M的最大值为√5 数学试题第2页（共6页） 11.如图，在棱长 点（包括端点）， D D A.三棱锥P-A B.连接BM,则 C.三棱锥C,-4 D.0为正方体自 轨迹周长为25 三、填空题：本 12.若向量ā与向 13.如图，在正方 平面BBCC所i 14.在锐角△AB 4 2的正方体ABCD-AB,CD,中，M为B,C的中点，P为线段BD上动 则下列说法中正确的是() M B BD的体积为定值 二面角M-DB-B的平面角正弦值为； 8D的体积为号 中心，点E在正方体的表面上运动，且OE⊥BM,则点E所构成的 6 题共3小题，每小题5分，共15分。 量6的夹角为60，=2，(a+2b)(ā-b)=4,则同= 体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为棱CC,AB的中点，则直线EF与 D 文角的正弦值是 A D B 中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2 bsinC,则 的最大值是 数学试题第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小 15.(13分) 在△MBC中，内角A,B,C (1)求角B的大小： (2)设a=2,c=3,求b 16.(15分) 已知fx)=V3cos2x+2s ()求函数f(x)的周期： 法6+)29 3 B)求f在区间 12'6 17.(15分) 如图，设Ox,Oy是平面 向的单位向量，若向量OP 中的坐标，记为OP=(xy) e 0在斜坐标系号xO中，无 (2)在斜坐标系a-xO中，O ①求a: ②A,B分别在射线Ox,O 示，求正.0F的最 题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 所对的边分别为a,b,c.已知2 bcosC+c=2a Icos(2A-B)的值， xcosx-3sin'x. 且<a<元，求sina的值： 上的最值及相应的x值. 相交成a(0<a<)的两条射线，g,马分别为Ox,O同 x阳+y只，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系a-xO M=(3,2,求OM: P=2,00=(1),且0P与0的夹角0=号 上，h=4,E,F为线段AB上两点，且正=丽， 小值 女学试题第4项（共6页） 18.(17分) 现有两个含30°角的 为这两个三角板，事 角项点重合于点P, 持AB与CD平行， B 1)求证：平面PAC (2)设平面PAB∩平 (i)求证：1∥可 (ⅱ)当二面角A 该最大值 全等直角三角板，较短直角边长均为10cm,如图，△PAB与△PCD 中PA=PC=I0cm,∠PBA=∠PDC=30°初始时，两三角板的直 斜边AB,CD共线现将两三角板绕点P展开，在展开的过程中保 展开后得到四棱锥P一ABCD :D A D B ⊥平面ABCD: 面PCD=I 面ABCD: !-C的大小为多少时，四棱锥P-ABCD的体积取得最大值？求出 数学试而6而） 19.(17分) 三角形的布洛卡点由数学家布洛卡首次 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=O时，则称点 如图，在△ABC中，角A,B,C所对的 是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为0. P (I)当△ABC为等边三角形，△ABC的布 (2)证明： 1。++C其中s为 tan 45 (3)当AB=AC且PC=√PB时，求tan6 发现，当△ABC内一点P满足 P为△ABC的布洛卡点，角9为布洛卡角. 边分别为a,b,c,记△ABC的面积为S,点P 洛卡角为0，求tan0的值； 4BC的面积) 的值；