广东深圳市龙岗区2025-2026学年第二学期高一期末质量监测数学试卷

2025-2026学年第二学期高一期末质量监测 数学试卷 本试卷共4页．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级填写在答题卡上．将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位），则 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 3．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．知向量，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为 A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为 A． B． C． D． 8．如图，在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点，则的余弦值为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是 B．数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是23 C．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为32 10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用表示红色骰子的点数，表示绿色骰子的点数，定义事件：“”，“为奇数”，“”，则下列结论正确的是 A．事件与互斥 B．事件与是对立事件 C．事件与相互独立 D．事件与相互独立 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为 A．存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线与所成的角的大小为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，的夹角为，，，则_____________． 13．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为_____________． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角，，所对应的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 16．（15分） 当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势．教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （3）体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，点、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 18．（17分） 每年的3月14日为国际数学日，也被称为“日”，某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为、；在第二轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为、．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．若甲、乙各有一轮胜出的概率为，甲、乙两轮都胜出的概率为． （1）求第一轮比赛中，甲、乙两人都获胜的概率； （2）求和的值； （3）求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面是平行四边形，且，，． （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $