广东东莞市2025-2026学年第二学期教学质量自查高一数学试卷

2025一2026学年度第二学期教学质量自查 高一数学参考答案 一、 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D B B D C 二、多项选择题 题号 0 10 11 答案 ABD AD ACD 三、填空题 1 12. 2 13. 14.2 3 四、解答题 15.解：(1)x=200-(40+60+20+30)=50, .1分 20 200 =0.1，.2分 月均用电量的平均数约为： 75×0.2+125×0.25+175×0.3+225×0.1+275×0.15..... 4分 =175+(-100)×0.2+(-50)×0.25+0×0.3+50×0.1+100×0.155分 =175-12.5=162.5kW-h:.6分 （2)因为前三组的频率之和为：0.2+0.25+0.3=0.75<0.8，…8分 前四组的频率之和为：0.2+0.25+0.3+0.1=0.85>0.8,10分 所以频率为0.8时对应的数据在第四组，则200+08-075 =225kW.h. 12分 0.1÷50 即第一档月用电量标准上限约为225kW.h。.13分 16.证明：(1)如图，连接BD交AC于点O,连接EO,1分 因为四边形ABCD为正方形，所以O是BD中点，3分 所以EO是△BDP中位线，所以EO/PD,.5分 PD丈平面ACE,EOC平面ACE,所以PD/平面ACE;.7分 A 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD,BC⊥AB, f所以BC1平面PAB，.9分 高一数学参考答案第1页共5页 因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC, .10分 又因为PA=AB,E分别是PB的中点，所以AE⊥PB,12分 因为BC,PBC平面PBC，,BC∩PB=B,所以AE⊥平面PBC, .14分 因为AEC平面AEC,所以平面PBC⊥平面ACE .15分 17.(1)因为√3 asin C+acos C=b+c 由正弦定理得√3 sin Asin C+sin Ac0sC=sinB+SinC.… .1分 在△4BC中sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinc… 2分 f所以V3 sin Asin C=sinC c0SA+SinC.3分 图为sinC>0,所以V3sinA=cosA+1,即smA-元} ……4分 因为A∈(0，T),所以A=2 5分 (2)证明：在△ABC中，由CD=3DB AD=AC+CD-4C+3CB-4C+3(AB-AC)=3B+4C .6分 由2A正=3AB,得A讴-3B 2 .7分 白丽=元，得亚-}灭 8分 即2AD=A正+A,所以AD-A正=AF-AD9分 即ED=DF,所以D,E,F三点共线.10分 (5)5uCm …12分 22 2 16 在△4BC中，由余弦定理得，d2=b2+c2-2 b.c.cos4,即b2+c2-bc=4, …13分 由基本不等式得b2+c2-2bc≥b:c,所以b·c≤4，当且仅当b=c=2等号成立；.14分 所以SA4BF 35be535,即当b=c=2时，A4Br面积取最大值为35 -b·C≤ .15分 16 4 4 18.(1)如图1，过点A作ABE⊥BD交BD于点E,连接CE,1分 因为△ABD与△CBD对应三边相等，所以△4BD三△CBD,所以CE⊥BD,2分 又因为AE,CEC平面ACE,AE∩CE=E,所以BD⊥平面ACE,3分 因为ACC平面ACE,所以AC⊥BD..4分 y 图1 B (2)如图2，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F,过点F作FG⊥BC交直线BC于点G, 连接AG,过点F作FH⊥CD交直线CD于点H,连接H,.5分 因为BD⊥平面ACE,AFC平面ACE,所以AF⊥BD, 高一数学参考答案第2页共5页 因为BD,CEC平面BCD,BD∩CE=E,所以AF⊥平面BCD, .6分 因为AF⊥平面BCD,FG,BCC平面BCD,所以AF⊥FG,AF⊥BC, 又因为AF,FGC平面AFG,AF∩FG=G,所以BC⊥平面AFG AGC平面AFG,所以BC⊥AG, .7分 所以二面角A-BC-D为∠AGF,所以a=∠AGP,且tana= AF FG 8分 同理可证二面角A-CD-B为∠A证，即，B=∠4HP,且tnB= FH 9分 又因为BC=2,DC=1,BD=√5，所以BC2+CD2=BD2,即BC⊥CD, 所以四边形CGFH为矩形，可得FH=CG,9分 AF 因为ACGF-ADCB,所以C-BC-2,所以aC-Pg FH 1 CG CD tan B AF FG2.11分 EH 图2 B (3)由(1)得二面角A-BD-C为∠AEC,即日=∠AEC, 由(2)可得0<a<B<7,当B-au最大时，即tan(B-)最大 tana tan(B-a)-tan anc 2tand-tanc tan 1+2tan'a 1+2tan'a +2tana 22, tana 当且仅当。 -=2tana (tana >0)Btana= √2 ,tanB=√2时等号成立，12分 tana 在A4BD,ACBD中，AE=CE=BC,CD-2 BD-√5 ，.13分 设AF=,因为ma-2,A=5,所议G-Vax,H- -X14分 2 CF=VFG+FH=10 2xEF白2-Y1O -x, 2 .15分 在RtAAEF中，AF2+EF2=AE2, (x=0舍去)，.16分 高一数学参考答案第3页共5页 4W2 所以sin0= AF 7 2W10 AE 2 > .17分 5 19.(1)设甲第i场胜为事件A,则P(A)=卫，且事件A相互独立1分 ①若甲获得第四名，即A,A都不发生，2分 所以甲获得第四名的概率为P4A,)=2×24: 111 4分 ②甲总共进行了3场比赛包含3种情况： r甲连胜2场进入决赛，其概率为PA4)=X24 1.11 ⊥×1x1=1 x甲第1、3场失败，第2场胜利，其概率为P44,A)=2×2×28” 3甲第2,3场失败，第1场胜利，其概率为P444子×分×发 上面3种情况为互斥事件，所以P0=++上-1 4882 .7分 甲获得冠军包含3种情况 1r甲连胜3场，其概率为P444)=××}-1 2228 11111 2甲第1场失收，第2、3、4场胜利，其概率为P(4444)=方77×7 3甲第2场失败，第1、3、4场雅利，其概率为P4A4,A)=2×2×2?16 1x111-1 面3种情视为互斥事件，所以P)=。+】+1=】 8161641 9分 1111 事件N为甲比赛3场且获得冠军，即甲连胜3场，所以P(MW)= .10分 2228 为POMP(N】三三P0W,所以事件M,V相互独立五 (2)在单败淘汰赛赛制下，甲获得冠军，即甲连胜2场，其概率为卫=p×卫=卫，12分 在双败赛赛制下，甲要想获得冠军，有三种情况： 1°甲连胜3场，其概率为p×p×卫=p, 2甲第1场失败，第2、3、4场胜利，其概率为Q-p)×p×p×p=p(1-p), 3°甲第2场失败，第1、3、4场胜利，其概率为p×(1-p)×p×p=p1-p), 所以A获得冠军概率为：卫=p3+p3(1-p)+p3(1-p)=p(3-2p),14分 因为B-月=p(3-2p-p=p[3-2)-1]=p3p-2p-)=-p2p-(p-,15分 当p=1时，有乃=： 1 当0<p<2时，有B-P<0: 高一数学参考答案第4页共5页 当分p<1时，有月-名>0， .16分 所以，当卫=与时，两种赛制一样： 当0<p<方时，单败淘汰赛赛制对甲有利： 昏)卫<时，双败漆泰制对甲有利心一1门分 高一数学参考答案第5页共5页 2025—2026学年度第二学期教学质量自查 高一数学 一、单项选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． 2．已知数据：1，2，2，2，3，3，将这组数据的每个数值加上2后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 3．已知非零向量，满足，则 A．，共线 B．，垂直 C．，模相等 D．或为单位向量 4．直角梯形中，，，以所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周形成的面所围成几何体的体积为 A． B． C． D． 5．从互不相等的5个数中随机去掉2个数，则极差变小的概率为 A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，则 A． B． C． D． 7．记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么 A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 8．已知，是异面直线，平面，平面．若存在一条直线，同时满足，，，，则 A． B． C．与相交，且交线与平行 D．与相交，且交线与垂直 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9．已知是虚数，设是的共轭复数，则下列说法正确的有 A．是实数 B．是纯虚数 C． D． 10．某学校高一年级有男生640人，女生360人．为获取该校高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为175，方差为36，女生样本的均值为165，方差为36．如果已知男、女样本量按比例分配时，总样本均值为171.4，方差为59.04．如果已知男、女的样本量都是50，则下列说法正确的是 A．总样本的均值小于171.4 B．总样本的均值大于171.4 C．总样本的方差小于59.04 D．总样本的方差大于59.04 11．定义非零向量，的一种新运算（为向量，的夹角），则下列说法正确的是 A．若，则 B． C．若，，则 D．若，，则的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12．已知向量，为单位向量，向量在向量方向的投影向量为，则______________． 13．已知球的半径为1，正三棱锥的顶点为，底面的三个顶点，，均在球的球面上，则当该三棱锥的侧面积最大时，与平面所成角的正弦值为_______________． 14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15．（本小题满分13分） 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 40 0.2 x 0.25 60 0.3 20 y 30 0.15 合计 200 1.00 （1）请求出频率分布表中，的值，并估计月均用电量的平均数； （2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，使80%的居民缴费在第一档，请估计第一档月用电量标准上限（最大值）． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17．（本小题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，，为三条边所在的直线上的点，且满足，，． （1）求角； （2）证明：，，三点共线； （3）若，求面积的最大值． 18．（本小题满分17分） 如图，在三棱锥中，，，．记二面角为（），二面角为，二面角为． （1）证明； （2）求的值； （3）当最大时，求． 19．（本小题满分17分） 在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立． （1）若． ①求甲获得第四名的概率； ②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $