广东东莞市2025-2026学年第二学期教学质量自查高一数学试卷

2025—2026学年度第二学期教学质量自查 高一数学 一、单项选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为 A． B． C． D． 2．已知数据：1，2，2，2，3，3，将这组数据的每个数值加上2后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是 A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 3．已知非零向量，满足，则 A．，共线 B．，垂直 C．，模相等 D．或为单位向量 4．直角梯形中，，，以所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周形成的面所围成几何体的体积为 A． B． C． D． 5．从互不相等的5个数中随机去掉2个数，则极差变小的概率为 A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，则 A． B． C． D． 7．记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么 A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 8．已知，是异面直线，平面，平面．若存在一条直线，同时满足，，，，则 A． B． C．与相交，且交线与平行 D．与相交，且交线与垂直 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9．已知是虚数，设是的共轭复数，则下列说法正确的有 A．是实数 B．是纯虚数 C． D． 10．某学校高一年级有男生640人，女生360人．为获取该校高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为175，方差为36，女生样本的均值为165，方差为36．如果已知男、女样本量按比例分配时，总样本均值为171.4，方差为59.04．如果已知男、女的样本量都是50，则下列说法正确的是 A．总样本的均值小于171.4 B．总样本的均值大于171.4 C．总样本的方差小于59.04 D．总样本的方差大于59.04 11．定义非零向量，的一种新运算（为向量，的夹角），则下列说法正确的是 A．若，则 B． C．若，，则 D．若，，则的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12．已知向量，为单位向量，向量在向量方向的投影向量为，则______________． 13．已知球的半径为1，正三棱锥的顶点为，底面的三个顶点，，均在球的球面上，则当该三棱锥的侧面积最大时，与平面所成角的正弦值为_______________． 14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15．（本小题满分13分） 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 40 0.2 x 0.25 60 0.3 20 y 30 0.15 合计 200 1.00 （1）请求出频率分布表中，的值，并估计月均用电量的平均数； （2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，使80%的居民缴费在第一档，请估计第一档月用电量标准上限（最大值）． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，分别是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17．（本小题满分15分） 在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，，为三条边所在的直线上的点，且满足，，． （1）求角； （2）证明：，，三点共线； （3）若，求面积的最大值． 18．（本小题满分17分） 如图，在三棱锥中，，，．记二面角为（），二面角为，二面角为． （1）证明； （2）求的值； （3）当最大时，求． 19．（本小题满分17分） 在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立． （1）若． ①求甲获得第四名的概率； ②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $