4.2　4.2.2　第2课时　指数函数的图象和性质的应用-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦指数函数图象和性质的应用，通过思维导图衔接已学的单调性等性质，构建“性质理解-不等式求解-单调区间探究”的学习支架，帮助学生从概念过渡到综合应用。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心素养，通过含参数不等式分类讨论、复合函数单调性分析等典例，结合类题通法总结解题规律。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助系统探究式设计提高教学效率。

第2课时　指数函数的图象和性质的应用 素养目标 思维导图 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念(数学抽象). 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点(直观想象). 课堂合作探究 探究点一　利用单调性求解简单的不等式 【典例1】(1)解不等式()3x-1≤2;(2)已知<ax+6(a>0,a≠1),求x的取值范围. 【解析】(1)因为2=()-1,所以原不等式可以转化为()3x-1≤()-1. 因为y=()x在R上是减函数,所以3x-1≥-1,所以x≥0,故原不等式的解集是{x|x≥0}. (2)分情况讨论:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是减函数, 所以x2-3x+1>x+6,所以x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5; ②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是增函数, 所以x2-3x+1<x+6,所以x2-4x-5<0,解得-1<x<5, 综上所述,当0<a<1时,x的取值范围是{x|x<-1或x>5}; 当a>1时,x的取值范围是{x|-1<x<5}. 【类题通法】解指数不等式的方法 指数不等式是指数中含有未知数的不等式.主要有以下类型:af(x)>ag(x)或af(x)<ag(x). 解法:af(x)>ag(x)⇔或 af(x)<ag(x)⇔或 【定向训练】 1.若<,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,) B.(-∞,) C.(,+∞) D.(,+∞) 【解析】选D.因为函数y=是减函数,且<, 所以4a+2>8-3a,解得a>,即实数a的取值范围是(,+∞). 2.解关于x的不等式:≤a6(a>0且a≠1). 【解析】当a>1时,x2-2x+3≤6,得x2-2x-3≤0,-1≤x≤3; 当0<a<1时,x2-2x+3≥6,得x2-2x-3≥0,x≤-1或x≥3. 综上,当0<a<1时,解集为(-∞,-1]∪[3,+∞),当a>1时,解集为[-1,3]. 探究点二　求函数的单调区间 【典例2】判断函数f(x)=的单调性,求其单调区间. 【思维导引】令u=-x2+2x,则y=2u,先求出u=-x2+2x的单调性和指数函数的单调性,再结合复合函数的单调性即可得出答案. 【解析】函数f(x)=的定义域是R. 令u=-x2+2x,则y=2u. 当x∈(-∞,1]时,函数u=-x2+2x单调递增,当x∈(1,+∞)时,函数u=-x2+2x单调递减, 又函数y=2u在R上是增函数, 所以函数f(x)=在(-∞,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 综上,函数f(x)=的单调递减区间是(1,+∞),单调递增区间是(-∞,1]. 【类题通法】复合函数的单调区间 (1)研究y=af(x)型单调区间时, 当a>1时,y=af(x)与f(x)单调性相同; 0<a<1时,y=af(x)与f(x)单调性相反. (2)研究y=f(ax)型单调区间时,要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间,其中u=ax. 【定向训练】 (一题多解) 讨论函数f(x)=(的单调性,并求其值域. 【解析】方法一:因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 设x1,x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2,所以f(x2)=(,f(x1)=(. =(÷(=(=(. (1)当x1<x2≤1,x1+x2<2时,即有x1+x2-2<0. 又因为x2-x1>0,所以(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则知(>1. 又对于x∈R,f(x)>0恒成立,所以f(x2)>f(x1), 所以函数f(x)在(-∞,1]上单调递增. (2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0. 又因为x2-x1>0,所以(x2-x1)(x1+x2-2)>0,则知0<(<1, 所以f(x2)<f(x1),所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递减. 综上,函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增;在区间[1,+∞)上单调递减. 因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,0<<1,所以0<(≤()-1=3. 所以函数f(x)的值域为(0,3]. 方法二:因为函数f(x)的定义域为R,令u=x2-2x,则g(u)=()u. 因为u=x2-2x=(x-1)2-1,在(-∞,1)上单调递减,g(u)=()u在其定义域内是减函数, 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增. 又g(u)=()u在其定义域内为减函数,而u=x2-2x=(x-1)2-1在[1,+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[1,+∞)上单调递减.求值域同方法一. 探究点三　指数函数性质的综合应用 【典例3】(规范解答) (13分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求a的值; (2)判断并证明函数f(x)的单调性; (3)解不等式:f(x2-2x)+f(3x-2)<0. 【思维导引】(1)根据函数奇偶性,令f(0)=0,求出a再验证; (2)任取x1,x2∈R且x1<x2,作差比较f(x1)与f(x2),利用单调性的定义证明; (3)根据函数单调性和奇偶性,将所求不等式化为x2+x-2<0. 【解析】(1)因为f(x)=是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0,从而得出a=1,此时f(x)=,……………………2分 因此f(x)+f(-x)====0, 即函数f(x)=是奇函数, ……………………3分 所以a=1. ……………………4分 (2)f(x)是R上的增函数,证明如下: 设任意x1,x2∈R且x1<x2, ……………………5分 f(x1)-f(x2)=(1-)-(1-)==,………………7分 因为x1<x2,所以<,+1>0,+1>0,因此f(x1)<f(x2), 所以f(x)在R上单调递增. ……………………8分 (3)因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(x2-2x)+f(3x-2)<0可化为f(x2-2x)<f(2-3x), ……………………10分 又f(x)是在R上的增函数,所以x2-2x<2-3x,即x2+x-2<0, ……………………11分 解得-2<x<1, ……………………12分 即原不等式的解集为(-2,1). ……………………13分 【题后反思】定义法判断函数f(x)在区间D上的单调性的一般步骤: 1.取值:任取x1,x2∈D,规定x1<x2; 2.作差:计算f(x1)-f(x2); 3.定号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.得出结论:根据同增异减得出结论. 【类题通法】 1.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的求法 (1)定义法,即“取值—作差—变形—定号”.其中,在定号过程中需要用到指数函数的单调性. (2)利用复合函数的单调性的规律来判断. 2.由指数函数构成的复合函数的值域求法 一般用换元法即可,但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下,函数值域的变化情况. 3.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则:如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)正确利用变形技巧:耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)±f(-x)=0来判定. (3)巧用图象的特征:在解答有图象信息的选择、填空题时,可根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定. 【定向训练】 1.(2021·新高考I卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　.  【解析】设g(x)=a·2x-2-x,由已知得g(x)为奇函数,则g(0)= a·20-2-0=a-1=0,因此a=1. 答案:1 2.已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)过点(1,2),函数g(x)=x·. (1)求g(1),g(-1)的值; (2)判断函数g(x)在R上的奇偶性,并给出证明; (3)已知g(x)在[0,+∞)上是单调函数,由此判断函数y=g(x),x∈R的单调性(不需证明),并解不等式g(2x+1)>. 【解析】(1)由题意知,f(x)=2x,则g(-1)=g(1)=; (2)g(x)在R上是偶函数,证明如下:g(x)=x·,x∈R,定义域关于原点对称. g(-x)=(-x)=(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数; (3)由g(0)=0,g(0)<g(1),g(x)在[0,+∞)上单调,可知(0,+∞)为g(x)的单调递增区间,而g(x)为偶函数,g(x)的单调递减区间为(-∞,0),由g(2x+1)>,可得g(2x+1)>g(1), 即|2x+1|>1,解得x∈(-∞,-1)∪(0,+∞). 课堂练习 1.方程42x-1=16的解是 (　　) A.x=- B.x= C.x=1 D.x=2 【解析】选B.42x-1=42,所以2x-1=2,x=. √ 2.当a>1时,函数y=ax与函数y=(a-1)x2+x在同一坐标系内的图象可能是 (　　)   【解析】选D.因为a>1,所以y=ax是增函数,排除A,B选项; 二次函数y=(a-1)x2+x开口向上,对称轴x=-<0,排除C选项. √ 3.(一题多解) 若定义运算a☉b=则函数f(x)=3x☉3-x的值域是(　　) A.(0,1]　 B.[1,+∞) C.(0,+∞)　 D.(-∞,+∞) 【解析】选A.方法一:当x>0时,3x>3-x,f(x)=3-x,f(x)∈(0,1);当x=0时,f(x)=3x=3-x=1; 当x<0时,3x<3-x,f(x)=3x,f(x)∈(0,1).综上,f(x)的值域是(0,1]. 方法二:作出f(x)=3x☉3-x的图象,如图.可知值域为(0,1]. √ 4.已知函数f(x)=+a为奇函数,则a=　　　　　.  【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即+a=0,所以a=-. 答案:- 5.已知函数f(x)=2|x-2|,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　.  【解析】令u=|x-2|,可得y=2u,可知u=|x-2|在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 且y=2u在定义域R上单调递增,则f(x)在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 所以函数f(x)的单调递增区间是[2,+∞). 答案:[2,+∞) 谢 谢 $