1.3　第2课时　补集及综合应用 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦补集的概念、运算性质及综合应用，通过学习小组学生获奖集合的情境导入，衔接集合基本关系与运算，以具体问题为支架引导学生从实际情境抽象出补集定义，构建知识脉络。 其亮点在于以情境培养数学眼光，如用学生获奖集合引出补集问题，通过数轴、Venn图等数学语言辅助理解，例题分层设计并总结通性通法培养数学思维。学生能提升抽象与推理能力，教师可获得系统教学资源与分层训练素材。

第2课时　 补集及综合应用 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 某学习小组学生的集合为 U ＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为 P ＝{王明，曹勇，王亮，李 冰，张军}. 目录 数学·必修第一册 【问题】　没有获得金奖的学生有哪些？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　全集 1. 概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么 就称这个集合为全集. 2. 记法：通常记作 ⁠. 所有元素　 U 　 【想一想】 全集一定是实数集吗？ 提示：不一定. 目录 数学·必修第一册 知识点二　补集 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2）补 集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补 集也是不同的. 目录 数学·必修第一册 1. 设全集 U ＝{0，1，2，3，4，5}， A ＝{2，4}，则∁ UA ＝（　　） A. ⌀ B. {1，3，5} C. {2，4} D. {0，1，3，5} 解析： 　因为全集 U ＝{0，1，2，3，4，5}， A ＝{2，4}，所以 ∁ UA ＝{0，1，3，5}. 目录 数学·必修第一册 2. 已知全集 U ＝{0，1，2}，且∁ UA ＝{2}，则 A ＝ ⁠. 解析：∵ U ＝{0，1，2}，∁ UA ＝{2}，∴ A ＝{0，1}. 3. 若集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}，则∁R A ＝ ⁠. 解析：∵ A ＝{ x ｜ x ＞1}，∴∁R A ＝{ x ｜ x ≤1}. {0，1}　 { x ｜ x ≤1}　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 补集 【例1】　（1）设全集 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}， 则∁ UM ＝（　　） A. U B. {1，3，5} C. {3，5，6} D. {2，4，6} 解析： 因为 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}， 由补集的定义，可知∁ UM ＝{3，5，6}. 目录 数学·必修第一册 （2）若全集 U ＝{ x ∈R｜－2≤ x ≤2}，集合 A ＝{ x ∈R｜－2≤ x ≤0}，则∁ UA ＝（　　） A. { x ∈R｜0＜ x ＜2} B. { x ∈R｜0≤ x ＜2} C. { x ∈R｜0＜ x ≤2} D. { x ∈R｜0≤ x ≤2} 解析：借助数轴（如图）易得∁ UA ＝{ x ∈R｜0＜ x ≤2}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴 分析求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　若集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ＜1}，当 U 分别取下列集合时，求∁ UA . （1） U ＝R； 解： 把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图① 所示. 由图知∁ UA ＝{ x ｜ x ＜－1或 x ≥1}. （2） U ＝{ x ｜ x ≤2}； 解： 把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图② 所示. 由图知∁ UA ＝{ x ｜ x ＜－1或1≤ x ≤2}. 目录 数学·必修第一册 （3） U ＝{ x ｜－4≤ x ≤1}. 解： 把集合 U 和 A 表示在数轴上，如图 ③所示. 由图知∁ UA ＝{ x ｜－4≤ x ＜－1或 x ＝1}. 目录 数学·必修第一册 题型二 集合交、并、补的综合运算 【例2】（2026·天津)已知全集集合，集合，则（　A　） 解析：全集，集合，则，集合，则 A. B. C. D.  目录 数学·必修第一册 通性通法 解决集合交、并、补综合运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来， 然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借 助于Venn图来求解； （2）如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全 集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算. 提醒　解答过程中要注意边界. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜－4≤ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}， P ＝{ x ｜ x ≤0或 x ≥ }，求 A ∩ B ，（∁ UB ）∪ P ，（ A ∩ B ）∩（∁ UP ）. 解：将集合 A ， B ， P 分别表示在数轴上，如图所示. 因为 U ＝R， A ＝{ x ｜－4≤ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}， 所以 A ∩ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}，∁ UB ＝{ x ｜ x ≤－1或 x ＞3}. 又 P ＝｛x ｜ x ≤0或 x ≥ ｝ ， 所以（∁ UB ）∪ P ＝{ x ｜ x ≤0或 x ≥ }. 又∁ UP ＝{ x ｜0＜ x ＜ }，所以（ A ∩ B ）∩（∁ UP ） ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}∩{ x ｜0＜ x ＜ } ＝{ x ｜0＜ x ＜2}. 目录 数学·必修第一册 题型三 与补集相关参数的求解 【例3】　设集合 A ＝{ x ｜ x ＋ m ≥0}， B ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}，全集 U ＝R，且（∁ UA ）∩ B ＝⌀，求实数 m 的取值范围. 解：由已知 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }， 得∁ UA ＝{ x ｜ x ＜－ m }， 因为 B ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}，（∁ UA ）∩ B ＝⌀， 在数轴上画出∁ UA 与 B ，如图， 所以－ m ≤－2，即 m ≥2， 所以实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥2}. 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变条件）本例将条件“（∁ UA ）∩ B ＝⌀”改为“（∁ UB ）∪ A ＝ R”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围又是什么？ 解：由已知 A ＝{ x ｜ x ≥－ m }，∁ UB ＝{ x ｜ x ≤－2或 x ≥4}. 又（∁ UB ）∪ A ＝R， 所以－ m ≤－2，即 m ≥2. 故实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ≥2}. 目录 数学·必修第一册 通性通法 由集合的补集求参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义 求解； （2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参 数问题时，一般利用数轴分析求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知全集 U ＝{3，4， a2－2 a ＋3}，集合 A ＝{3，4}，∁ UA ＝{6}， 则实数 a 的值为 ⁠. 解析：由题意得 a2－2 a ＋3＝6，解得 a ＝3或 a ＝－1，经检验都满 足题意.故 a ＝－1或 a ＝3. 2. 已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜1≤ x ＜ b }，∁ UA ＝{ x ｜ x ＜1，或 x ≥2}，则实数 b ＝ ⁠. 解析：因为∁ UA ＝{ x ｜ x ＜1，或 x ≥2}，所以 A ＝{ x ｜1≤ x ＜2}. 所以 b ＝2. －1或3　 2　 目录 数学·必修第一册 1. 若全集 U ＝{1，2，3，4}，集合 M ＝{1，2}， N ＝{2，3}，则∁ U （ M ∪ N ）＝（　　） A. {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 解析： 　∵全集 U ＝{1，2，3，4}，集合 M ＝{1，2}， N ＝{2， 3}，∴ M ∪ N ＝{1，2，3}，∴∁ U （ M ∪ N ）＝{4}.故选D. 目录 数学·必修第一册 2. （2026·楚雄市模拟)已知全集，集合，则（　　） 解析： 由全集，， 由补集的定义可知，. A.  B.  C.  D.  目录 数学·必修第一册 3. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ≤5}， B ＝{ x ｜ x ＞0}，则集合∁ U （ A ∩ B ）＝（　　） A. { x ｜ x ≤0} B. { x ｜ x ＞5} C. ⌀ D. { x ｜ x ≤0或 x ＞5} 解析： 　由已知 A ∩ B ＝{ x ｜0＜ x ≤5}，故∁ U （ A ∩ B ）＝{ x ｜ x ≤0或 x ＞5}. 目录 数学·必修第一册 4. 已知全集 U ＝{ x ｜ x ≤4}，集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ －3≤ x ≤2}，求 A ∩ B ，（∁ UA ）∪ B ， A ∩（∁ UB ）. 解：如图，在数轴上表示集合 A ， B ， U . ∵ A ＝{ x ｜－2＜ x ＜3}， B ＝{ x ｜－3≤ x ≤2}， U ＝{ x ｜ x ≤4}， ∴ A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ≤2}，∁ UA ＝{ x ｜ x ≤－2，或3≤ x ≤4}，∁ UB ＝{ x ｜ x ＜－3，或2＜ x ≤4}. ∴（∁ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ≤2，或3≤ x ≤4}， A ∩（∁ UB ）＝{ x ｜2＜ x ＜3}. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 设 U ＝{ x ∈N｜1≤ x ≤6}， A ＝{ x ｜（ x －2）（ x －3）＝0}，则∁ UA ＝（　　） A. {4，5} B. {1，2，3，4} C. {1，4，5，6} D. {1，6} 解析： 　 U ＝{ x ∈N｜1≤ x ≤6}＝{1，2，3，4，5，6}， A ＝ { x ｜（ x －2）（ x －3）＝0}＝{2，3}，所以∁ UA ＝{1，4，5， 6}，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 已知集合 A ＝{ x ∈N｜0≤ x ≤5}，∁ AB ＝{1，3，5}，则集合 B ＝ （　　） A. {2，4} B. {0，2，4} C. {0，1，3} D. {2，3，4} 解析： 　根据题意，集合 A ＝{ x ∈N｜0≤ x ≤5}＝{0，1，2， 3，4，5}，若∁ AB ＝{1，3，5}，则 B ＝∁ A （∁ AB ）＝{0，2，4}.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 设集合 S ＝{ x ｜ x ＞－2}， T ＝{ x ｜－4≤ x ≤1}，则（∁R S ）∪ T ＝（　　） A. { x ｜－2＜ x ≤1} B. { x ｜ x ≤－4} C. { x ｜ x ≤1} D. { x ｜ x ≥1} 解析： 　因为 S ＝{ x ｜ x ＞－2}，所以∁R S ＝{ x ｜ x ≤－2}.又 T ＝{ x ｜－4≤ x ≤1}，所以（∁R S ）∪ T ＝{ x ｜ x ≤－2}∪{ x ｜－ 4≤ x ≤1}＝{ x ｜ x ≤1}.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x ≤2}，则集合{ x ｜ x ≤ －2或 x ≥1}＝（　　） A. A ∪ B B. A ∩ B C. ∁R（ A ∪ B ） D. ∁R（ A ∩ B ） 解析： 　因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜ x ≤2}，所以 A ∪ B ＝{ x ｜ x ≤2}， A ∩ B ＝{ x ｜－2＜ x ＜1}，所以∁R（ A ∪ B ）＝ { x ｜ x ＞2}，∁R（ A ∩ B ）＝{ x ｜ x ≤－2或 x ≥1}.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤0}， B ＝{ x ｜1＜ x ≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　） A. { x ｜0≤ x ＜1} B. { x ｜0＜ x ≤3} C. { x ｜0＜ x ≤1} D. { x ｜1≤ x ≤3} 解析： 　因为 A ＝{ x ｜ x ≥3或 x ≤0}， B ＝{ x ｜1＜ x ≤3}，所以 A ∪ B ＝{ x ｜ x ＞1或 x ≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁ U （ A ∪ B ）＝{ x ｜0＜ x ≤1}，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. （多选）可以推出 A ⊆ B 的是（　　） A. A ∩ B ＝ B B. A ∩（∁ UB ）＝⌀ C. A ∪ B ＝ B D. （∁ UB ）⊆（∁ UA ） 解析： 　对于A，因为 A ∩ B ＝ B ，所以 B ⊆ A ，故错误； 对于B，当 A ∩（∁ UB ）＝⌀时，有 A ⊆ B ，反之也成立，故正 确；对于C，当 A ∪ B ＝ B 时，有 A ⊆ B ，反之也成立，故正 确；对于D，若（∁ UB ）⊆（∁ UA ），则 A ⊆ B ，反之也成立， 故正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 已知全集 U ＝{ x ｜－2＜ x ≤5}，集合 M ＝{ t ｜－1≤ t ≤3}，则∁ UM ＝ ⁠. 解析：∵ M ＝{ t ｜－1≤ t ≤3}， U ＝{ x ｜－2＜ x ≤5}，∴∁ UM ＝ { x ｜－2＜ x ＜－1或3＜ x ≤5}. { x ｜－2＜ x ＜－1或3＜ x ≤5}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 8. 设全集 U ＝{ x ｜ x 是三角形}， A ＝{ x ｜ x 是锐角三角形}， B ＝ { x ｜ x 是钝角三角形}，则（∁ UA ）∩（∁ UB ）＝ ⁠ ⁠. 解析：根据三角形的分类可知，∁ UA ＝{ x ｜ x 是直角三角形或钝角 三角形}，∁ UB ＝{ x ｜ x 是直角三角形或锐角三角形}，所以（∁ UA ）∩（∁ UB ）＝{ x ｜ x 是直角三角形}. { x ｜ x 是直角三 角形}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 9. 已知全集为R，集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜6}， B ＝{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋ 4}，且 A ⊆∁R B ，则实数 a 的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：由题可知∁R B ＝{ x ｜ x ＜ a －4或 x ＞ a ＋4}.因为 A ⊆∁R B ， 所以6≤ a －4或2≥ a ＋4，即 a ≥10或 a ≤－2. { a ｜ a ≤－2或 a ≥10}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 10. 若集合 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜－1或 x ＞1}，全集 U ＝R. （1）求∁ UA ； 解： 因为 A ＝{ x ｜－2＜ x ＜－1或 x ＞1}， U ＝R，所以∁ UA ＝{ x ｜ x ≤－2或－1≤ x ≤1}. （2）若 B ＝{ x ｜ x ≤ a }， B ⊆∁ UA ，求 a 的取值范围. 解： 如图，当 a ≤－2时， B ⊆∁ UA ， 所以 a ≤－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 11. 已知 U 为全集，集合 M ， N 是 U 的子集.若 M ∩ N ＝ N ，则 （　　） A. （∁ UM ）⊇（∁ UN ） B. M ⊆（∁ UN ） C. （∁ UM ）⊆（∁ UN ） D. M ⊇（∁ UN ） 解析： 　∵ M ∩ N ＝ N ，∴ N ⊆ M ，∴（∁ UM ）⊆（∁ UN ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 12. （多选）已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3或4＜ x ＜6}， 集合 B ＝{ x ｜2≤ x ＜5}，下列集合运算正确的是（　　） A. ∁ UA ＝{ x ｜ x ＜1或3＜ x ＜4或 x ＞6} B. ∁ UB ＝{ x ｜ x ＜2或 x ≥5} C. A ∩（∁ UB ）＝{ x ｜1≤ x ＜2或5≤ x ＜6} D. （∁ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ＜1或2＜ x ＜5或 x ＞6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　依题意，∁ UA ＝{ x ｜ x ＜1或3＜ x ≤4或 x ≥6}，A不 正确；∁ UB ＝{ x ｜ x ＜2或 x ≥5}，B正确； A ∩（∁ UB ）＝{ x ｜ 1≤ x ＜2或5≤ x ＜6}，C正确；（∁ UA ）∪ B ＝{ x ｜ x ＜1或2≤ x ＜5或 x ≥6}，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 13. 全集 U ＝{ x ∈N*｜ x ＜10}， A ⊆ U ， B ⊆ U ，（∁ UB ）∩ A ＝{1， 9}， A ∩ B ＝{3}，（∁ UA ）∩（∁ UB ）＝{4，6，7}，则集合 A ＝ ； B ＝ ⁠. 解析：法一　Venn图如图所示，由 A ∩ B ＝ {3}，将3填入 A ， B 两区域的交汇处，由 （∁ UB ）∩ A ＝{1，9}，将1，9填入 A 区域 的左半边.由（∁ UA ）∩（∁ UB ）＝{4，6，7}可知4，6，7既不在 A 内又不在 B 内，将4，6，7填入 A ， B 区域外，剩下2，5，8填入 B 区域的右半边，检查可知符合题意，因此 A ＝{1，3，9}， B ＝{2，3，5，8}. {1，3，9}　 {2，3，5，8}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 法二　∵（∁ UB ）∩ A ＝{1，9}，（∁ UA ）∩（∁ UB ）＝{4，6，7}， ∴∁ UB ＝{1，4，6，7，9}.又 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}， ∴ B ＝{2，3，5，8}.∵（∁ UB ）∩ A ＝{1，9}， A ∩ B ＝{3}，∴ A ＝ {1，3，9}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 14. 已知集合 A ＝{1，3，－ x }， B ＝{1， x ＋2}，是否存在实数 x ， 使得 B ∪（∁ AB ）＝ A ？若存在，求出集合 A 和 B ；若不存在，说 明理由. 解：假设存在 x ，使 B ∪（∁ AB ）＝ A ， ∴ B ⫋ A . （1）若 x ＋2＝3，则 x ＝1，符合题意. （2）若 x ＋2＝－ x ，则 x ＝－1，不满足 A 或 B 中元素的互异性， 不符合题意. ∴存在 x ＝1，使 B ∪（∁ AB ）＝ A ， 此时 A ＝{1，3，－1}， B ＝{1，3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 15. 设集合 U ＝{（ x ， y ）｜ x ， y ∈R}， M ＝ （ x ， y ）｜ ＝ 1 ， N ＝{（ x ， y ）｜ y ≠ x ＋1}，则（∁ UM ）∩（∁ UN ） ＝ ⁠. {（2，3）}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析：法一　 M ＝ （ x ， y ）｜ ＝1 ＝ {（ x ， y ）｜ y ＝ x ＋1，且 x ≠2}，如图，集合 U 表示坐标平面内的所有点， M 表示直线 y ＝ x ＋1上除去点（2，3）的所有点，而 N 表示坐标平面内除去直线 y ＝ x ＋1上的点以外的所有点，从而 M ∪ N 表示坐标平面内除点（2，3）以外的所有点.所以（∁ UM ）∩（∁ UN ）＝∁ U （ M ∪ N ）＝{（2，3）}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 法二　因为 M ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x ＋1，且 x ≠2}，所以∁ UM ＝ {（ x ， y ）｜ y ≠ x ＋1}∪{（2，3）}.又 N ＝{（ x ， y ）｜ y ≠ x ＋ 1}，所以∁ UN ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x ＋1}，所以（∁ UM ）∩（∁ UN ）＝ {（2，3）}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解：法一　假设集合 A 中含有2个元素，即 ax2＋3 x ＋2＝0有两个 不相等的实数根，则解得 a ＜ 且 a ≠0，则此 时实数 a 的取值范围是 a ｜ a ＜ 且 a ≠0 . 在全集 U ＝R中，集合 a ｜ a ＜ 且 a ≠0 的补集是 a ｜ a ≥ 或 a ＝0 . 所以满足题意的实数 a 的取值范围是 a ｜ a ≥ 或 a ＝0 . 16. 若集合 A ＝{ x ｜ ax2＋3 x ＋2＝0}中至多有1个元素，求实数 a 的取 值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 法二　当 a ＝0时， A ＝ 满足题意； 当 a ≠0时，若Δ＝9－8 a ＜0，即 a ＞ 时， A ＝⌀满足题意， 若Δ＝9－8 a ＝0，即 a ＝ 时， A ＝ 满足题意， 若Δ＝9－8 a ＞0，即 a ＜ 时， A 中有两个元素不满足题意. 综上，满足题意的实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥ 或 a ＝0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $