2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 课件第三章 3.1　3.1.2　第2课时　分段函数

该高中数学课件聚焦分段函数，以出租车计价实例导入，通过问题链引导学生从具体行程与票价关系抽象出分段函数概念，搭建从生活实例到数学概念的学习支架。 其亮点在于采用“探究-训练-总结”模式，结合数学眼光（几何直观：如根据图象写解析式）、数学思维（推理能力：如分段求值与解不等式）、数学语言（模型观念：如零件订购单价等实际应用），帮助学生深化理解，教师可系统开展教学，提升学生核心素养。

第2课时　分段函数 知识探究·素养启迪 知识探究 分段函数 实例 某市出租车按下列规则计价: (1)3 km以内,费用为10元; (2)3 km(含)以上,每千米按2元计费(不足1 km的按1 km计算). (3)超出(含)15 km以上的,每千米按3元计费(不足1 km的按1 km计算). [问题1-1] 出租车的行程x(km)与票价y(元)有函数关系吗? 提示:有函数关系. [问题1-2] 函数的表达式是什么? [问题1-3] x与y之间有何特点? 提示:x在不同区间内取值时,与y对应的关系不同. 梳理　分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系,就称这样的函数为分段函数. 小试身手 B 解析:因为f(2π)=-1, 所以f[f(2π)]=f(-1)=π.故选B. 2.若函数f(x)=|x|,则函数f(x)的图象是(　 　) C 3.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为　　　 　,值域为　　　.  解析:函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合,值域对应纵坐标的取值集合. [-2,4]∪[5,8] [-4,3] 4.若函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式为　 　　　　　.  课堂探究·素养培育 分段函数求值 (2)若f(a)=6,求a的值. 解:(2)由于x∈[-1,1]时,f(x)=2≠6,故a∉[-1,1]. 若a∈(-∞,-1),则-2a=6,得a=-3,符合题意; 若a∈(1,+∞),则2a=6,得a=3,符合题意; 所以a的值为-3或3. 解析:(1)当a<1时,-a=1, a=-1,成立. 当a≥1时,(a-1)2=1,解得a=2. 综上,a的值为2或-1.故选B. B 9 (1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验. 分段函数的图象 解:(1)根据函数的定义域,描出关键点(-1,2),(0,3),(2,-1),(5,2),图象如图所示. (2)根据函数的图象直接写出函数f(x)的值域和方程f(x)=2的解集. 解:(2)函数f(x)的值域为(-1,3],f(x)=2的解集为{-1,1,5}. 解:(1)作出f(x)的图象,如图所示. (2)求f(x)的定义域和值域. 解:(2)观察函数图象可知,函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1]. 画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示;若端点不包含在内,则用空心圈表示,应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分段取”. 探究角度2　根据函数图象写函数解析式 [例3] 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,求函数的解析式. 即时训练3-1: 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是 　　 　 　 　.  解析:设线段AB所在直线的方程为y=k1x+b1, 则由线段过点A(-1,0),B(0,1)知y=x+1; 线段OC过原点与(1,-1), 故方程为y=-x. 根据分段函数的图象求分段函数解析式时,应根据各段图象的特征,结合待定系数法求函数解析式的方法求出各段的解析式;最后用分段函数形式写出,要注意各段端点的“含”与“不含”. 分段函数的应用 探究角度1　涉及分段函数的不等式的解法 解:由题意知,f(1)=3. 当x≥0时,原不等式可化为x2-4x+3>0,解得0≤x<1或x>3; 当x<0时,原不等式可化为x+4>3, 所以-1<x<0. 综上,f(x)>f(1)的解集为(-1,1)∪(3,+∞). 解析:当a≤-2时,f(a)=a<-3,此时a的取值范围是(-∞,-3); 当-2<a<4时,f(a)=a+1<-3,此时无解; 当a≥4时,f(a)=3a<-3,此时无解. 综上,a的取值范围是(-∞,-3). (-∞,-3) 求解与分段函数有关的不等式,应在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将解集与每段的定义域取交集,最后将各交集 “并”起来. 探究角度2　分段函数的实际应用 [例5] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元. (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元? (2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式. 即时训练5-1: 一个质点沿直线运动.质点由静止匀加速T s后速度达到8 m/s;然后质点以恒定速度8 m/s 运动了5T s;之后质点在40 s内匀减速到完全停下. (1)画出质点运动的速度-时间图象; (2)已知质点总共运动的位移是600 m,求T的值; (3)画出质点运动的加速度-时间图象. 关键是认真审题,弄清自变量取不同范围内的值时,函数对应关系有什么不同.找准分段点,逐段确定对应关系. C 解析:当x≤0时,f(x)=x2+1=10, 得x=-3或x=3(舍去); 当x>0时,f(x)=-2x=10,得x=-5(舍去), 综上所述,x=-3.故选C. C 解析:当x>0时,f(x)=1;当x<0时,f(x)=-1.故选C. 3.若函数y=f(x)的图象如图所示,则其表达式为　　　　 　　　　.  解析:此函数在三个区间上的图象各不相同,故分别写出其在各区间内的函数表达式. ②当t<0时,-2t+6>2, 所以t<2,此时t<0. 综上,实数t的取值范围是 (-∞,0). (-∞,0) 感谢观看 提示:y= 1.若函数f(x)=则f[f(2π)]等于(　 　) A.-1 B.π C.2π D.(2π)2 解析:因为f(x)=|x|= 所以函数图象为C. 解析:由题意知,x≥0时,y=2, 当x<0时,y=-2. 故f(x)= f(x)= [例1] 已知函数f(x)= (1)求f(-),f(),f(),f[f()]; 解:(1)因为-∈(-∞,-1), 所以f(-)=-2×(-)=3. 因为∈[-1,1],所以f()=2. 又2∈(1,+∞), 所以f[f()]=f(2)=2×2=4. 因为∈(1,+∞),所以f()=2×=9. 即时训练1-1: (1)设函数f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为(　　) A.-1或0 B.2或-1 C.0或2 D.2 (2)设函数f(x)=那么f(18)的值为　　　　　.  解: (2)因为函数f(x)= 所以f(18)=f(3×5+3)=f(3)=32=9. 探究角度1　根据分段函数解析式作出函数图象 [例2] 已知函数f(x)= (1)在平面直角坐标系内画出f(x)的图象; 即时训练2-1: 已知f(x)= (1)画出函数f(x)的图象; 解:由图象可知,当x∈[-1,0]时函数图象是线段AC. 设直线AC对应的一次函数解析式为y=k1x+b1,将点A(-1,0)和C(0,2)的坐标代入,得 解得 所以此时的函数解析式为y=2x+2,x∈[-1,0]. 当x∈(0,2]时函数图象是线段BC. 设直线BC对应的一次函数的解析式为y=k2x+b2, 将点B(2,0)和C(0,2)的坐标代入,得 解得 所以此时的函数解析式为y=-x+2,x∈(0,2]. 综上,函数f(x)= f(x)= [例4] 已知函数f(x)=求不等式f(x)>f(1)的解集. 即时训练4-1: 函数f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围是　　　　　　.  解:(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为41元时,一次订购量为x0个,则x0=100+=650. 所以当一次订购量为650个时,零件的实际出厂单价降为41元. 解: (2)当0<x≤100时,P=52;当100<x<650时,P=52-0.02(x-100)=54-;当x≥650时,P=41. 所以P=f(x)= 解:(1)设质点的速度为v m/s,时间为t s,由题意可得 v= 所以质点运动的速度-时间图象如图所示. 解: (2)根据质点运动的速度-时间图象可知 ×8T+5T×8+×8×40=600⇒T=10. 解: (3)设质点的加速度为a m/s2,时间为t s,由题意可得 a= 所以质点运动的加速度-时间图象如图所示. 1.已知函数f(x)=如果f(x)=10,则x等于(　 　) A.±3,-5 B.-3,-5 C.-3 D.无解 2.函数f(x)=的图象是(　 　) f(x)= 4.设f(x)=若f(t)>2,则实数t的取值范围是　　　　.  解析:①当t≥0时,-2t-1>2,所以t<-,此时无解. $