精品解析：四川南充市2025-2026学年下学期普通高中学业质量监测高二数学试题

秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2026年7月4日8：00-10：00】 2026年春季学期普通高中学业质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解． 【详解】由随机变量，且， 则， 所以． 3. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 9 B. 36 C. 45 D. 54 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，是等差数列，即是等差数列， 则，得. 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处取得极大值 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断的正负，进而确定原函数的单调性及极值点. 【详解】由导函数的图象可知： 在区间上，，所以在该区间上单调递增，故A错误； 在区间上，，所以在该区间上单调递减，故C错误； 因为当，当， 所以在处取得极大值，故B正确； 当，当 ，所以在处取得极小值，故D错误. 5. 已知盒子中装有个红球和个白球，从中任取个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布概率公式即可求解． 【详解】当任取个球时，则表示取到的红球个数为，取到的白球个数为， 所以． 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，得或（舍）， 则. 7. 定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 8. 已知曲线在，两点处的切线也是曲线的切线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抓住公切线斜率与截距相等建立方程，通过换元得到关于的超越方程，利用方程根的对称性快速得到两根之和为0. 【详解】由题，所以在点的切线斜率为，则切线方程为，化简得； ，设切点为，切线斜率为，切线方程为，化简得； 因为两切线为同一直线，对应斜率和常数项相等，设斜率，则； 常数项相等，将式代入得； 同理可得，对于也满足同样的方程，即是方程的两个根， 令，则，因为，所以若是方程的解，那么也是方程的解， 即若是解，则也是解； 由，，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设随机事件，满足，且，，下列说法正确的是（ ） A. 与相互独立 B. C. 与互斥 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据事件之间的包含关系，条件概率公式及独立与互斥的计算公式进行逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 而，故，所以与不相互独立，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：事件与互斥的充要条件为，即，而，C错误； 对于D：，D正确. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 除以4的余数为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理，结合通项公式、赋值法、求导法、余数运算逐项判断即可. 【详解】对于A，二项展开式的通项为， 取，可得的系数，A正确. 对于B，令，得，B正确. 对于C，对求导得， 令，得，C错误. 选项D：， 又均含因数4，故除以4的余数为，D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个不同的邮筒，则有种不同的投法 B. 5名同学排成一排拍照，甲、乙两人相邻且丙、丁两人不相邻，则有12种不同的排法 C. 12个完全相同的小球分给5名同学，每人至少分得2个，则有15种不同的分法 D. 240的正因数有20个 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用分步乘法计数原理即可求解；B选项，相邻、不相邻问题用捆绑法和插空法即可求解；C选项，用隔板法解决；D选项，先对240进行质因数分解，从而可得正因数个数. 【详解】对于A，每封信都有3个邮筒可选，根据分步乘法计数原理， 可得5封信共有种投法，故A正确； 对于B，甲乙相邻用捆绑法，内部排列有种， 将甲乙整体与剩余1名非丙丁的同学排列，有种排法， 排完形成3个空位，插入丙丁有种，总排法为种，故B错误； 对于C，12个相同的小球，每人至少2个，可先给每人分1个， 剩下个，则转化为“每人至少1个”， 采用隔板法，共有种，故C正确； 对于D，因为，正因数个数为各质因数指数加1的乘积， 即个，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和公式为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由数列前项和求通项公式.利用（）计算，再代入即可. 【详解】当时，， . 13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1，2，3，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算从甲箱、乙箱摸出红球的概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】记事件为“从甲箱中摸球”，事件为“从乙箱中摸球”，事件为“摸到红球”. 掷质地均匀的骰子，出现点数为1,2,3的概率，此时从甲箱摸到红球的条件概率； 出现点数为4,5,6的概率，此时从乙箱摸到红球的条件概率； 则摸到红球的总概率为： . 14. 如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为，把图①、图②、图③、图④、⋯中图形的周长依次记为，，，，⋯，面积依次记为，，，，…，则________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】答题空1：先找出初始周长，观察每次迭代周长变为原来的，判定周长数列为等比数列，代入算出； 答题空2：先求初始三角形面积，分析每次迭代新增小三角形的数量与面积，发现新增面积构成等比数列，用等比求和叠加初始面积得到的通项． 【详解】答题空1： 初始正三角形边长为，， 每一次迭代：每条边被分成等份，去掉中间段底边、向外作正三角形，每条边变为条长度为原的小边，周长变为原来的倍， 因此是首项、公比的等比数列， 所以，； 答题空2： 设初始正三角形面积， 第次迭代（图①→图②）：每条边上新增个小正三角形，共新增个，小三角形边长为，面积为原三角形的，新增总面积，， 第次迭代（图②→图③）：边数变为，每条边新增个边长为的小正三角形，新增总面积， 第次迭代：每次新增的面积构成首项，公比的等比数列， ， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，利用已知条件建立方程组求解和，即可求出通项公式； （2）将裂项为，再求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得：， 所以. 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2） 极小值，无极大值 【解析】 【小问1详解】 ，求导可得， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由小问1可知，， 令，解得， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极小值为，无极大值. 17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，共移动4次，每次向左或向右移动一个单位，其中每次向左移动的概率为，向右移动的概率为． （1）当移动4次完成时，求质点回到原点的概率； （2）设移动4次完成时质点位于点处，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 2 4 【解析】 【分析】（1）质点回到原点意味着向左和向右移动的次数相等，利用独立重复试验的概率公式求解； （2）确定随机变量  的所有可能取值，利用二项分布概率公式求出对应概率，列出分布列，最后根据期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 设质点向左移动的次数为 ，向右移动的次数为 . 因为质点共移动  次，且回到原点，所以向左和向右移动的距离相等，即 . 又 ，所以 . 每次向左移动的概率为 ，向右移动的概率为 . 根据  次独立重复试验的概率公式，质点回到原点的概率为：   故当移动  次完成时，质点回到原点的概率为 . 【小问2详解】 设质点向右移动的次数为 ，则向左移动的次数为 ，其中 . 质点最终的位置 . 所以随机变量  的可能取值为 . 根据独立重复试验概率公式 ，计算各取值的概率： 当  时，，； 当  时，，； 当  时，，； 当  时，，； 当  时，，. 所以  的分布列为： 0 2 4  的数学期望为. 18. 已知数列的首项为，点在函数的图象上． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 【答案】（1）因为点在函数的图象上， 所以，即， 整理得， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，整理得； （2）（i）； （ii），设数列从第项开始，连续项的和为， ， ，数列的项全部为正奇数，因此要求为奇数，即为奇数， 因为恒为奇数，所以必须为奇数， 题意等价于存在正整数，使得③， 当为正偶数时， 令， ，因此， ，即是的倍数， 所以是偶数，与必须为奇数矛盾，即为正偶数均不满足条件， 当为正奇数时， 令， ，奇次幂保持余数， ，即除以余， 所以为奇数， 证明如下：取（取数列第一项为连续段起点）， 代入③得，解出， 为奇数，则为偶数，设，， ，， 所以能被整除，为整数， 又，代入得，即是正整数， 所以对任意正奇数，取时，总能找到对应的正整数，使连续项和，满足题意， 即满足条件的正整数是全体正奇数，即． 【解析】 【分析】（1）由点在函数图像上得递推式，取倒数变形构造，证得等比后利用等比通项反解出； （2）（i）代入化简求出，再算出，得到等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和； （ii）设连续项和，结合全为奇数，通过模分奇偶讨论；偶数时和为偶数矛盾舍去，奇数可找到对应正整数满足条件，故为全体正奇数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i），， ， 所以①， ②， ①②得， ， 所以； （ii）略 19. 已知函数． （1）证明：； （2）若，． （i）证明：恰有两个零点； （ii）若，是否存在，使得？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）设， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即. （2）（i）由，，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 因为，时，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，则，而时，， 根据零点存在性定理，可知函数在和时各有1个零点， 则恰有两个零点. （ii）存在， 【解析】 【分析】（1）设，利用导数分析函数的单调性，进而求证即可； （2）（i）求导，分析函数的单调性，再结合零点存在性定理求证即可； （ii）由（i）知，，，存在，使得，并且，结合（1）可得，利用导数求证，可得，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，若，则，，即， 且存在，使得，并且， 由（1）知，，，当且仅当时等号成立， 而，则， 所以， ， 设，， 则， 所以函数在上单调递增， 则，即，而， 则， 因为在上单调递减， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2026年7月4日8：00-10：00】 2026年春季学期普通高中学业质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列满足，，则（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 10 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 9 B. 36 C. 45 D. 54 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处取得极大值 5. 已知盒子中装有个红球和个白球，从中任取个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，则（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知曲线在，两点处的切线也是曲线的切线，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设随机事件，满足，且，，下列说法正确的是（ ） A. 与相互独立 B. C. 与互斥 D. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 除以4的余数为1 11. 下列说法正确的是（ ） A. 将5封信投入3个不同的邮筒，则有种不同的投法 B. 5名同学排成一排拍照，甲、乙两人相邻且丙、丁两人不相邻，则有12种不同的排法 C. 12个完全相同的小球分给5名同学，每人至少分得2个，则有15种不同的分法 D. 240的正因数有20个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和公式为，则________． 13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1，2，3，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为________． 14. 如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为，把图①、图②、图③、图④、⋯中图形的周长依次记为，，，，⋯，面积依次记为，，，，…，则________，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数，． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 17. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，共移动4次，每次向左或向右移动一个单位，其中每次向左移动的概率为，向右移动的概率为． （1）当移动4次完成时，求质点回到原点的概率； （2）设移动4次完成时质点位于点处，求的分布列和数学期望． 18. 已知数列的首项为，点在函数的图象上． （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 19. 已知函数． （1）证明：； （2）若，． （i）证明：恰有两个零点； （ii）若，是否存在，使得？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $