精品解析：四川省南充市普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业质量监测数学试题

四川省南充市普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业质量监测数学试题 秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2025年7月3日下午3：35－5：35】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 3. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 二项式的展开式中常数项为 A. －15 B. 15 C. －20 D. 20 5. 若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 6. 现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A. 将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B. 将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C. 将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 D. 现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 7. 若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 函数有两个极值点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前项和，则实数 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，则成等差数列 D. 若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 被8整除的余数为1 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在上无极值点 B. 函数在上单调递增 C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等差数列的前项和为，且，则____________. 13. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为____________. 14. 某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，如果第1天选择米饭套餐，那么第2天选择面食套餐的概率为；如果第1天选择面食套餐，第2天选择米饭套餐概率为，如此往复.设该同学第天选择米饭套餐的概率为，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 17. 有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. （1）设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19. 已知函数（为自然对数的底数），. （1）求函数在区间上的最值； （2）若对，求证：； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市普通高中2024-2025学年高二下学期期末学业质量监测数学试题 秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2025年7月3日下午3：35－5：35】 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 2. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的性质可求概率. 【详解】根据题意，随机变量，且， 则则. 故选：A 3. 若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，， 则. 故选：D 4. 二项式的展开式中常数项为 A. －15 B. 15 C. －20 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为. 考点：二项式定理. 5. 若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（ ） A. 0.3 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【详解】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 故选：D. 6. 现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（ ） A. 将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B. 将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C. 将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 D. 现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合排列、组合的概念和计算公式，逐项分析、计算，即可求解. 【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书， 每本书均有6种不同的放法，根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《水浒传》和《西游记》相邻， 可得把《水浒传》和《西游记》看成一个元素，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法，再将其分给三人， 共有种分法，所以C正确； 对于D中，现将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有 种，所以D错误. 故选：C. 7. 若数列满足，且不等式对一切正整数恒成立，则的最大值（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】由已知数列的递推式，可得，将换为，两式相减求得，分离参数后利用基本不等式求解. 【详解】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 8. 函数有两个极值点满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数极值点和函数导数之间的关系，判断函数导数有两个零点时的参数范围，将两个极值点带入导函数，求得两个参数方程，根据换元法，构造新的函数，根据函数单调性，求出函数范围，判断结果. 【详解】由题意得，当函数有两个极值点时，即有两个不相等的根， 令，则， 可知当时，，在上单调递增，至多只有一个解，不符合题意； 当时，令，解得， 可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有两个零点，符合题意，即，解得时，有两个零点； 可得，即， 作商得，令，因为，即，所以，变形得， 可得，即，则， 令，， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为，所以在上，所以在上单调递增， 因为，所以在上，即在上，则在上单调递增， 所以，可知， 当时，即，，因为，所以， 综上所述：； 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（ ） A. 若等比数列的前项和，则实数 B. 若数列为等比数列，且，则 C. 若等差数列的前项和为，则成等差数列 D. 若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等比数列前项和的性质，等比数列各项下标之间的关系，等差数列前项和的性质，依次判断各选项正误，求出结果. 【详解】由，可得时，， 作差得，当时，，解得，所以A错误； 由等比数列性质可知，因为，所以， ，所以B正确； 由等差数列的前项和可知，成等差数列，所以C正确； 等差数列中，公差，则， 当或时，前项和取得最大值，最大值，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知展开式的二项式系数和为512，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 被8整除的余数为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求出，令，则可对A判断求解；根据二项式展开式，令，即可求解B；对求导后再令即可对C判断求解；再利用二项式展开即可求解D. 【详解】由题意展开式的二项式系数和为512，即，解得； A：由， 令，则，故A正确； B：的二项展开式为，， 则，则， 所以令，， 令，， 得，即， 得，即， 所以，故B错误； C：由，两边同时求导得， 令，则，故C正确； D：，则 所以被整除的余数为，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数在上无极值点 B. 函数在上单调递增 C. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导函数的应用，函数的极值点，单调性，最值与导函数的关系，逐一判断各选项正误，求出正确结果. 【详解】由，得， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 所以在上，则函数在上单调递增，无极值点；所以A正确； 由，得， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得极小值，也是最小值，， 所以在R上，则函数在上单调递增；所以B正确； 因为在R上单调递增，在时恒成立，即在时恒成立， 则，化简得， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，， 所以，所以最小值为，所以C错误； 当时，可知， 因为，在定义域上均是单调增函数，所以， ，所以， 则， 令，因为，所以， ， 令，则， 当时，解得， 在时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，最大值为，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若等差数列的前项和为，且，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列的性质计算即可． 【详解】，所以. 故答案为： 13. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造，转化得到，从而可得单调递增，再结合已知条件把原不等式转化为，即可求解. 【详解】构造函数，则，在R上是增函数， , ，转化为, 在R上是增函数, ，解得：, 故答案为:. 14. 某校开学后，食堂从开学第一天起，每天中午只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，如果第1天选择米饭套餐，那么第2天选择面食套餐的概率为；如果第1天选择面食套餐，第2天选择米饭套餐概率为，如此往复.设该同学第天选择米饭套餐的概率为，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式，计算出第天选择米饭套餐和第天选择米饭套餐的概率的关系，进而写出第天选择米饭套餐的概率. 【详解】设第天选择米饭套餐为事件，则第天选择面食套餐为，则， 由题意可知， 由全概率公式得， 化简得，变形得， 因为， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，定义法证明数列为等差数列，根据数列首项和公差，写出通项公式，进而求出数列的通项公式； （2）写出数列的通项公式，根据分组求和法，求出数列的前项和. 【小问1详解】 由，可得，化简得， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； 【小问2详解】 由可得， 则， 根据分组求和可得. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）. （2）当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 【解析】 【分析】（1）根据导数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程； （2）分类讨论得出导函数的正负进而得出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，函数，所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即得； 【小问2详解】 函数，所以. 当时，单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 17. 有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. （1）设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； （2）从混合放在一起的零件中随机抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 【答案】（1）证明见解析 （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明； （2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差. 【小问1详解】 已知第一台车床加工的零件有件，合格品有件， 第二台车床加工的零件有件，合格品有件， 混合后的合格率为，解得. 【小问2详解】 由可知，一个零件来自第二台车床概率为， 随机变量可能取值有，来自第二台车床零件的个数服从二项分布， 则， 可得， ， ， ， ， 随机变量分布列为： 0 1 2 3 4 根据二项分布，， 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和； （3）设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和为与数列通项公式的关系，求出数列的通项公式； （2）根据对数的运算公式，求出数列的通项公式，根据错位相消法求出数列的前项和； （3）根据数列的函数性质，和等差数列的函数性质，说明不存在三个不同的项构成等差数列. 【小问1详解】 由题意得， 当时，， 作差得，化简得， 可知数列为等比数列，当时，，解得， 所以. 【小问2详解】 可知， 则， 则， 作差得，化简得. 【小问3详解】 已知，可知在函数上， 设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列， 则在函数上， 可知是指数函数，是一次函数， 易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上， 即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19. 已知函数（为自然对数的底数），. （1）求函数在区间上的最值； （2）若对，求证：； （3）求证：. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断函数在区间上单调性，进而可求得最值； （2）证明，通过构造函数，利用导数分析最值即可证得结论成立； （3）令，由（2）得，再借助放缩，得证. 【小问1详解】 对函数求导可得， 令，则， 当时，， 由正弦函数性质可知，当，即，， 当，即，， 因为，所以时，，时，， 即函数在区间单调递增，在区间上单调递减， 而，，， 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 要证，只需要证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为减函数， 则在区间内单调递减 因为，，所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 又因为，，，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为，， 所以在区间内恒成立， 即对，成立； 【小问3详解】 令，所以， 所以，，，…，， 所以. 对，，所以， 所以 ， 所以得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $