回归分析模型的解题方法 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦回归分析模型解题，涵盖线性回归、拟合效果分析、非线性回归三类题型，含高考真题（如2007广东卷）及生活垃圾处理、民宿收益等实际应用案例，适配高中数学一轮复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |线性回归模型|3例|相关系数、回归方程、预测应用|结合高考真题，注重样本中心与最小二乘法应用| |模型拟合效果分析|3例|残差分析、相关指数R²|通过折线图数据，强化模型拟合精度判断| |非线性回归模型|2例|变量变换（对数、幂函数等）、回归方程转化|联系企业生产、乡村旅游等现实情境，突出模型转化能力|

回归分析模型的解题方法 题型1：线性回归模型 1. 基本知识点 （1）判断两个变量是否具有线性相关关系 ①散点图：通过观察散点图判断两个变量是否具有线性相关关系，但感觉可靠性不强. 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. ②相关系数：统计中用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱. 相关系数的公式为.当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关. 若，则认为变量与有很强的线性相关关系. （2） 线性回归方程及其应用 ①，则变量与正相关；，则变量与负相关； ②线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ， 其中，；称为样本点的中心. ③利用回归直线方程进行预测. 2. 例题讲解 例1.1、 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） 解：正相关可得线性回归方程的斜率为正，排除C、D，又过中心点，即线性回归方程过点，排除B，选A. 例1.2、（2007广东卷理17文18）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1） 请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，. 解： (1)根据表格数据作散点图： (2)=32.5+43+54+64.5=66.5，，， ， ， 故线性回归方程为 (3)根据线性回归方程为的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35(吨)，故耗能减少了(吨). 例1.3、下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 参考数据：，，，≈2.646. 参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 解：(1)由折线图这数据和附注中参考数据得，，， 所以 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. (2)由及(1)得， 所以，关于的回归方程为 将2016年对应的代入回归方程得， 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨. 题型2：模型拟合效果分析 1.基本知识点 （1）残差分析 ①作出残差图，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. ②残差平方和越小，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. （2）相关指数 ①相关指数计算公式是：，取值越大，模型的拟合效果越好.，说明回归直线方程拟合得越好；，说明回归直线方程拟合的越差. ②在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.越接近于1，表示回归的效果越好. 2.例题讲解 例2.1、在研究身高与体重的关系时，求得相关指数=________，可以叙述为“身高解释了69%的体重变化，而随机误差贡献了剩余_______”. 解：由相关指数的含义可知“身高解释了69%的体重变化”，即相关指数=0.69.随机误差贡献了剩余的31%. 答案：0.69 31% 例2.2、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下： 编　号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 零件数x /个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y /分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差； (2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？ 解：(1)根据表中数据作出散点图， 从而可以判断出用线性回归模型来拟合数据． 计算得加工时间对零件数的线性回归方程为. 残差数据如下表， 编号 1 2 3 4 5 残差 0.36 0 0.64 编号 6 7 8 9 10 残差 0.28 0.24 (2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标作出残差图，如图所示： 由图可知残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好． 【(2)作出残差图，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.】 例2.3、如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016． (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果． 参考数据：=54，， 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为，； 反映回归效果的公式为，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好. 解：（1）由题意得 ∵0.935＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系； （2）=54，，=54=51， ∴y关于t的回归方程 当t=8，，预测2017年该企业污水净化量约为57吨； （3）R2==1≈0.875，∴企业污水净化量的差异有87.5%是由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的． 【取值越大，模型的拟合效果越好.在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.越接近于1，表示回归的效果越好.】 题型3：非线性回归模型 1.基本方法 ①通过变换，令，转化为线性回归模型；②利用回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式求解出与的线性回归方程；③再把代入与的线性回归方程，得到与的回归方程. 2.例题讲解 例3.1、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中， (1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利率与x、y的关系为.根据(II)的结果回答下列问题： (i)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii)年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 解：(1)由散点图可以判断适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型； (2)令，则，得到了关于的线性回归方程， 由于，， 所以关于的线性回归方程为， 所以关于的回归方程为； (3)(i)由(2)知，当时，年销售量的预报值是， 年利润的预报值是； (ii)由(2)得，年利润的预报值是， 当，即时，取得最大值， 所以年宣传费46.24千元时，年利润的预报值最大. 【求非线性回归方程，先通过变换转化为线性回归模型，再间接求得与的回归方程， 体会用线性回归模型研究非线性回归模型；利用所求的回归方程进行预报预测.】 例3.2、在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图. ①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程； ②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；. 参考数据：记，，，， ，， ，，，. 解：①根据散点图的分布情况，各散点连线更贴近的图象，故 的拟合效果更好，令，则 依题意，，， 所以， 所以，所以回归方程为. ②设旅游淡季民宿租金为，则淡季该民宿的出租率， 所以该民宿在这280天的收益 ， 所以，令得，，所以， 且当时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，存在最大值， 所以旅游淡季民宿租金约定为181元时，该民宿在这280天的收益达到最大. 常见的非线性回归模型 （1）幂函数曲线 处理方法：两边取自然对数得，再设， 则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出， 再由求出，最后将求出的代入原方程。 （2）指数曲线 处理方法：两边取自然对数得，再设， 则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出， 再由求出，最后将求出的代入原方程。 （3）倒指数曲线 处理方法：两边取自然对数得，再设， 则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出， 再由求出，最后将求出的代入原方程。 （4）对数曲线 处理方法：设，则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出，最后将求出的代入原方程。 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 回归分析模型的解题方法 题型1：线性回归模型 1. 基本知识点 （1）判断两个变量是否具有线性相关关系 ①散点图：通过观察散点图判断两个变量是否具有线性相关关系，但感觉可靠性不强. 在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. ②相关系数：统计中用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱. 相关系数的公式为.当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关. 若，则认为变量与有很强的线性相关关系. （2） 线性回归方程及其应用 ①，则变量与正相关；，则变量与负相关； ②线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ， 其中，；称为样本点的中心. ③利用回归直线方程进行预测. 2. 例题讲解 例1.1、 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本的平均数，，则由观测的数据得线性回归方程可能为（ ） 例1.2、（2007广东卷理17文18）下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据. 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1） 请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：，. 例1.3、下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 参考数据：，，，≈2.646. 参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 题型2：模型拟合效果分析 1.基本知识点 （1）残差分析 ①作出残差图，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. ②残差平方和越小，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. （2）相关指数 ①相关指数计算公式是：，取值越大，模型的拟合效果越好.，说明回归直线方程拟合得越好；，说明回归直线方程拟合的越差. ②在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.越接近于1，表示回归的效果越好. 2.例题讲解 例2.1、在研究身高与体重的关系时，求得相关指数=________，可以叙述为“身高解释了69%的体重变化，而随机误差贡献了剩余_______”. 例2.2、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下： 编　号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 零件数x /个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y /分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差； (2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？ 例2.3、如图是某企业2010年至2016年污水净化量（单位：吨）的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016． (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果． 参考数据：=54，， 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为，； 反映回归效果的公式为，其中R2越接近于1，表示回归的效果越好. 题型3：非线性回归模型 1.基本方法 ①通过变换，令，转化为线性回归模型；②利用回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式求解出与的线性回归方程；③再把代入与的线性回归方程，得到与的回归方程. 2.例题讲解 例3.1、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中， (1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利率与x、y的关系为.根据(II)的结果回答下列问题： (i)年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ii)年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， 例3.2、在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地.某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率（），设民宿租金为（单位：元/日），得到如图所示的数据散点图. ①根据散点图判断，与哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程； ②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出的日常支出成本.试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金约定为多少元时，该民宿在这280天的收益达到最大？ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；. 参考数据：记，，，， ，， ，，，. 常见的非线性回归模型 （1）幂函数曲线 处理方法：两边取自然对数得，再设， 则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出， 再由求出，最后将求出的代入原方程。 （2）指数曲线 处理方法：两边取自然对数得，再设， 则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出， 再由求出，最后将求出的代入原方程。 （3）倒指数曲线 处理方法：两边取自然对数得，再设， 则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出， 再由求出，最后将求出的代入原方程。 （4）对数曲线 处理方法：设，则原方程变为，再根据线性回归模型的方法求出，最后将求出的代入原方程。 ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $