2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 课件第一章 1.2　集合间的基本关系

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集的概念与判断，通过Venn图表达关系。课堂导入以问题情境引导学生观察具体集合实例，从具体到抽象建立概念，承接集合基本概念，为后续运算构建知识支架。 其亮点在于以问题驱动和分层探究培养核心素养，通过实例抽象集合关系发展数学抽象，类比实数关系推理集合相等提升逻辑推理，结合Venn图与数轴强化直观想象。采用“探究点+例题+训练+总结”模式，助学生系统掌握知识，提升思维能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富素材。

1.2　集合间的基本关系 核心知识目标 核心素养目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集 2.在具体情境中,了解空集的含义 3.会判断集合间的基本关系 4.能使用Venn图表达集合间的基本关系 1.通过对集合间基本关系的学习,培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养 2.通过Venn图的应用,发展直观想象的核心素养 2 知识探究·素养启迪 知识探究 1.子集的概念 [问题1] 下面给出的两对集合,集合A中的元素都是集合B中的元素吗? (1)A={0,1,2},B={0,1,2,3}; (2)A={x|x<-1},B={x|x<1}. 提示:(1)是.　(2)是. 梳理1　子集 (1)定义:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中 元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集. (2)符号表示:A⊆B(或B⊇A),读作“A B”(或“B A”). (3)Venn图表示: (4)性质 ①任何一个集合都是它本身的子集,即 . ②对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A C. 任意一个 包含于 包含 A⊆A ⊆ 2.集合的相等 实例 观察下面两个例子: (1)设C={x|x是两条边相等的三角形},D={x|x是等腰三角形}; (2)C={1,5,6},D={6,5,1}. [问题2-1] 你能发现两个集合间有什么关系吗? 提示:(1)(2)中集合C,D的元素相同,即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素,同时,集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素. [问题2-2] 与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则 a=b”相类比,在集合中,你能得出什么结论? 提示:若两个集合互为子集,则这两个集合相等. 梳理2　集合相等 (1)定义:一般地,如果集合A的 元素都是集合B的元素,同时集合B的 元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B . 也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则 . (2)符号表示:A=B. (3)Venn图表示: (4)性质:对于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A C. 任何一个 任何一个 相等 A=B = 3.真子集的概念 [问题3] 对于“问题1”中给出的两对集合,集合B中的元素都是集合A中的元素吗? 提示:不全是. 梳理3　真子集 (1)定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集合A是集合B的真子集. (2)符号表示:A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3)Venn图表示: (4)性质:对于集合A,B,C,如果A⫋B,且B⫋C,那么 A C. ⫋ 4.空集 [问题4] 集合A={x|x<-1且x>3}中有多少个元素? 提示:0个. 梳理4　空集 (1)定义: 的集合叫做空集. (2)符号表示: . (3)规定:空集是任何集合的 ,是任何非空集合的 . 不含任何元素 ⌀ 子集 真子集 小试身手 1.下列选项正确的是(　 　) A.0∈⌀ B.⌀∈{0} C.{0}⊆⌀ D.⌀⊆{0} D 解析:⌀是不含任何元素的集合, 所以0∉⌀,⌀⊆{0}.故选D. 2.集合{x|x=1}的子集有　　个.  2 3.用“∈”“∉”“⫋”“⫌”或“=”填空: (1)5　　　　{5};  (2){a,b,c}　　　　{a,c};  (3){1,2,3}　　　　{3,2,1};  (4)⌀　　　　{0}.  ∈ ⫌ = ⫋ 4.集合A={x|x=3m-1,m∈N}和B={x|x=3m+2,m∈N}之间的关系是　　　 .  解析:由A={-1,2,5,8,…},B={2,5,8,…},知B⫋A. B⫋A 课堂探究·素养培育 探究角度1　子集的列举、子集个数 [例1] 已知集合M={x|x<2且x∈N},N={x|-2<x<2且x∈Z}. (1)写出集合M的子集、真子集; 子集与真子集的概念 解:M={x|x<2且x∈N}={0,1}, N={x|-2<x<2,且x∈Z}={-1,0,1}. (1)M的子集为⌀,{0},{1},{0,1};其中真子集为⌀,{0},{1}. (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数. 解:(2)N的子集为⌀,{-1},{0},{1},{-1,0},{-1,1},{0,1},{-1,0,1}. 所以N的子集数为8,真子集数为7,非空真子集数为6. 即时训练1-1:已知集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况. 解:由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下. 含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有5个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}, {1,2,3,4,5}. (1)写一个集合的子集时,可按子集中元素的个数多少分类写出,注意要做到不重不漏. (2)n个元素的集合,其子集、真子集的个数讨论: ①⌀的子集只有1个. ②{a}的子集有2个. ③{a,b}的子集有4个. 写一个集合的子集时,不要忘记⌀和其本身. ④{a,b,c}的子集有8个. …… 含有n个元素的集合M有2n个子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集. 解:(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A⫋B. 探究角度2　集合间关系的判断 [例2] 写出下列各对集合之间的关系: (1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; 解:(2)当k,n取整数时,A={…,-4,-2,0,2,4,6,…}, B={…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,…},故A⫋B. (2)A={x|x=2n,n∈Z},B={y|y=k+2,k∈Z}; 即时训练2-1:写出下列各对集合之间的关系. (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; 解:(1)因为x=2k-1,k∈Z和x=2m+1,m∈Z,且2k-1和2m+1都能被2除余1,都是奇数,所以A,B都是由奇数构成的集合,即A=B. (2)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*}; 解:(2)因为A={x|x=2n-1,n∈N*}={1,3,5,…},B={x|x=2n+1,n∈N*}={3,5,7,…}, 所以B⫋A. (3)A={x|-1≤x<3},B={x|x-2≤1}; 解:(3)因为A={x|-1≤x<3},B={x|x-2≤1}={x|x≤3},所以A⫋B. (4)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}. 解:(4)因为等边三角形必是等腰三角形,腰与底边不等的等腰三角形不是等边三角形,所以A⫋B. 判断两个集合间的关系时,首先要明确集合的元素特征,分析集合的元素之间的关系,然后根据以下方法判断: (1)直接法:首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是,则A⊆B,否则A不是B的子集.其次通过判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A来判断它们之间的真子集关系. (2)对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即可知道它们之间的关系. (3)对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析;若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断. (4)对于不等式表示的数集,可在数轴上标出集合的元素,直观地进行判断,但要注意端点值的取舍. 集合相等 [例3] 已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},若A⊆B,且B⊆A,求实数a,b的值. 根据集合相等求参数,首先分析一个集合中的元素与另一集合中哪个元素相等,分几种情况进行讨论,然后通过列方程(组)求解.当集合中的未知元素不止一个时,情况会更复杂,需要多次讨论.求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验,排除不合要求的解. 根据集合间的关系求参数值或取值范围 探究角度1　求参数值 [例4] 集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B⊆A,则实数k=　　 .  解析:A={x|x2=4,x∈R}={-2,2}. 因为B⊆A, 所以B=⌀,B={2},B={-2},B={-2,2}. 因为方程kx=4最多有一个实数根或无根,因此分类讨论如下:当B=⌀时,方程kx=4无实根,所以k=0; 0,2,-2 当B={2}时,则2是方程kx=4的实根,故2k=4⇒k=2; 当B={-2}时,则-2是方程kx=4的实根, 故-2k=4⇒k=-2. 综上可知实数k=0,2,-2. B 对于两个集合是用列举法或描述法(元素个数有限)表示的集合间的关系,常转化为方程(组)求解,注意所求参数要满足集合中元素的互异性,若含参数的集合是一个给定集合的子集时,还要注意空集是任何集合子集的特殊情况,如本例中k=0,若忽视,则漏解. 探究角度2　求参数范围 [例5] (1)已知集合A={x|x2-7x+12=0},集合 B={x|3kx+4=0},B⫋A,求k的取值集合; (2)已知M={x|2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a-1},若N⊆M,求实数a的取值范围. 即时训练5-1:已知集合A={x|-1<x<2},B={x|2m-5<x<-m+3}. (1)若A⊆B,求m的取值范围; (2)若B⫋A,求m的取值范围. 由含参数的连续数集之间的子集、真子集关系求参数取值范围时常利用数轴法求解,若含参数的集合是确定集合的子集或真子集时,应考虑该集合为空集的特殊情况,并且要注意验证参数的端点值是否满足题意. 1.已知全集U=R,则能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0} 的关系的韦恩图是(　 　) B 解析:x2+x=0的解为-1和0,因此集合N是集合M的真子集.故选B. 2.(多选题)下列说法中正确的是(　 　) A.空集没有子集 B.任何集合至少有一个子集 C.空集是任何集合的真子集 D.若⌀⫋A,则A≠⌀ BD 解析:空集的子集是本身且空集只有一个子集,因此A错误;B正确;由于空集是任何非空集合的真子集,因此C错误;D正确.故选BD. 3.集合{a,b,c}的所有子集为  　, 其中真子集有　 　　个.  解析:集合{a,b,c}的所有子集为⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},真子集有23-1=7(个). ⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}　 4.若{x|x≥a}⊆{x|x≥-1},则实数a的取值范围是　　　　　　　.  {a|a≥-1} 7 感谢观看 (3)A={x|x=k+,k∈Z},B={x|x=2k+,k∈Z}. 解: (3)集合A中,x=k+=(k∈Z),因此k∈Z时,2k+1是奇数;集合B中,x=2k+=(k∈Z),因此k∈Z时,4k+1只表示部分奇数,故B⫋A. 解:因为集合A={a,b,2},B={2,b2,2a}, A⊆B且B⊆A,所以A=B, 所以或 解得a=0,b=0或a=0,b=1或a=,b=. 当a=0,b=0时,A={0,0,2},不满足集合元素互异性,舍去; 当a=0,b=1时,A={0,1,2},B={2,1,0},A=B成立; 当a=,b=时,A={,,2},B={2,,},A=B成立. 所以实数a,b的值为a=0,b=1或a=,b=. 即时训练3-1:已知集合A={a,,1},B={a2,a+b,0},若A=B,求实数a,b的值. 解:由于集合B中有元素0,而集合A中的a不能为0,所以必然是=0,可以得到b=0,此时集合A={a,0,1},B={a2,a,0}, 由于集合A中有元素1,若则a=-1,故a=-1,b=0. 即时训练4-1:已知集合A={1,3,},B={1,m},B⊆A,则m等于(　　) A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3 解析:因为B⊆A,所以m=3或m=. 若m=3,则A={1,3,},B={1,3},满足B⊆A. 若m=,解得m=0或m=1. ①若m=0,则A={1,3,0},B={1,0}, 满足B⊆A; ②若m=1,则A,B不满足集合中元素的互异性,舍去. 综上,m=0或m=3.故选B. 解:(1)由已知,A={3,4}, 因为B⫋A,所以当B=⌀时,k=0, 当B={3}时,3k×3+4=0,k=-, 当B={4}时,3k×4+4=0,k=-. 综上, k的取值集合为{0,-,-}. 解: (2)当N=⌀时,a+1>2a-1,解得a<2. 当N≠⌀,即a≥2时,要使N⊆M成立, 则解得1≤a≤3,此时2≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是{a|a≤3}. 解:(1)若A⊆B,如图所示, 则解得m≤1,所以m的取值范围为{m|m≤1}. 解: (2)当B=⌀时,2m-5≥-m+3,解得m≥,此时B⫋A;当B≠⌀时,如图所示, 则(等号不同时成立),解得2≤m<.综上,m的取值范围为{m|m≥2}. $