精品解析：山东青岛市市南区2025-2026学年2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量检测八年级数学试题

2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量检测八年级数学试题 （满分：120分；时间：120分钟） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 胶州剪纸是青岛非遗项目，其纹样对称优美．下列剪纸纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把分式中的x、y同时变为原来的0.5倍，那么分式的值（　 ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不改变 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于下列命题： ①是最简分式； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③无论x取何值，代数式的值都不小于1； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 48 7. 在梯形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形和四边形均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形绕点A旋转，使点E恰好落在上，连接．以下结论正确的有（ ） ①； ②； ③的面积为面积的一半； ④点B在的垂直平分线上． A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若，，则_______（填“”或“”或“”） 12. 已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 13. 如图，在中，O为对角线和的交点，点M，N，P分别是，，的中点，连接，，，，，则的度数为______°． 14. 线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 15. 对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 16. 如图，平面直角坐标系中，过点的直线与轴垂直，点M、N为直线上两个动点，且线段长度固定为3．已知点，，则的最小值为_______． 三、作图题（本题满分4分） 17. 已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 四、解答题（本题大满分68分，共有8道题） 18. 如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，四边形的顶点都在格点上．将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形，四边形关于点O的中心对称图形是四边形． （1）请画出四边形； （2）请画出四边形； （3）若将四边形绕某一点旋转可得到四边形，则旋转中心的坐标是_______． 19. 计算： （1）因式分解：； （2）解分式方程：； （3）解不等式组：，并写出它的所有整数解的和． 20. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 21. 某公司根据青岛海洋城市特点推出“海蛎子”和“生蚝”两种海鲜毛绒玩偶进行销售，已知“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价比“生蚝”毛绒玩偶的销售单价少10元，用1800元购买“海蛎子”毛绒玩偶的数量是用2750元购买“生蚝”毛绒玩偶数量的，求“海蛎子”毛绒玩偶和“生蚝”毛绒玩偶的销售单价． 22. 已知：在中，，分别平分，，分别交于点E，F，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 23. 某超市从海鲜养殖基地以20元/斤的价格购进了100斤活虾，运输过程中部分活虾无法存活，销售时会以冰鲜虾的价格出售，活虾的售价为30元/斤，冰鲜虾的售价为15元/斤．这批虾运到超市上架销售，若当天全部卖出，可获得利润为850元． （1）求运输过程中虾的存活率是多少？ （2）在实际销售过程中，若当天不能全部卖完，每天又会有3斤活虾无法存活，超市将这批虾最多多少天卖完，才能获得至少的利润？ 24. 已知：如图①，是等边三角形，O为中线的交点，M，N分别为边，上一点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图②，四边形是边长为1的正方形，，点O为和的角平分线的交点，M，N分别为边，上一点，当_______°时，是等腰三角形，此时的最小值是_________； （3）反思以上解题过程，你还可以研究哪些问题？ 25. 数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． （1）用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； （2）请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． （3）以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末学业水平质量检测八年级数学试题 （满分：120分；时间：120分钟） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共有25道题； 2．所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1. 胶州剪纸是青岛非遗项目，其纹样对称优美．下列剪纸纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；  B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；  C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；  D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意. 2. 把分式中的x、y同时变为原来的0.5倍，那么分式的值（　 ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不改变 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据题意得，， ∴新分式的值是原分式的，即分式的值缩小为原来的． 3. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，解题关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，根据概念逐一判断选项即可． 【详解】∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是几个整式的积的形式， 选项A：左边是单项式，不是多项式，不符合题意； 选项B：右边是和的形式，不是整式的积，不符合题意； 选项C：是整式乘法，从积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； 选项D：左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，正确． 4. 对于下列命题： ①是最简分式； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③无论x取何值，代数式的值都不小于1； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． 其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：①的分子分母没有公因式，符合最简分式的定义，是真命题； ②由三角形外角性质可知，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是真命题； ③， 无论取何值，都有， ，即代数式的值都不小于1，是真命题； ④只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，命题未给出两条直线平行的条件，是假命题； 综上，真命题共有个． 5. 某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设  ，根据等腰三角形的性质（等边对等角）和三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），逐步用  表示出 、、，最后利用  是  的外角建立方程求解． 【详解】设 ，  ，  ，   （三角形外角性质）．  ，  ，    是  的外角，  ，即 ， 解得 ，  ． 6. 我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ） A. 36 B. 40 C. 44 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据“美丽数”定义，设两个偶数表示出平方差，因式分解推导美丽数的性质，再结合性质判断各选项即可． 【详解】解：设两个偶数分别为,（，为整数，）， 根据定义，美丽数， 即， ，和为偶数， 与同奇偶， 对选项逐一判断： A选项：，，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此36是美丽数． B选项：，，10的所有正因数分解为、，两组因数均为一奇一偶，不符合同奇偶要求，不存在整数解，因此40不是美丽数． C选项：，取，，均为奇数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此44是美丽数． D选项：，取，，均为偶数，符合同奇偶要求，存在整数解，因此48是美丽数． 7. 在梯形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，证明四边形是平行四边形，则，，进而得，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，  ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对原式通分化简，再结合已知得到与的关系，代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 9. 若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，得到不等式组的公共解集，再根据整数解的个数确定参数a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有4个整数解， ∴这4个整数解为， ∴， ∴． 10. 如图，四边形和四边形均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形绕点A旋转，使点E恰好落在上，连接．以下结论正确的有（ ） ①； ②； ③的面积为面积的一半； ④点B在的垂直平分线上． A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定可证明，得出，，，根据三角形外角的性质可得出，则，即可判断①、②；根据已知条件无法证明是中点，即可判断③、④. 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， 设、相交于O， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 根据已知条件无法证明是中点， ∴的面积不一定是面积的一半,则的面积不一定是面积的一半；点B不一定在的垂直平分线上． 故①②正确，③④不正确． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 若，，则_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：，， ． 12. 已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 根据题意得， ∴ ∴． 13. 如图，在中，O为对角线和的交点，点M，N，P分别是，，的中点，连接，，，，，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，根据三角形中位线定理和平行线的性质求出，，然后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别是，，的中点， ∴，， ∴，， ∴. 14. 线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A及其对应点的坐标得到平移方式，再计算点B对应点的坐标． 【详解】解：∵点平移后对应点的坐标为， ∴平移方式为线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即． 15. 对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 16. 如图，平面直角坐标系中，过点的直线与轴垂直，点M、N为直线上两个动点，且线段长度固定为3．已知点，，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取点，作点关于的对称点，连接，，,则，，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当B、N、D三点共线时，最小，最小值为，然后根据两点间距离公式求出，即可求解. 【详解】解：取点，作点关于直线的对称点，连接，，,则， ∵过点的直线与轴垂直， ∴， ∵点， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当B、N、D三点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为. 三、作图题（本题满分4分） 17. 已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【详解】解：先作一条直线，在直线上取点D，过D作直线的垂线，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，交垂线于点A，连接，此时；以A为圆心，线段的长为半径画弧，交第一步的直线于B、C两点，连接、，此时即为所求三角形． 四、解答题（本题大满分68分，共有8道题） 18. 如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，四边形的顶点都在格点上．将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形，四边形关于点O的中心对称图形是四边形． （1）请画出四边形； （2）请画出四边形； （3）若将四边形绕某一点旋转可得到四边形，则旋转中心的坐标是_______． 【答案】（1） （2）如（1）图 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移方式得到点、、、的坐标，顺次连接得到四边形； （2）根据关于中心对称点的坐标特征，得到点、、、的坐标，顺次连接得到四边形； （3）可选取两组四边形与的对应顶点，利用中点坐标公式计算对应点连线的中点，该中点即为旋转中心． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由图可知，点、点，由（2）知，点、点， 点A和点的中点坐标为，即， 点和点的中点坐标为，即， 旋转中心的坐标为． 19. 计算： （1）因式分解：； （2）解分式方程：； （3）解不等式组：，并写出它的所有整数解的和． 【答案】（1） （2） 原分式方程无解 （3） 所有整数解的和为 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得 解得 检验：当时， ∴原方程无解 【小问3详解】 解：解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的整数解为， ∴不等式组的所有整数解的和为 20. 先化简：，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】 ，当时，原式或当时，原式 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的的值代入进行计算即可得到答案． 【详解】 ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式；当时，原式. 21. 某公司根据青岛海洋城市特点推出“海蛎子”和“生蚝”两种海鲜毛绒玩偶进行销售，已知“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价比“生蚝”毛绒玩偶的销售单价少10元，用1800元购买“海蛎子”毛绒玩偶的数量是用2750元购买“生蚝”毛绒玩偶数量的，求“海蛎子”毛绒玩偶和“生蚝”毛绒玩偶的销售单价． 【答案】 “海蛎子”毛绒玩偶销售单价为45元，“生蚝”毛绒玩偶销售单价为55元 【解析】 【分析】设出未知数，根据“总价单价数量”，结合题目给出的数量关系列分式方程，求解后检验即可得到结果.  【详解】解：设“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价为元，则“生蚝”毛绒玩偶的销售单价为元， 根据题意，得： 解得； 经检验，是原方程的解，且符合题意， ； 答：“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价为45元，“生蚝”毛绒玩偶的销售单价为55元. 22. 已知：在中，，分别平分，，分别交于点E，F，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， 、、， ， ，分别平分，， 、， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知，， 、， ， 即， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等、对边平行的结论，再根据角平分线的定义得到，利用““的判定方法证明； （2）根据（1）中的全等三角形得到、，进而证明，得到，从而得出结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 23. 某超市从海鲜养殖基地以20元/斤的价格购进了100斤活虾，运输过程中部分活虾无法存活，销售时会以冰鲜虾的价格出售，活虾的售价为30元/斤，冰鲜虾的售价为15元/斤．这批虾运到超市上架销售，若当天全部卖出，可获得利润为850元． （1）求运输过程中虾的存活率是多少？ （2）在实际销售过程中，若当天不能全部卖完，每天又会有3斤活虾无法存活，超市将这批虾最多多少天卖完，才能获得至少的利润？ 【答案】（1） （2） 天 【解析】 【分析】（1）设出售的活虾为斤，根据利润=总销售额-总成本列方程求出的值，然后根据活虾的斤数除以总斤数即可求解； （2）设超市天卖完这批虾，根据利润不低于列不等式求解即可. 【小问1详解】 解：设出售的活虾为斤， 根据题意，得， 解得， ∴运输过程中虾的存活率是； 【小问2详解】 解：设超市天卖完这批虾，才能获得至少的利润， 根据题意，得， 解得， 答：最多10天卖完. 24. 已知：如图①，是等边三角形，O为中线的交点，M，N分别为边，上一点，． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图②，四边形是边长为1的正方形，，点O为和的角平分线的交点，M，N分别为边，上一点，当_______°时，是等腰三角形，此时的最小值是_________； （3）反思以上解题过程，你还可以研究哪些问题？ 【答案】（1）证明：是等边三角形，O为中线的交点， 点也是角平分线的交点、， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）； （3）在（2）中若是等腰直角三角形，求四边形的面积？ 解：由（2）知，， ， ， ，且， ， 四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中点的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，利用三角形内角和定理求出，进而得到，从而证明，据此得出结论； （2）类比（1）中证明过程得到，利用正方形的性质求解的度数即可；利用勾股定理求出，过点作于点，当点与点重合时，有最小值，最小值为，利用直角三角形斜边中点的性质求出的最小值，从而求出的最小值； （3）类比前两问的正三角形、正方形的情况，可延伸到正边形的对应类似问题即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据题意得，正方形中点是、的角平分线的交点， 、， ， 类比（1）可知，当时，同理可证明， ， 当时，是等腰三角形； 在等腰中，由勾股定理得： 过点作于点， 当点与点重合时，有最小值，最小值为， 是等腰直角三角形， 点为的中点， ， 四边形是边长为1的正方形， ， ， 即的最小值为， 的最小值是； 【小问3详解】 略． 25. 数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． （1）用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； （2）请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． （3）以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【答案】（1） （2）； （3）① ②解：割补后的图形如图： 结论：． 【解析】 【分析】（1）大长方形的面积既可以用长乘宽计算，也可以等于所有卡片面积之和，所以分别计算两种形式的面积，即可得到因式分解等式； （2）将多项式拆分为对应卡片的面积和，多项式对应2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，先对多项式因式分解得到长和宽，再按长和宽拼接卡片，验证面积相等得到等式； （3）①利用割补前后剩余面积相等，图3剩余面积为，图4长方形面积等于长乘宽，根据割补后的边长写出长和宽，即可得到因式分解结果； ②类似①中方法，裁去上方2个宽为1、长为的长方形，再裁去左侧边长为1的3个正方形，剩余面积为，将剩余不规则图形割补，可得到长为、宽为的长方形，据此得到结论． 【小问1详解】 解：图2大长方形的长和宽均为，其面积为，所有卡片的面积和为， 因此，得到因式分解等式：； 【小问2详解】 解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：； 【小问3详解】 解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为， 因此，； ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $