精品解析：山东济南市钢城区2025-2026学年度下学期期末诊断性评价八年级数学试题

2025-2026学年度下学期期末诊断性评价 八年级数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列关于的方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A. B. C. 3 D. 6. 若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（ ）． A. B. ∽ C. D. 10. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 已知则代数式的值为________． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 13. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 14. 如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； （2）与的面积比为________． （3）的面积是________． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 21. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套． （1）若该帐篷每套涨价元，则此时月销售量是多少套？（用含的代数式表示） （2）若要使这款帐篷的月销售利润达到元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元？ 22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． （1）求的长； （2）求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 23. 某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示． （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． （2）求在一个循环内水温高于的时间． （3）若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； （3）如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 25. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为________________． 【拓展探究】 （2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否发生变化？请利用图2进行证明． 【解决问题】 （3）如图3，当矩形的边时，点为射线上异于的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期末诊断性评价 八年级数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列关于的方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了余弦、勾股定理，熟练掌握余弦的定义是解题关键． 先利用勾股定理可得，再根据余弦的定义求解即可得． 【详解】解：∵如图，在中，， ∴， ∴， 故选：A． 3. 若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 4. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得， ∵， ∴该一元二次方程无实数根． 5. 大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）． A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，二次根式的运算，掌握黄金分割比是解题的关键． 根据黄金分割比，可得，代入计算即可． 【详解】解： P为的黄金分割点（）， ， ， （）． 故选：D． 6. 若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 7. 南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵初始本金为2000贯，平均每年增长率为， ∴第一年结束后的总资本为贯， ∴第二年结束后的总资本为第一年总资本乘以，即贯， 又已知两年后总资本为3200贯， ∴可列方程． 8. 函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断反比例函数经过的象限是否符合要求． 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． 9. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（ ）． A. B. ∽ C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图方法即可判断A；然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，从而得到即可判断C；再由，即可判断B；根据勾股定理求出，从而得到的长，即可求出，从而判断D． 【详解】解，由作图方法可知，为的垂直平分线，， ,，故A正确； ，， ， ， ， ， ，， ，故C正确， ，， ，故B正确； ，， ， ， ，故D错误． 10. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，结合，得出垂直平分，即可判断①正确；由①得，则关于直线的对称点为，连接，过点作，交于点，交于点，由对称的性质得，则，当、、三点共线时，的值最小，为的长，由正方形的性质并结合勾股定理计算即可判断②正确；由①可得，，则，结合相似三角形的性质即可判断③正确；由三角形的面积公式计算即可判断④错误． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分，故①正确； ②由①得， ∴关于直线的对称点为， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 由对称的性质得， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即的最小值为，故②正确； ③由①可得，， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∴，故③正确； ④∵四边形为正方形，且边长为， ∴， 在中，， 由①可得， ∴， ∴， ∵的边和的边上的高相等， ∴设的边和的边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 第Ⅱ卷（非选择题 110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 已知则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给出等式得到与的数量关系，再将其代入所求代数式化简计算得到结果． 【详解】解：已知，根据比例的基本性质可得， 整理得， 将代入得： ． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 13. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】在中，求出，在中，求出，根据即可求出楼的高度． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 米． 14. 如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 【答案】70 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，从而可得，再结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则________． 【答案】36 【解析】 【分析】如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．由DE∥BF，推出，设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），想办法用a表示CE，CF，构建方程即可解决问题． 【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD． ∵CD＝2BD， ∴， ∵DE∥BF， ∴， 设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a）， ∵S△ABC＝15，CD＝2BD， ∴S△ADC＝10， ∵OA∥BC， ∴S△ODC＝S△ADC＝10， ∴•OC•DE＝10， ∴OC＝， ∴AB＝OC＝， ∴B（＋，3a）， ∴CE＝−，CF＝＋−＝， ∴（−）：＝2：3， 解得k＝36， 故答案为36． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，计算即可得出结果； （2）先计算特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵； ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； （2）与的面积比为________． （3）的面积是________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3）14 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； 【小问3详解】 解：的面积是． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）2 【解析】 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 21. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套． （1）若该帐篷每套涨价元，则此时月销售量是多少套？（用含的代数式表示） （2）若要使这款帐篷的月销售利润达到元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元？ 【答案】（1） （2）该款帐篷每套应涨价元 【解析】 【分析】（1）根据帐篷每套盈利元时，月销售量为套，每套每涨价元，月销售量将减少套，可知每套涨价元，则此时月销售量； （2）根据销售利润销售量每套盈利，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套， 该帐篷每套涨价元时，月销售量为； 【小问2详解】 解：设该款帐篷每套涨价元， 根据题意得：， 解得：，， 要最大限度让利于消费者，所以涨价元， 答：该款帐篷每套应涨价元． 22. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． （1）求的长； （2）求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】（1）长为 （2）约为米 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【小问1详解】 解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 23. 某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示． （1）分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式． （2）求在一个循环内水温高于的时间． （3）若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适． 【答案】（1）水温上升：关于的函数关系式为；水温下降：关于的函数关系式为； （2）在一个循环内水温高于的时间为分钟； （3）开机接通电源比较合适． 【解析】 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图像分为当时和当时，分别求出函数关系式即可； （）分别求出当时，，解得；，解得；然后相减即可； （）由题意可得，当时，，解得：，从而求解． 【小问1详解】 解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； 水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为， 由图像可得：，解得：， ∴关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，，解得； ，解得； ∴在一个循环内水温高于的时间为（分钟）； 【小问3详解】 解：由题意可得，当时，，解得：， ∴，即开机接通电源比较合适． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； （3）如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，过C作轴交于点T， 设，，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 25. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为________________． 【拓展探究】 （2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否发生变化？请利用图2进行证明． 【解决问题】 （3）如图3，当矩形的边时，点为射线上异于的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长． 【答案】（1） （2）与的数量关系不变，证明如下： ∵，旋转角为， ∴． ∵， ∴， ∴，即． （3）或者 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，从而得出，则，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）先证明，结合相似三角形的性质即可得证； （3）分两种情况：当点E在线段上时，连接、；当点E在线段延长线上时，连接、，分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当矩形的边时，四边形为正方形， ①如图3，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点H为正方形的对称中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、， ∵四边形和四边形为正方形，且点H为正方形的对称中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $