精品解析：安徽省蚌埠市蚌山区2025-2026学年度第二学期期末质量检测八年级数学试卷

2025-2026学年度第二学期数学学科 八年级试卷（A） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需要满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】根据定义，形如的式子叫做二次根式． A．∵被开方数，∴不是二次根式，故不符合题意； B．∵可以取负数，当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式，故不符合题意； C．∵对任意实数，都有，∴，根指数为2，满足二次根式的定义，∴一定是二次根式，故符合题意； D．∵该式子根指数为，属于三次根式，∴不是二次根式，故不符合题意； 2. 2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石(新型超硬材料)，其微观结构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和公式，直接代入正六边形的边数计算即可得到结果． 【详解】解：依题意，该正六边形内角和为． 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即． 4. 对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知分这一组的频数是8，频率是0.2，那么该班级的人数是（ ） A. 16 B. 40 C. 48 D. 60 【答案】B 【解析】 【详解】解： ． 5. 的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三角形内角和定理、勾股定理逆定理、三角形三边关系，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项，∵，且三角形内角和为， ∴最大角，不能判定是直角三角形，A不符合要求； B选项，设，，， ∵，， ∴，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，B符合要求； C选项，所有三角形的内角和都为，该条件无法判定是直角三角形，C不符合要求； D选项，设，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能构成三角形，D不符合要求． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值判断根的情况，掌握判别式与根的对应关系是解题关键． 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵ ， 又∵ 对任意实数，都有， ∴ ，即， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 8. 将一台带有保护套的平板电脑按图1放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测得，．则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理以及勾股定理，解题的关键是得到为直角三角形． 连接，根据三角形内角和定理可以得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ， ，，， 又∵， ∴，即，即， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，． 9. 2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设2023年安徽省新能源汽车产量为基准量1，按逐年实际增长率计算，2024年产量为，2025年产量为； 若两年年平均增长率为，则2025年产量也可表示为， 因此可列方程：． 10. 如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 当是的中点时，的最小值为4 D. 当是的中点时，的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短判断A选项；根据“将军饮马模型”判断B选项；根据两点之间线段最短判断C选项；根据垂线段最短判断D选项． 【详解】解：A选项，∵四边形是菱形，且， 是等边三角形． 是上的动点， ∴当时，最小，此时，， 故A选项不符合题意； B选项，∵四边形是菱形， ∴点关于对称， ． 如图1，连接交于点，当点与点重合时，， 此时，的值最小，过点作交的延长线于点F． ， ， ， ， ，， ，故B选项不符合题意； C选项，如图2，当是的中点时，连接，当三点共线时，的值最小． 是的中点， ， 是等边三角形， ，故C选项符合题意； D选项，如图2，当时，的值最小，此时，故D选项不符合题意． 【点睛】解题时，首先要分析清楚该问题属于哪一种最值题型，再去运用相关类型题目的解题方法求解． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案直接填在答题卷相应的横线上） 11. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 12. 在中，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形边角对应关系，对边为斜边，利用勾股定理得到，可将原式整理为，再代入计算即可． 【详解】解：在中，， 故； ∴， ∵， 故， 即． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根确定的取值范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解，最后舍去不符合范围的解得到结果. 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，，， ， 解得， 方程的两根为，， ，， ， ， ∴ ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得： ，， ， 不符合题意，舍去， . 14. 若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】可以利用配方法解一元二次方程． 【详解】解： ， ， ， ∴，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的正方形网格中，点A、B、E、K均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，作出C，D两点在格点上的平行四边形，使平行四边形的周长为； （2）在图2中，E为中点，点F在边上，作为的中位线，并直接写出的长． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）作，再连接，即可； （2）取格点G，H，连接交于点F，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴． 18. 已知一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入，化简即可得到答案； （2）由得到，代入根的判别式，化简得，解关于b的方程即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵若是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵方程有两个相同的实数根， ∴， 解得， ∴b的值为或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形是菱形，与相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件，证得四边形是平行四边形，又证得，从而得到四边形是矩形； （2）由四边形是矩形、四边形是菱形及勾股定理，解得，，，利用，即可求解的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴， 解得． 20. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． （1）若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ （2）平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 【答案】（1）售价应定为70元 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设每件降价元，根据销售这种服装平均每天盈利1000元，列出方程，解方程即可； （2）根据每天盈利达到1250元，列出方程，判断方程是否有解即可． 【小问1详解】 解：设每件降价元， 由题意列方程：， 整理得， 解得，， 要使顾客得到较多实惠，取，售价为元， 答：售价应定为70元． 【小问2详解】 解：当， 整理得：， 判别式，方程无实数根， 答：平均每天盈利不能达到1250元． 六、（本题满分12分） 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，从中各随机抽取了个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． “DeepSeek”得分在C组中的数据是：，，，，，． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数/分 中位数/分 众数/分 豆包 DeepSeek 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）“豆包”得分的第一四分位数__________分； （3）若本次调查有名用户对“豆包”进行了评分，另有名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用众数、中位数的定义，进行求解； （2）“豆包”得分的第一四分位数即前名数据的中位数，也就是第、名数据的平均值； （3）用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：“豆包”得分出现次数最多的是， ∴， “DeepSeek”得分A组B组共有（人）， 第10名、第11名的数据是：，， ∴， ∵， ； 【小问2详解】 解：方法一：“豆包”得分的前名数据的中位数即“豆包”得分的第一四分位数， ， 方法二：， “豆包”得分的第一四分位数为第5位与第6位的平均数，即 【小问3详解】 解：对“豆包”非常满意（）的用户数有名， 对“DeepSeek”非常满意（）的用户全部在D组， 对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数 （名）， 答：对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为名． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为，，或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形：三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形； （2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】（1）不是，是 （2），证明见解析 （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （3）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为，，的三角形是型三角形， 【小问2详解】 解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，，，且． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，交于点，若点恰好为线段的中点，过点作于点． ①设，则__________（用含的式子表示）； ②证明：． 【答案】（1）∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 又， ∴（）， ∴， ∵， ∴． （2）① ②过点E作于点G，反向延长线交于点I，过点F作于点H，连接， 则，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得，，，可得（），结合，即得． （2）①过点E作于点G，连接，由点M为线段的中点，可得△MFG是等腰三角形，因为，根据三线合一得，由，根据三线合一得，得，由等腰直角三角形得．②过点E作于点G，反向延长线交于点I，过点F作于点H，连接，可得四边形是矩形，得，证明，得，证明∴，得，证明，可得，即得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①过点E作于点G，连接，则， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期数学学科 八年级试卷（A） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年我国科学家成功合成高纯度六方金刚石(新型超硬材料)，其微观结构可抽象为正六边形模型，则该正六边形内角和的度数是( ) A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 对某班组织的一次考试成绩进行统计，已知分这一组的频数是8，频率是0.2，那么该班级的人数是（ ） A. 16 B. 40 C. 48 D. 60 5. 的三边长分别为，，，由下列条件能判断为直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 将一台带有保护套的平板电脑按图1放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示．经测得，．则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是( ) A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，是边的中点，分别是上的动点，连接，若，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 当是的中点时，的最小值为4 D. 当是的中点时，的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案直接填在答题卷相应的横线上） 11. 计算：________． 12. 在中，，，则_______． 13. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 14. 若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的正方形网格中，点A、B、E、K均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，作出C，D两点在格点上的平行四边形，使平行四边形的周长为； （2）在图2中，E为中点，点F在边上，作为的中位线，并直接写出的长． 18. 已知一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值． （2）若方程有两个相同的实数根，且，求b的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，四边形是菱形，与相交于点，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点作，交于点，若，，求的长． 20. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件． （1）若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ （2）平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“DeepSeek”两款人工智能软件进行调查评分，从中各随机抽取了个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． “DeepSeek”得分在C组中的数据是：，，，，，． “豆包”和“DeepSeek”得分统计表 软件 平均数/分 中位数/分 众数/分 豆包 DeepSeek 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）“豆包”得分的第一四分位数__________分； （3）若本次调查有名用户对“豆包”进行了评分，另有名用户对“DeepSeek”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 七、（本题满分12分） 22. 综合与实践 【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为，，或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 （1）三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形：三边长为，，的三角形 （填“是”或“不是”），，型三角形； （2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，，，且． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，交于点，若点恰好为线段的中点，过点作于点． ①设，则__________（用含的式子表示）； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $