专题1.5 等边三角形的性质与判定（9题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦等边三角形的性质（三边相等、三角均60°）与判定（三边相等、三角相等、一角60°的等腰三角形），衔接等腰三角形知识，延伸含30°角直角三角形性质及直角三角形斜边中线性质，构建从特殊到一般的学习支架。 资料通过“即学即练”与分层题型（如求角、动点问题、多结论证明）设计，培养学生几何直观与推理能力，典例结合变式题助力学生用数学语言表达逻辑关系，课中辅助教师精准教学，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5等边三角形的性质与判定 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点1等边三角形及其性质 知识点2等边三角形的判定 2.知识清单 知识点3含30°角的直角三角形的性质 知识点4直角三角形斜边上的中线 题型01利用等边三角形的性质求角 题型02利用等边三角形的性质求边 等边三角形的性质 题型03利用等边三角形的性质求动点问题 与判定 题型04利用等边三角形的性质证明 题型05等边三角形的判定 3.题型精讲 题型06等边三角形的性质和判定多结论题 题型07等边三角形的性质和判定综合题 题型08含30°角的直角三角形 题型09斜边的中线等于斜边的一半 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.探索并掌握等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60°。 2.探索并掌握等边三角形的判定：三个角相等或有一个角是60°的等腰三角形。 教学目标 3.能综合运用等边三角形的性质与判定进行几何证明与计算，体会特殊与一般的数学 思想。 重点： 教学重难点 1. 等边三角形性质的理解与应用（特别是60°角的运用）。 2. 等边三角形判定定理的掌握，并能灵活选用方法证明三角形为等边三角形。 1/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 教学难点： 1. 判定定理“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”的证明与应用。 2.在复杂几何图形中识别等边三角形结构，并利用其性质进行推理与计算。 知识清单 知识点1等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【注意】 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴： (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 【即学即练】1.(25-26八年级上河南洛阳月考)如图，直线m∥n,等边△ABC的顶点B在直线n上， 直线m交AB边于点D.若∠a=18°，则∠B的度数为() A AD m B A.72° B.78° C.86° D.82° 2.(25-26八年级上广东湛江期中)如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE∥AB, 过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. B D (1)求∠F的度数： (2)若CD=2,求DF的长. 知识点2等边三角形的判定 2/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形， (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即学即练】1.(25-26八年级上河北邯郸期中)如图，C为线段AE上一动点.（不与AE重合）， 在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q, 连接P吧，则有以下五个结论：①AD=BE;②PO∥AE;③AB=BO;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其 中正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(25-26八年级上云南曲靖月考)如图，在△ABC中，BA=BC,∠B=60°，点D是△ABC外一点，且 DA=DC,过点D作DE∥BC分别交AB,AC于点E,F. (I)判断△AEF的形状，并说明理由： (2)若AB=15,DE=10,求DF的长. 知识点3含30角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【注意】 (1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不 能应用， (2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系， (3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切. 3/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的 角转化后，再利用这个性质解决问题。 【即学即练】1.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的 中点，DE⊥BC于E,若BE=2,则AC的长为() D B ■ A.4 B.6 C.8 D.10 2.(2425八年级上·河南新乡期中)已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明。 已知：如图1，在aBC中，C=90∠A=30求证：BC=4B, 2 方法一：如图2，延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD。 方法二：如图3，在线段AB上取一点D,使得BD=BC,连接CD B B C D 图1 图2 图3 知识点4直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.· 【即学即练】 1.如图，DE是三角形ABC的中位线，BF平分∠ABC,且∠AFB=90°，若AB=7,BC=11,则EF的长 为 4/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01利用等边三角形的性质求角 【典例1】(25-26八年级上吉林四平·期末)如图，△ACD是等边三角形，若∠BCA=∠EAD,BC-AE, ∠E=130°，则∠B=」 【变式1】(25-26八年级上·北京石景山期末)如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线 上一点，且BC=2CE,则∠E的大小为 B 【变式2】(25-26八年级上·吉林期末)如图，将等边三角形APO的边P吧向两边延长，使PB=QC=P2, 则∠BAC的度数为 C 【变式3】(25-26八年级上·浙江温州·期中)如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中， AC=CD,∠ACD=90°，连接BD交AC于点E,则∠BEC的度数为一· 5/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型02利用等边三角形的性质求边 【典例2】(25-26七年级下·重庆期中)如图，在等边△ABC中，D、E分别在BC、AC边上，BD=CE, 连接AD、BE交于点F,过点A作AG⊥AD,交BE延长线于点G,若FG=8,FD=I,则BE的长度为 【变式1】(25-26八年级上河南周口期末)如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，AB=2,点 D在CB的延长线上，且ED=EC,则BD= D B 【变式2】(25-26八年级上广东汕头期末)如图，在等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，过点 D作DE⊥BC于点E.若AB=I6,则CE的长为 【变式3】(25-26八年级上辽宁丹东·期末)如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别是AB,BC的中 点，点P是线段AE上任意一点，若AE=7,则BP+DP最小值是 6/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03利用等边三角形的性质求动点问题 【典例3】(25-26八年级上河北秦皇岛期末)如图，等边△ABC边长为10cm,D为AB上一点，AD=8」 动点P由B出发以lcm/s的速度沿BC边向点C运动，同时动点Q由点C出发以acm/s的速度沿CA边向点A 运动.若存在某一时刻使得△DBP与△PCO全等，则a=一cms. B 【变式1】(25-26八年级上：全国假期作业)如图1所示，在边长为6cm的等边△ABC中，动点P以lcm/s 的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.设点P的运动时间为(S),t>0.当t=一时，△PAC是直 角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，且动点P,Q均以lcm/s的速度同 时出发.那么当t=_时，△PA0是直角三角形. 图1 图2 【变式2】(25-26八年级上陕西榆林·月考)如图，等边△ABC的边长为8，点E在BC边上，CE=3,射 线CD⊥BC于点C.点P是射线CD上一动点，点F是AB边上一动点，连接PE,PF，当PE+PF的值 最小时，AF的长为 7/23 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25八年级上浙江金华月考)我们规定对角互补的四边形称为对补四边形. (1)如图1，四边形ABCD为对补四边形，∠A=75°，则∠DCE的度数为 (2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=12cm,若动点P从点A沿着AB运动，速度为lcm/s,动点Q从 点A沿着AC运动，速度为l.5cm/s,两个动点同时出发，当点Q运动到点C时所有运动停止.连结PC, BQ交于点D,当四边形APDQ为对补四边形时，此时的运动时间为 S. 题型04利用等边三角形的性质证明 【典例4】(25-26八年级上：河南安阳月考)如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同 直线上，连接BE (I)求证：△ACD≌△BCE (2)若CE=6,BE=7,求AE的长， 【变式1】(25-26八年级上：广东汕头月考)如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点， 且AD=BE,AE与CD相交于点F. 8/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F B E 图1 图2 (1)如图1，求∠CFE的度数： (2)如图2，过点C作CH1AE于点H,若AE=5,HF-2,求DF的长度. 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)已知△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∠EDF=120°，∠EDF两边分别交直线AB、AC于点E、F. D 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：DE=DF; (2)如图2，当∠EDF的两边分别交线段AB、AC延长线于点E、F时，作DH垂直AB于H,求证： AF-AE=2EH (3)如图3，当LEDF的两边分别交线段BA、AC延长线于点E、F时，AE=1,AF=7,求线段AB的长， 【变式3】(25-26八年级上广东汕头期中)己知在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC. E D D B B 图1 图2 备用图 (I)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出 结论：AE DB(填“>”“<”或“=”)： (②)【特例启发，解答题目】如图2，当E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请判断 AE和DB的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作EF∥BC,交AC于点F) (3)【拓展结论，设计新题】在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且 ED=EC.若△ABC的边长为3，AE=4,求CD的长.（利用备用图探究） 9/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05等边三角形的判定 【典例5】(25-26八年级上：云南昆明期末)如图，在△ABC中，AB=AC,过点A作AD L AB,交边 BC于点D,且DA=DC,延长DA使EA=DA,连接BE. D (1)求∠ABC的度数： (②)求证：△EBD是等边三角形. 【变式1】(25-26八年级上：江苏南京·月考)如图，在△ABC中，∠B=∠C=∠1=30°，点D、E在边BC 上（点D在点E的左侧），BD=CE E (I)证明：△ABD≌△ACE, (2)求证：△ADE是等边三角形. 【变式2】(25-26八年级上河南周口·月考)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,△ADE是等边三角 形，且点B,D,E,C在同一条直线上. (I)若AD=3,BC=15,求CE的长； (2)以AC为腰在AC下方作等腰三角形AFC,使AF=AC,连接EF,若BD=EF.求证：△ABF是等边 三角形 【变式3】(25-26八年级下·全国周测)如下图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点A,D,C在同一 条直线上，连接BD,CE.M,N分别是BD,CE的中点，连接AM,AN,MN. 10123 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：BD=CE (2)求直线BD,CE所夹锐角的度数. (3)试判断△AMN的形状，并说明理由. 题型06 等边三角形的性质和判定多结论题 【典例6】(25-26八年级上：甘肃天水期末)如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B,C,E 在同一条直线上，AE与BD相交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD相交于点F,连接OC,FG.下 列结论：①AG=BF;②FG∥BE;③DF=DE;④∠DOE=60°；其中正确的结论有()个. A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】(25-26八年级上四川南充期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC为腰向 Rt△ABC外部作等腰△BCD,BC=DC,∠BCD=∠BCA,DE⊥BC于F,交AB于点E,连接CE.下 列四个结论：①AB=FD;②DR平分∠BEC;③∠ACE=∠BDE;④若AC∥BD,则△BCD为等边三角 形.其中正确的个数有() D A E B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【变式2】(25-26八年级上·广东深圳期末)如图，已知∠A0B=120°，点D是∠A0B的平分线上的一个 11/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 定点，点E,F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形：②四 边形DEOF的面积是一个定值：③当DE⊥LOA时，△DEF的周长最小：④当DE‖OB时，DF也平行于OA, 其中正确的是() B A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③ 【变式3】(25-26八年级上河南信阳期中)如图，在△ABC中，AC=BC,∠B=30°，D为AB的中点， P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA=PE.有下列结论：①∠PAD+∠PEC=30°：②△PAE为 等边三角形：③BC=EC+CP;其中正确的结论是() A.①②③ B.① C.①② D.②③ 题型07等边三角形的性质和判定综合题 【典例7】(25-26八年级上陕西安康期末)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD L BC,垂足为 G,且AD=AB,E,F分别是边AB,AC上的点，且∠EDF=60° B D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=8,AE=6,求AF的长 【变式1】(25-26八年级上：广西南宁·期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC交 BC于点G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F」 12123 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)求证：△BDE≌△ADF: (3)若AD=6,DE=5,则四边形AEDF的周长为 【变式2】(25-26八年级上江西赣州期中)如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD, ∠DAB=6O°，过点C作CE∥BA交AD于点E,交BD于点F,连接AC交BD于点H, (I)判断△DEF的形状，并说明理由. (2)求证：AC平分∠DAB (3)若AD=13,CE=8,求DE的长， 【变式3】(25-26八年级上·天津西青·期末)己知△ABC中，BC=AC,点D,E分别在边BC,AC上， AD和BE相交于点F,∠ABE=∠DAC,∠BFD=60° 图① 图② 图③ (I)如图①，求证：△ABC为等边三角形： (2)如图②，过点B作BH⊥AD于点H,求证：AD=EF+2FH: (③)如图③，在(2)的条件下，过点C作CG∥BE交AD延长线于点G,若CG=6,HF=5,请直接写出线 段AG的长， 题型08含30°角的直角三角形 13123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【典例9】(2026四川凉山中考真题)如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC∥OB交OA于 点C,若OC=2,∠POB=15°，则点P到OB的距离PD的长是 y B 【变式1】(2026九年级下·福建泉州专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC,∠A=30°，CD⊥AC交 AB于点D,CD=1,则AB的长是一· D 【变式2】(25-26九年级下河南周口阶段检测)如图在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的 中点，DE⊥AC于点E,AE=5,则CE的长为 B 【变式3】(2026四川攀枝花中考真题)在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=2,BC=6,∠B=30° 则△ABD的面积为 30° 题型09 斜边的中线等于斜边的一半 【典例9】(25-26八年级下·江西南昌期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, ∠BCD=20°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为 B 【变式1】(25-26八年级下·上海徐汇期末)如图，点G是△ABC的重心，且AG1GC,已知BG=6,则 14123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ AC的长为 G 【变式2】(25-26八年级下江苏南通期末)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，以点C为 圆心，CD长为半径作弧，与AB的另一个交点为E.若∠A=35°，则∠DCE= 度 D E B 【变式3】(25-26八年级下安徽六安期末)如图，△ABC中，E,F分别是AB,AC的中点，点D在 EF上，延长AD交BC于N,BD⊥AN,AB=13,BC=17,则DF= 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下·陕西西安阶段检测)如图，已知△ABC是等边三角形，BC=BD,∠CBD=70°，则 ∠1的度数是() D 15123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.85° B.80° C.75° D.70° 2.(25-26八年级下江西抚州期末)如图，在△ABC中，AC=BC,∠B=30°，BC的垂直平分线交BC 于点E,交AB于点D,若DE=3,则AB的长为() /D A.12 B.14 C.16 D.18 3.(25-26七年级下·福建泉州期末)如图，现有一张三角形纸片ABC,其中∠A=25°，D为AC上一点， 将纸片沿BD折叠，使点A落在点A'处，且折叠后得到的三角形A'BC是等边三角形，则∠ABD的度数为 () D B A.25 B.30° C.35° D.40° 4.(25-26八年级下河南鹤壁期末)如图，AB=2,AC=4,AD平分∠BAC,交BC于点D,过点C 作AD的垂线，交AD的延长线于点E,连接BE,则BE的长是() B E A.1 B.2 C.2.5 D.1.5 二、填空题 5.(25-26七年级下·上海金山期末)在等边△ABC中，若过点A作AD1BC,垂足为点D,则LBAD= 6.(25-26八年级下·北京顺义阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， 已知∠DCA=25°，∠A= ,∠B= 16123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(2026湖南长沙模拟预测)如图，RIABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M,∠A=15°， BC=2,则△AMB的面积为， B M 8.(25-26七年级下江西九江·期末)在等边△ABC中，点E是△ABC的中线AD上一点，∠AEB=I05°， 点P是△ABC边上一点，若BE=EP,则∠BEP的度数为 三、解答题 9.(25-26八年级下四川达州期中)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，∠B=∠ADB D (I)求证：AB=CD； (2)若∠C=30°，AB=6,求DE的长， 10.(25-26八年级下福建漳州·期末)如图1，等边△ABC与Rt△ABD叠放在一起，∠BAD=90°， AB=4cm,点C在边BD上. 图1 图2 (I)求证：点C为BD的中点； (2)如图2，△ABC沿BD向右平移2cm得△A'B'C',A'C'与AD交于点E,求AE的长. 11.(陕西省渭南市部分学校2025~2026学年度第二学期期末阶段作业八年级数学)如图，在△ABC中， BA=BC,∠ABC=6O°，点D是△ABC外一点，连接AD、CD,DA=DC,过点D作DE∥BC分别交 AB、AC于点E、F. 17123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (I)求证：△AEF是等边三角形； (2)连接BD交AC于点G,若AB=15,DE=10,求AE的长. 12.(25-26八年级上浙江杭州期末)已知，等边△ABC,P为直线AC上一点，点D为直线BC上一点， 且PB=PD D 图1 图2 图3 (1)如图1，若P为AC的中点，AB=2,求CD的长， (②)如图2，若点P为AC上任意一点，过P作PD∥BC交AB于点O,探究线段A0与CD的数量关系，并 说明理由. (3)如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E,AP=6,求BE的长. 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下·云南期中)如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，某同学用刻度 尺测量长度时，点A、B对应的刻度分别为4、0，则CD的长为() C ◇ D B mjmfmjmmjmpmjmmjm 543210 A.2 B.3 C.4 D.5 18123 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 2.(2026辽宁抚顺·一模)如图，直线m∥n,△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于 点E,交AC于点F.若1=140°，则∠2的度数是() A.20° B.40° C.60° D.80° 3.(25-26八年级上·浙江宁波期末)如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC上一点，E是AC的延长 线上一点，且BD=CE=号BC,若AABD的面积为8，则A4DE的面积为（） B D A.28 B.30 C.32 D.34 4.(25-26七年级下~四川达州期末)如图，在等边三角形ABC中，D是三角形外一点，且BD=CD, ∠BDC=120°，点B、F分别在AB、AC上，∠EDF=60°，则下列结论错误的是() D A.AD垂直平分BC B.点D在∠EFC的平分线上 C.△AEF≌ADEF D.△AEF的周长为2BC 5.(25-26八年级下·贵州黔东南阶段检测)如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点 ,连接PO.以下五个结论：①AD=BE:②PD∥AE;③AP=BO;④DE=DP:⑤∠AOB=60°. 其中正确的有() 19123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 少 C A.①②④⑤ B.①②③④⑤ C.①②③⑤ D.①②③ 二、填空题 6.(25-26八年级下甘肃金昌期中)如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开. 若测得AB的长为I2km,则M、C两点间的距离是km. 7.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD1AB,垂足为D, BE⊥AC,垂足为E,CD交BE于点R,若DF=6,则BE= E A B 8.(25-26八年级上·黑龙江牡丹江期末)已知△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在BC的延长线 上，AD=CE,DE交AC于点F,DG⊥AC,若DE⊥AB,且FG=3,则BE的长为· D E 9.(25-26八年级下山东青岛期中)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110,∠B0C等于a,点 D是等边△ABC外一点，∠OCD=60,OC=CD,连接OD、AD.则当a的度数为时，△AOD是 等腰三角形。 20123 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 10.(25-26八年级上安徽合肥·期末)如图，△ADB,ABCD均是等边三角形，E,F分别是AB,AD边上的 两个动点，且满足AE=DF,BF与DE交于点G,连接CG. D E 6 (1)∠EGB的度数是 (2)若DG=4,BG=6,则CG=」 三、解答题 11.(25-26八年级下·北京怀柔期中)如图，已知△ABC是等边三角形，BD是△ABC的边AC上的中线， E在BC延长线上，且EC=DC, B (1)求∠E的度数： (2)求证：BD=ED 12.(25-26八年级下陕西西安·期中)如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作 DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F,∠F=30°. E (I)求证：△ABC是等边三角形 (2)若BD=2,EC=3,求AC的长. 21123 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上， DE‖AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F: (I)求∠F的度数： (2)若△DEC也为等边三角形，且CD=2,AB=4,求AE的长. 14.(25-26八年级下·广东佛山阶段检测)问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成 一个等边三角形，发现“30°角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明. E 图1 图2 图3 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明.以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证 明. ①已知：如图2，△1BC是直角三角形，∠C=0,∠A=30.求证：BC=B, 2 证明：以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点E,连接CE: 【知识应用】 (2)如图3，等边△ABC的边长为8，点D在AB上，且AD=2,过D点作DE⊥BC于点E,过点E作 EF⊥AC于点F,求AF的长 15.(25-26七年级下广东佛山期中)解决问题 22123 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 (1)问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数： (2)拓展探究 ①如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在 同一直线上，连接BE.求∠AEB的度数： ②如图2，记S为△AOC面积，S2为△BOE面积，设S=S,-S2,CE=n,求S关于n的数量关系式. 23123 专题1.5 等边三角形的性质与判定 教学目标 1. 探索并掌握等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为 60°。 2. 探索并掌握等边三角形的判定：三个角相等或有一个角是 60°的等腰三角形。 3. 能综合运用等边三角形的性质与判定进行几何证明与计算，体会特殊与一般的数学思想。 教学重难点 重点： 1. 等边三角形性质的理解与应用（特别是 60°角的运用）。 2. 等边三角形判定定理的掌握，并能灵活选用方法证明三角形为等边三角形。 教学难点： 1. 判定定理“有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形”的证明与应用。 2. 在复杂几何图形中识别等边三角形结构，并利用其性质进行推理与计算。 知识点1 等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即学即练】1．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)30° (2)4 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键； （1）根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据即可得出的度数， （2）证明△是等边三角形得，再根据含有角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）解：△是等边三角形， ， ， ， ， △是直角三角形， 在中，， （2）解：，， △是等边三角形， ， 在中，， ． 知识点2 等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即学即练】1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 知识点3 含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【即学即练】1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明． 已知：如图1，在中，．求证：， 方法一：如图2，延长到点D，使得，连接． 方法二：如图3，在线段上取一点D，使 得，连接． 【答案】见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 知识点4 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【即学即练】 1．如图，是三角形的中位线，平分，且，若，则的长为 . 【答案】2 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，证明出在上，根据，可得，再由即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点，， ，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在上， ， 故答案为：． 题型01 利用等边三角形的性质求角 【典例1】（25-26八年级上·吉林四平·期末）如图，是等边三角形，若∠BCA=∠EAD，BC=AE，∠E=130°，则 °． 【答案】130 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由等边三角形的性质得，再证明，即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：130． 【变式1】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，在等边中，D为的中点，E为延长线上一点，且，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，等边三角形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据中点的意义得出，结合等边三角形的性质得出，再利用三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又是的一个外角， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，将等边三角形的边向两边延长，使，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由等边三角形的性质可得，，结合题意可得，，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 题型02 利用等边三角形的性质求边 【典例2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在等边中，D、E分别在边上，，连接交于点F，过点A作，交延长线于点G，若，，则的长度为________． 【答案】5 【分析】证明，得到，，求出，根据得到，则，得到，即可得到的长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在等边三角形中，E为的中点，，点D在的延长线上，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质，解题的关键是利用三线合一的性质求解． 根据等边三角形的性质得出，，再由等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：为等边三角形， ， ∵E为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，在等边三角形中，是边上的中线，过点D作于点E．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】根据等边三角形的性质，可知的长度，根据含有的直角三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，含有的直角三角形的性质，灵活运用相关性质进行求解是解题关键． 【详解】在等边三角形中，,， ∵是边上的中线， ， ∵， ∴， 在中，，, ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的P点． 连接交于点，连接，，根据两点之间线段最短，得出、、在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴、、在同一直线上时，最小，即最小， ∵是的中点，是等边三角形， ∵，, ∴的最小值为， 故答案为：． 题型03 利用等边三角形的性质求动点问题 【典例3】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，等边边长为为上一点，．动点由出发以的速度沿边向点运动，同时动点由点出发以的速度沿边向点运动．若存在某一时刻使得与全等，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 设运动时间为，用含有t的式子将表示出来，再根据题意，分为和两种情况，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设运动时间为，则，，， 如图当时， 可得，， ，， ； 当时， 可得，， ， ， ； 综上所述，为或． 故答案为：或． 【变式1】（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当 时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，等边的边长为8，点E在边上，，射线于点C．点P是射线上一动点，点F是边上一动点，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，能够确定当的值最小时，点的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，，过作于点，可证得的值最小时，点位于处，再求出的长，进而即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过作于点， 则， ， 即当的值最小时，点位于处． 是等边三角形， ， ， ， 等边的边长为8，， ， ， ， 当的值最小时，的长为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·浙江金华·月考）我们规定对角互补的四边形称为对补四边形． （1）如图1，四边形为对补四边形，，则的度数为 ． （2）如图2，在等边三角形中，，若动点从点沿着运动，速度为，动点从点沿着运动，速度为，两个动点同时出发，当点运动到点时所有运动停止．连结，交于点，当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为 ． 【答案】 4.8 【分析】本题属于四边形综合题，考查了对补四边形的定义、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）利用同角的补角相等证明即可； （2）设运动时间为．由全等三角形的性质证明，再由此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形为对补四边形，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，设运动时间为秒，则，， ， 当时，， ， 是等边三角形， ，， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当四边形为对补四边形时，此时的运动时间为． 故答案为：4.8 题型04 利用等边三角形的性质证明 【典例4】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的边和角的特征，以及利用判定三角形全等是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再推导出差角相等，利用证明三角形全等； （2）借助全等三角形的性质得到对应边相等，结合等边三角形的边长关系，计算得出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在与中，   ， （）； （2）解：由（1）， ． 是等边三角形， ． ． 【变式1】（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 【变式3】（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且．若的边长为3，，求的长．（利用备用图探究） 【答案】(1)= (2)，理由见详解 (3)7或1 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证明，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证明为等边三角形，得，再证明，得，即可得出结论； （3）①过点E作，交于点F，同（2）得为等边三角形，，则，，即可得出答案； ②过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， 利用平行线的性质得到，随即证得为等边三角形，通过等腰三角形三线合一定理得出对应边的长度，再通过线段间的等量关系计算得出答案． 【详解】（1）解：∵在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， 理由：如图，过点E作，交于点F， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，交的延长线于点F， 同（2）得，为等边三角形，， ∴， ∴， ∵的边长为3， ∴， ∴． ②如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， ∵为等边三角形 ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，即等边的边长为7， ∵， ∴根据等腰三角形三线合一定理，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 同理可得：， ∴． 题型05 等边三角形的判定 【典例5】（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，是等腰三角形，，是等边三角形，且点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)以为腰在下方作等腰三角形，使，连接，若．求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和（）综合（或者），等边三角形的性质，等边三角形的判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角，得出，再根据等边三角形的性质，得出，，从而可得，再证明，从而可得，进而可求得． （2）先证明，从而可得，再求得，从而可得是等边三角形． 【详解】（1）解：∵是等腰三角形，， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． （2）∵，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，．，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：． (2)求直线，所夹锐角的度数． (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）如图，延长交于点．由全等三角形的性质可得到，由对顶角相等即可得到，即为直线，所夹锐角的度数； （3）由“”可证，可得，，可证是等边三角形． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， 在和中， ， ． （2）解：如图，延长交于点． 由（1）可知，， ． ， ，即直线，所夹锐角的度数为． （3）为等边三角形．理由如下： 由（1）可知，，． ，分别为，的中点， ． 在和中， ， ，， ， 是等边三角形． 题型06 等边三角形的性质和判定多结论题 【典例6】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故②正确； 在和中， ， ， ，故③不正确； ， ， ， ， ， 故④正确； 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，以为腰向外部作等腰，，，于F，交AB于点E，连接CE．下列四个结论：①；②DE平分；③；④若，则为等边三角形．其中正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，关键是通过全等三角形的对应角、对应边相等，结合角的关系推导结论，证明，可判断①；当平分时，证明，得到，则可证明，而为等边三角形，不一定成立，据此可判断②；证明，即可判断③；证明，即可判断④． 【详解】解：在和中， ，，， ， ，故①正确； 若平分，则， 在和中，， ， ， 又∵， ∴， ∴为等边三角形，不一定成立，故不一定平分．故②错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形，故④正确． 综上可知，正确的结论为①③④，共有3个， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的最短路径问题，等边三角形 的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，于点，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质得到，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故①正确；根据全等三角形得到，求得，即，推出四边形的面积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到的值最小，当最小时，的周长最小，于是得到当时，最小，的周长最小，故③正确；根据平行线的性质得到，求得，得到一定与不平行，故④错误． 【详解】解：过点作于点，于点，如图所示： ， ∵点是的平分线上的一点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 即， ∵点是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值， ∴四边形的面积是一个定值，故②正确，符合题意； ∵， ∴点与重合， ∵垂线段最短， ∴的值最小， 当最小时，的周长最小， ∴当时，最小，的周长最小，故③正确，符合题意； ∵，，如图： ， ∵， ∴， ∴一定与不平行，故④错误，不合题意． 故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．① C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质进行判断①，由三角形内角和定理求得，从而判断②，过点作，在上截取，证得，根据全等三角形的性质证得，据此判断③即可． 【详解】解：连接，如图， ，，D为的中点， ，，，， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ，， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 为等边三角形， 故②正确； 过点作，在上截取，如下图， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确， 综上所述，正确的有①②③． 故选：A． 题型07 等边三角形的性质和判定综合题 【典例7】（25-26八年级上·陕西安康·期末）在中，，，，垂足为，且，，分别是边，上的点，且．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，再由，即可得证； （2）根据等边三角形的性质得，，证明得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【变式1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，交于点G，且，，其两边分别交边于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)若，，则四边形的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （）由等腰三角形的性质可得，又，从而可证是等边三角形； （）由是等边三角形，则，所以，通过角度和差可得，证明， （3）由（2）知，得，又是等边三角形，得，最后通过四边形的周长为即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， （3）由（2）知， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：16． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在与中，，，，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质解答即可． （2）根据等腰三角形的三线合一性质证明平分即可． （3）根据等边三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴平分． （3）解：∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 故． 【变式3】（25-26八年级上·天津西青·期末）已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)16 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型08 含30°角的直角三角形 【典例9】（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 【变式1】（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图，在中，，，交于点D，，则的长是_____． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形和含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图在中，，，D为的中点，于点E，，则的长为_________． 【答案】15 【分析】连接，根据等腰三角形和含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（2026·四川攀枝花·中考真题）在中，是边上的中线，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】先根据中线定义求出长度，再过作构造含角的直角三角形，利用直角三角形性质求高，最后用三角形面积公式计算面积。 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， 过点作于， ∴， ∵，， ∴， ∴ 题型09 斜边的中线等于斜边的一半 【典例9】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【答案】/50度 【分析】先根据直角三角形斜边中点的性质可得，再由垂直可得的度数，由此可解． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点是的重心，且，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据三角形重心的性质可得为的中线且，从而求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 点是的重心， 是的中线，，为的中点， ， ， ，为的中点， 是斜边上的中线， ． 【变式2】（25-26八年级下·江苏南通·期末）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为E．若， 则____________度． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形的外角性质求出，由题意得到，推出，由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由题意得到：， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，中，，分别是，的中点，点在上，延长交于，，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵，分别是，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知是等边三角形，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形性质先得到，可得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到，再通过三角形外角的性质计算出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D 【分析】连接，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，求出，再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ∵， ， ． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 4．（25-26八年级下·河南鹤壁·期末）如图，，，平分，交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，则的长是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长，，两线交于点F，，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解答即可； 【详解】解：延长，，两线交于点F， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是斜边的中线， ∴. 二、填空题 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 6．（25-26八年级下·北京顺义·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的中线，已知，_______________，________________. 【答案】 /25度 /65度 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可以得出，则利用三角形内角和的性质来求的度数，即可作答．本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，的斜边的中垂线与交于点，，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】先利用线段垂直平分线性质得，推出，再用外角求，在中由直角三角形性质得长度，最后用三角形面积公式求面积． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·江西九江·期末）在等边中，点是的中线上一点，，点是边上一点，若，则的度数为________． 【答案】 或或 【分析】根据等边三角形三线合一的性质，得到垂直平分，结合三角形内角和定理求出相关角的度数，分点在、、三种情况讨论，利用等腰三角形的性质计算的度数. 【详解】解：是等边三角形，是中线，点是上一点， ，平分，，， ， 在中，， ， ， ∴， 分三种情况讨论： ①当点在边上时， ， ， ； 当点在边上时，此时点和点重合， ∵， ； 当点在边上时， ，， ， ， ， 又， ； 综上：的度数为或或. 三、解答题 9．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 是的垂直平分线， ， ； (2) 【分析】（1）根据等角对等边可证，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证，等量代换可证； （2）由（1）可知，根据含角的直角三角形的性质可得：． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知， ， ， ，， ． 10．（25-26八年级下·福建漳州·期末）如图1，等边与叠放在一起，，，点在边上． (1)求证：点为的中点； (2)如图2，沿向右平移得，与交于点，求的长． 【答案】(1)证明：为等边三角形， ，． 为直角三角形， ， ， ，即， ， ， 即点为的中点． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质、直角三角形中两锐角互余、含角的直角三角形的性质，即可得证； （2）利用平移的性质、外角的性质、等角对等边，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由平移得，，，， ． 由（1）可知，，， ，， ， ， ． 答：的长为． 11．（陕西省渭南市部分学校2025~2026学年度第二学期期末阶段作业八年级数学）如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图1，若为的中点，，求的长． (2)如图2，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ，即， 在中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，进而根据等边对等角结合三角形外角的性质可得，最后根据等角对等边即可求解； （2）先根据等边对等角结合平行线的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形性质推出，然后根据全等三角形性质可证，等量代换即可得证； （3）过作交延长线于点，先证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质推出，得出，进而得到的长，证明，得到，即可得解． 【详解】（1）解：为等边三角形， ，， 为的中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，过作交延长线于点， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·云南·期中）如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，求解即可． 【详解】解：由刻度尺的读数可知，， 在中，点是斜边的中点， ∴． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据平行线的性质得，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知为等边三角形，D是上一点，E是的延长线上一点，且．若的面积为8，则的面积为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在等边三角形中，D是三角形外一点，且，，点E、F分别在、上，，则下列结论错误的是（   ） A．垂直平分 B．点D在的平分线上 C． D．的周长为 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的判定可得A正确；延长到使，证明，可得，再证明，可得，可判断B，D正确． 【详解】解：如图，连接， 在等边三角形中，，， ， 垂直平分，故A正确； 如图，延长到使， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 即点D在的平分线上，故B正确； 的周长为，故D正确， 根据题意，无法判断，故C错误． 5．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，故①正确； ②， 在和中， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③ 与②的过程同理得：， ∴，故③正确； ④∵，， ∴ ∴， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤． 二、填空题 6．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离是_______． 【答案】6 【详解】解：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得： ． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D，E分别是的中点，，垂足为D，，垂足为E，交于点F，若，则__________． 【答案】18 【分析】连接，根据垂直平分线的判定及性质可得为等边三角形，结合图形，利用等边三角形的性质及各角之间的关系可得，由所对的直角边是斜边的一半可得，结合图形即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵点D是中点且于点D， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵点E是中点且于点E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知是等边三角形，点在上，点在的延长线上，，交于点，，若，且，则的长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角直角三角形的性质，过点D作交于点H．先证明，可得，求出，设，则，，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点H． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 9．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接．则当的度数为_______时，是等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】先证和为等边三角形，用证，推导出的三个内角，再分三种等腰情况列方程，求出的度数为、或． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ 即：， 在和中， ∴， ∴， ∵ ∴， ， 由三角形内角和得： 等腰三角形，分三种情况： 若：则，即，解得； 若：则，即，解得； 若：则，即，解得 综上，的度数为、或． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，均是等边三角形，E，F分别是边上的两个动点，且满足与交于点G，连接． （1）的度数是________ ； （2）若，则_______ ． 【答案】 /60度 10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等边三角形的性质得出相等的边和角，根据证明，得出，然后根据三角形的外角定理进行求解即可； （2）延长到点H，使，连接，得出是等边三角形，证明，得出相等的线段，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）延长到点H，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：10． 三、解答题 11．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，已知是等边三角形，是的边上的中线，在延长线上，且， (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三线合一，以及等角对等边即可得证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形，是的边上的中线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若也为等边三角形，且，，求的长． 【答案】(1)30° (2)2 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由平行线的性质得，结合即可求解； （2）由等边三角形的性质得，，进而即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． ， ． ， ， ； （2）解： ∵是等边三角形， ． 是等边三角形， ， ． 14．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． (1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接； 【知识应用】 (2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论； （2）由得的长度；在中求得；在中求，进而得． 【详解】（1）证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示： ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·广东佛山·期中）解决问题 (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接，求的度数； (2)拓展探究 ①如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，连接．求的度数； ②如图2，记为面积，为面积，设，求关于n的数量关系式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）先证明，那么，根据全等三角形证明，求出，得出，从而得到； （2）证明，得出，进一步得到；②设的面积为，的面积为，由，可得与的面积相等，推出，进而得到为的面积，再根据，均为等腰直角三角形，且，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴ ． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴． （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ∴，． ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴． ∴； ②设的面积为，的面积为， ∵， ∴与的面积相等， ∵为面积，为面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的面积，，均为等腰直角三角形，且， ∴， ∴，即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $