专题1.2 全等三角形性质和判定（9题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形性质和判定核心知识点，先通过概念理解对应边、角相等的性质，再系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，最后结合性质与判定综合应用，各知识点配“即学即练”形成学习支架。 资料以9类题型为框架，典例结合多地期中期末真题变式，如动态问题（求时间或线段长）、生活情境题（等腰三角板掉凳子间），培养推理意识与几何直观。课中助教师分层教学，课后学生可通过练习查漏补缺，强化逻辑推理与应用能力。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2全等三角形性质和判定 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点1：全等三角形的概念和性质 知识点2：全等三角形的判定 2.知识清单 知识点3：全等三角形的判定与性质 题型01全等三角形的性质 题型02由三角形全等求时间或线段长 题型03用SSS证明两三角形全等 全等三角形性质和判定 题型04用ASA证明两三角形全等 题型05用AAS证明两三角形全等 3.题型精讲 题型06用SAS证明两三角形全等 题型07用HL证明两三角形全等 题型08添加条件使两三角形全等 题型09全等三角形的性质和判定综合 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 2.探索并掌握全等三角形的四种判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS、HL),能根据 教学目标 条件灵活选择。 3.能运用全等三角形的性质和判定证明线段相等或角相等，培养逻辑推理与证明能 力。 重点： 教学重难点 1.全等三角形判定定理的理解与准确应用，特别是SAS与ASA中边角的对应关 系。 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.运用全等三角形的性质与判定进行规范的几何证明，做到言必有据。 教学难点： 1.在复杂图形中识别或构造全等三角形，准确找出对应边和对应角。 2.理解并区分ASA与AAS两种判定方法，避免在证明过程中出现对应关系错误。 知识清单 知识点1：全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形.两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点 叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 全等三角形的对应边相等，对应角相等.边、角分别对应相等的两个三角形全等， 【即学即练】 1.如图，△ABC≌△DEF,若BC=9,CE=3,则CF长度为 E 2.如图，△AEB≌△DFC,AE⊥CB,DF⊥BC,AE=DF,∠C=28°，则∠A=一 D 3.如图，△ABC≌△DEC,BC=2,CD=3,点B,C,D在同一直线上，点E在AC上，延长DE交AB 于点F F E C (1)求AE的长； 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求∠BFD的度数. 知识点2：全等三角形的判定 (1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等 (2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等. (3)判定定理3：AS4--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“角边角”或 “ASA”). 特别说明：如图，如果∠A=∠A',AB=A'B',∠B=∠B,则△ABC≌△A'BC (4)判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（可以 写成“角角边”或“AAS”) 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由 “角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是 前者的推论 【即学即练】 1.已知：如图，点E,F在线段BC上，∠A=∠D,∠B=∠C,BE=CF,AF与DE交于点M.求证： △ABF≈△DCE B E 2.如图，点B,F,C,E在一条直线上，FB=CE,AB=DE,AC=FD」 (1)求证：△ABC≌△DEF: 3/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：AF=CD」 知识点3：全等三角形的判定与性质 (1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时， 关键是选择恰当的判定条件. (2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角 形. 全等三角形的对应边相等，对应角相等.边、角分别对应相等的两个三角形全等. 【即学即练】 1,如图，在△ADE和△BCF中，A,C,D,B四点在同一直线上，AC=BD,AE=BF,DE=CF B D (1)求证：∠E=∠F: (2)若∠F=38°，∠A=104°，求∠EGC的度数. 2.如图，点E、F在BC上，AB=DC,AF=DE,∠A=∠D (I)证明：△ABF≌△DCE: (2)若BC=14,EF=5,求BE的长. 题型精讲 题型01全等三角形的性质 【典例1】(25-26八年级上北京期中)如图，已知△ABC≌△EBD,若AB=5,BD=8,则CE的长为 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【变式1】(25-26八年级上宁夏固原期中)如图，△ABC≌aDCE,∠B=40°，∠E=65°，点B、C、E 在同一条直线上，则∠ACD的度数为. D B C 【变式2】(25-26八年级上辽宁抚顺期末)如图，若△AOD≌△B0C,且0D=5,OA=2,则AC的长 为 B 【变式3】(24-25八年级上湖南衡阳期末)如图，△ABC≌△ADE,点E在边BC上（不与点B,C重 合)，DE与AB交于点F, B E (1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和： 题型02由三角形全等求时间或线段长 【典例2】(25-26八年级上新疆乌鲁木齐·月考)如图，CA上AB,垂足为A,AB=12厘米，AC=6厘米， 射线BM⊥AB,垂足为B,一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线AN运动，同时动点D从点B 出发沿射线BM运动.设点D运动的速度为v厘米/秒，当V=_厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC全等. M P BN 【变式1】(25-26八年级上黑龙江鸡西期末)如图，BC=6cm,∠PBC=∠QCB=60°，点M在线段CB 上以3cm/s的速度由点C向点B运动.同时，点N从点C出发在射线C9上以lcm/s的速度运动，它们运 动的时间为(S)(当点M运动结束时，点N运动随之结束)，在射线BP上取点A,在M、N运动到某 处时，有△ABM与△MCN全等，则此时AB的长度为 PO B M 【变式2】(25-26八年级上福建莆田·期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm,BC=4cm, AB=5cm,直线I经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿A→C→B路径向终点B运动；动点O 从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动.点P和点O的速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并 开始计时，当点P到达终点B时计时结束.设运动时间为t秒.在某时刻分别过点P和点O作PE⊥I于点 E,QF11于点F,当t= 为何值时，△PEC与△QFC全等. B 【变式3】(24-25八年级上·青海海东期末)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=10cm,点D在AB上， 且BD=6cm;点M从B出发以每秒lcm的速度向点C运动，同时，点N从C出发向点A运动，设运动时 间为t秒，连接DM、MN. 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)用含t的式子表示BM、MC: (2)若点N的运动速度也为每秒lcm,t为何值时，△DBM≌aMCN； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使△DBM≌aNCM,则点N的运动速度为多少？全等时t为 多少？ 题型03用SSS证明两三角形全等 【典例3】(25-26八年级上吉林白山期末)如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AB=DE, BF=CE,AC=DF.求证：△ABC≌△DEF. 【变式1】(25-26九年级上云南玉溪期末)如图，点A,F,C,D在同一直线上，点B和点E分别在 直线AD的两侧，且AB=DE,BC=EF,AF=DC.求证：△ABC≌△DEF, B D 【变式2】(25-26八年级上广东汕尾月考)如图，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证： △ABC≌△DEF 【变式3】(24-25七年级下·全国课后作业)如图，AD=CB,E,F是AC上的两个动点，且DE=BF. 7/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B 图① 图② (I)若点E,F运动至图①所示的位置，且AF=CE.试说明：△ADE≌△CBF (2)若点E,F运动至图②所示的位置，仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗？请说明理由. (3)若点E,F不重合，且AF=CE,则AD和CB平行吗？请说明理由. 题型04用ASA证明两三角形全等 【典例4】(25-26九年级上·云南昆明期末)如图，AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC,求证： △ABC≌△ADE 【变式1】(25-26八年级上浙江台州期末)如图，AC与BD相交于点E,∠I=∠2，∠3=∠4，求证： AB=CD E 【变式2】(25-26八年级上北京石景山期末)如图，D为线段BC上一点，AC=BD,ACI‖BE, ∠A=∠BDE D B (I)求证：△ABC≌△DEB (2)若AC=6,BE=12,求CD的长 8/22 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26八年级上湖北襄阳月考)如图，△ABC中，D是BC边的中点，E,F为直线AD上 的点，连接BE,CF,且BE∥CF ● (I)求证：△BDE≌aCDF: (②)若AE=15,AF=7,试求：DE的长. 题型05用AAS证明两三角形全等 【典例5】(24-25八年级上·宁夏银川期中)课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之 间（凳子与地面垂直）.已知DC=a,CE=b, D E (1)△ADC与△CEB全等吗？请说明理由. (2)求两条凳子的高度之和. 【变式1】(25-26八年级上·湖南岳阳期末)如图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的线段被一 块污渍遮往)，点A、D在直线I的异侧，连接AB、ACDE、DF,且AC∥DF,∠A=∠D,测得 AB=DE. (I)求证：△ABC≌△DEF (②)若BE=140,BF=30,求FC的长度. 【变式2】(25-26八年级上江苏南通期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别 为D,E,连接AE. 9/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ACD≌aCBE: (②)若AD=4,DE=3,求四边形ACBE的面积. 【变式3】(25-26八年级上河南信阳·期末)如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点A在 线段DE上，∠BDA=∠E=90° B (I)求证△BDA≌△AEC: (2)若AD=6,求△DAC的面积. 题型06 用SAS证明两三角形全等 【典例6】(25-26八年级上广西崇左期末)如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，AB=DF, ∠B=∠F,BE=FC」 D (1)求证：△ABC≌△DFE: (②)若BF=13,EC=5,求BC的长. 【变式1】(25-26八年级上四川广元期末)如图，AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC. 10122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O (I)求证：△ABC≌△ADE: (2)若BC=8cm,求DE的长， 【变式2】(25-26八年级上·甘肃期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是AB边上一点 (点D不与A,B重合)，连接CD,过点C作CE⊥CD,且CE=CD,连接DE交AC于点F,连接AE, (I)求证：△ACE≌△BCD: (2)求证：AE⊥AB 【变式3】(25-26八年级上全国课后作业)判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由 D B D (1) (2) (3) (I)图(I)中的△AEC与△ADB.已知条件是AB=AC,AD=AE (②)图(2)中的△ABC与△BAD.已知条件是∠BAC=∠ABD,AC=BD (3)图(3)中的△ABD与△ACE.已知条件是AB=AC,AD=AE,BE=CD 题型07用HL证明两三角形全等 【典例7】(25-26八年级上浙江温州期中)如图，在四边形ACDB中，∠ABD=∠ACD=90°，连接AD, 若BD=CD.求证：△ABD≌△ACD 11/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】(25-26八年级上新疆伊犁期中)如图，A,E,B,D在同一直线上，FE⊥AD,CB⊥AD, AE=DB,AC=DF,若∠D=30°，求∠C的度数. E B D 【变式2】(25-26八年级上吉林松原期中)如图，点A、C、D、E在同一条直线上，BC1AE, FD⊥AE,且AB=EF,AD=CE,求证：△ABC≌△EFD. F 【变式3】(25-26八年级上山东德州月考)如图，△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，F为AB延长线 上一点，点E在BC上，且AE=CF, (I)求证：RtAABE≌RtACBF (2)判断FE和AC的位置关系并证明. 题型08 添加条件使两三角形全等 【典例8】(25-26八年级上河南信阳期末)根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是() A.AB=5,BC=4,CA=10 B.∠A=45°，∠B=70°，AB=6 12122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.AB=4,BC=3,∠A=30° D.∠C=90°，AB=6 【变式1】(25-26八年级上河北秦皇岛期末)下列选项所给条件不能画出唯一△ABC的是() A.∠A=50°，∠B=30°，AB=2 B.∠A=50°，∠B=30,BC=9 C.∠A=30°，AB=8,BC=7 D.AC=5,AB=6,BC=9 【变式2】(25-26八年级上安徽宣城期末)如图，点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF, ∠ACB=∠F.只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF,这个条件可以是一. (写出一个即可) A G B E 【变式3】(25-26八年级上全国课后作业)如图，给出下列四组条件： ①AB=DE,∠C=∠F,∠A=∠D,②AB=DE,LB=∠E,BC=EF；③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F；④ AB=DE,AC=DF,LB=∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件是 题型09全等三角形的性质和判定综合 【典例】(2026江苏苏州·一模)如图，BE,CF分别是△ABC的边AC,AB上的高，且BP=CA, AB=QC.求证： E (1)△ABP≌△QCA: (2)AP⊥AQ 【变式1】(2026七年级下·全国·专题练习)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为对角线BD上一 点，∠A+∠CED=180,且AD=BE. 13122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△ABD≌△ECB (2)若BC=15,DE=9,求AD的长 【变式2】(25-26八年级上安徽合肥月考)如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD,E是AB边 上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. D (I)若AB=AC,求证：AD⊥BC (2)若EF=12,求DF的长 【变式3】(25-26八年级上江西赣州期末)【问题初探】 (1)如图①，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E,则DE,BD,CE的数量关系是 【变式探究】 (2)如图②， 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E.己知BD=10,CE=5,求DE的长： 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以△ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AF是边BC上的高.延长 FA交DE于点G,设△ADG的面积为S,△AEG的面积为S,猜想S,S的大小关系，并说明理由. B A 图① 图② 图③ 14122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下·重庆万州期末)如图，△ABC≌aDEF,点B、E、C、F在同一直线上，AC与 DE相交于点M,DF=6,AM=2,则MC的长度是() A D M A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26七年级下重庆期末)如图所示，在Rt△ABC和R△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，点B,D, C在同一条直线上，且AC=BE,AC⊥BE于点F,若AB=6,DE=9,则CD=() E D A.3 B.6 c.7 D.9 3.(2026辽宁大连二模)如图，在△ABC中，∠ABC=80°，D是AC上一点.DE⊥AB,DF⊥BC, 垂足分别为E,F,DE=DF,连接BD,则∠ABD的度数为() A.40° B.50° C.70° D.80° 4.(25-26八年级上宁夏吴忠期末)如图，AB=AC,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,CF与 15122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ BE交于点D,有下列结论：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上；④ AB=AF+EC.其中所有正确结论的序号是() E D B F A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 二、填空题 5.(25-26七年级下·上海杨浦阶段检测)已知△ABC≌aDEF,aABC的三边长度为4、x+y和2x,△DEF 的三边长度为6、太x+2y,则△ABC的周长是一· 6.(25-26七年级下河南平顶山期末)如图，己知BE=FC,∠B=∠F,在不增加字母和辅助线的情况 下，要使△ABC≌aDFE,需添加一个条件是」 B 7.(25-26七年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E,使得 DE=AD,连接BE.若AB=5,AC=3,AD=2,则△ABE的周长为 E D 8.(25-26七年级下·陕西西安阶段检测)如图，AB=10,∠A=∠B,AC=8.点P在线段AB上从点A 向点B运动，点Q从点B出发沿着射线BD的方向运动.若△ACP与△BP全等，则AP的长为 ○ B 三、解答题 9.(2026江苏南通二模)如图，点C是AB的中点，AD∥CE,AD=CE. 16122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：CD=BE: (2)若LE=50°，求LDCE的度数. 10.(25-26八年级上安徽六安期末)如图，在四边形ABCD中，ADI‖BC,E为CD的中点，连接 AE,BE,延长AE交BC的延长线于点F A D E (I)△DAE和△CFE全等吗？请说明理由. (2)若AB=BC+AD,试说明：BE⊥AF 11.(25-26八年级下广西百色期末)如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点P从点 B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒： D D B P B P (1)PC= cm.(用t的代数式表示) (2)当t为何值时，△ABP≌aDCP? (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以Cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出y的值：若不存在，请说明理由 12.(25-26七年级下·福建漳州期末)如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC边上的中点，AD与 BE交于点O. 17122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 备用图 (I)若S.ABc=20,求SABD: (2)求证：S△4oB=2S△OD: (3)点F在线段CD上（点F不与点C,点D重合），连接FE并延长FE到点G,连接AG,若AD平分四 边形ABFG的面积.求证：AG∥BC. 能力提升 一、单选题 1.(2425七年级下四川绵阳期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是() A.∠C=90°，AB=6 B.AB=4,BC=3,∠A=30° C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.AB=3,BC=4,CA=8 2.(25-26八年级上黑龙江鹤岗期末)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB ,若AB=5,CF=3,则BD的长是() D B A.2 B.3 C.5 D.1 3.(2026贵州遵义·一模)如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木 墙AD与BE,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点 A,B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D,E均在水平地面上，点A,B,C,D,E在同一竖直平 面内.已知∠ACB=90°，DE=30cm,则每个长方体小木块的高度为() 18122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3cm B 1cm C.2cm D.3cm 4.(25-26七年级下·山东淄博阶段检测)在数学活动课上，小明先以△ABC的顶点C为圆心任意长为半 1 径作弧与AC,BC分别相交于点E,R,再分别以B,F为圆心，以大于2EF的长度为半径作弧，两弧在 ∠ACB内相交于点D,作射线CD,BP⊥CD于点P,连接AP,如图所示.小明探究发现：当AB的长， 且BC与AC(BC>AC)的差都确定时，△ABP的面积存在最大值，则当AB=12,BC-AC=4时， SABP的最大值为() C D D A.6 B.10 C.12 D.24 5.(25-26七年级下山东济南期中)已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=a.点P以每 秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着 D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动.它们的运动时间为秒. ①若x=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍： ②当P卫两点同时到达A点时，x=6; ③若a=90,t=5,x=1时，PC与P0垂直： 1 ④若运动过程中存在。ACP与△BPO全等，则x=0.8或 以上说法正确的选项为() D 19122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 二、填空题 6.(25-26七年级下黑龙江绥化阶段检测)如图，AC=DB,要使△ABC≌aDCB,只需添加的一个条件 是 (填一个即可) 7.(26-27八年级上海暑假作业)如图，在△4BC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=8Cm, BC=6cm,AC=5cm,若aCBD≌aEBD,则△ADE的周长为一cm. 8.(25-26七年级下广东梅州期中)如图，已知∠40B,以点0为圆心，任意长度为半径画弧，分别交 OA、OB于点E、F,再以点E为圆心，EF的长为半径画弧，交前弧于点D,画射线OD.若 ∠AOB=28°，则∠AOD的度数为. F B 9.(25-26七年级下重庆奉节期末)如图，△ABC的面积为16cm',BP平分∠ABC,过点A作AP⊥BP 于点P,连接PC,则△PBC的面积为 cm2. 10.(25-26七年级下·江苏盐城阶段检测)如图△ABC的两条高AD与BE交于点O,AD=BD,AC=8. F是射线BC上一点，且CF=A0,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒2个单位长度的速度向终点B运 动，同时动点从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点 20122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t的值 O E B D 三、解答题 11.(2026浙江杭州二模)如图，点A在线段CD上，已知BCIIDE,BC=CD,∠BAC=∠E. D (I)求证：△ABC≌△ECD (2)若DE=5,BC=12,求AD的长. 12.(2026湖南长沙模拟预测)如图，已知点B,E,C,F在一条直线上，∠A=∠D,AB∥DF, BE=FC D (I)求证：AC=DE; (2)若BF=10,EC=6,求BC的长. 13.(25-26七年级下重庆奉节期末)如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，点E为AC边的中点， 连接DE并延长，交AB的平行线CF于点F,连接BE. B (I)求证：△ADE≌△CFE: (2)若BE⊥AC,BD=3,CF=4,求BC的长. 21122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上·湖南长沙期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为△ABC外一点， ∠DAB=∠BAC,AD=AB,过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交BC于点F (I)求证：△ADE≌△ABC: (2)求证：EF=CF； (3)若BF=2,CF=1,求DF的长 15.(2026内蒙古通辽：二模)己知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC. D D D D 图1 图2 图3 【问题背景】 ()如图1，连接BD,若∠BAD=90°，AD=6,求DC的长： 【类比探究】 (2)如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足∠PBO=∠ABP+∠QBC,探究P№，AP,CO之间的 数量关系，并证明： 【拓展应用】 (3)如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，满足PQ=AP+C9,请直接写出∠PBQ与 ∠ADC的数量关系为： 22122 专题1.2 全等三角形性质和判定 · 教学目标 1. 理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 2. 探索并掌握全等三角形的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据条件灵活选择。 3. 能运用全等三角形的性质和判定证明线段相等或角相等，培养逻辑推理与证明能力。 教学重难点 重点： 1. 全等三角形判定定理的理解与准确应用，特别是 SAS 与 ASA 中边角的对应关系。 2. 运用全等三角形的性质与判定进行规范的几何证明，做到言必有据。 教学难点： 1. 在复杂图形中识别或构造全等三角形，准确找出对应边和对应角。 2. 理解并区分 ASA 与 AAS 两种判定方法，避免在证明过程中出现对应关系错误。 知识点1：全等三角形的概念和性质 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形．两个全等的三角形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练】 1．如图，，若，则长度为 ． 【答案】6 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 2．如图，，，则 ． 【答案】/度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质并准确判断出对应角是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： 3．如图，，，，点B，C，D在同一直线上，点E在上，延长交于点F． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． （1）利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明即可． 【详解】（1）∵， ， ； （2）∵， ， ∵B，C，D共线， ， ， ， ． 知识点2：全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 特别说明：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. （4） 判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 【即学即练】 1．已知：如图，点，在线段上，，，，与交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定进行证明即可． 【详解】证明：， ， 即：． ，， ． 2．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等． （1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明； （2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）证明： 在和中 知识点3：全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角相等．边、角分别对应相等的两个三角形全等． 【即学即练】 1．如图，在△和△中，，，，四点在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 2．如图，点、在上，，，． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，从而得出，再计算即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 题型01 全等三角形的性质 【典例1】（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，若 ，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·宁夏固原·期中）如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点在同一条直线上 ∴的度数为 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，若，且，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据，可得，，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和； 【答案】(1) (2)33.5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 题型02 由三角形全等求时间或线段长 【典例2】（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点从点出发在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有与全等，则此时的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．设运动时间为t秒．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，当 为何值时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， ， ； ∵， ∴点P运动3秒到达点C，点Q运动2秒到达点C； ①如图1，当点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； ②如图2，当点与点重合时，则，此时满足， ∵， ， 解得； ③如图3，当点与重合时， ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 即， 解得； 综上所述：当或或时，与全等． 故答案为：1或或6． 【变式3】（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含的式子表示、； (2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，； (3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少?全等时为多少? 【答案】(1)，； (2)； (3)每秒；． 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、全等三角形的性质 【分析】（）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 题型03 用SSS证明两三角形全等 【典例3】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【变式1】（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可证和全等． 【详解】证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，E，F是AC上的两个动点，且． (1)若点E，F运动至图①所示的位置，且．试说明：． (2)若点E，F运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由． (3)若点E，F不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由推出，结合已知的，用判定 （2）仍由推出，再结合已知边，用SSS判定全等，判断结论成立 （3）由全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，从而证明AD∥CB。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （2）解：成立．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中， ∴． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， ∴， ∴． 题型04 用ASA证明两三角形全等 【典例4】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·北京石景山·期末）如图，为线段上一点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键． （1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等． （2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ，，， ∴（） （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）如图，中，是边的中点，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求：的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型05 用AAS证明两三角形全等 【典例5】（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． (1)求证； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 题型06 用SAS证明两三角形全等 【典例6】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据角边角的证明方法证明即可； （2）根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 在与中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·四川广元·期末） 如图，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】（1）证明: ∵， ∴， 即: ， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证； （）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由 (1)图（1）中的与．已知条件是， (2)图（2）中的与．已知条件是， (3)图（3）中的与．已知条件是，， 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1）根据定理即可证出； （2）根据定理即可证出； （3）先根据线段的和差可得，再根据定理即可证出． 【详解】（1）解：，理由如下： 在和中， ， ∴． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型07 用HL证明两三角形全等 【典例7】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据全等三角形的判定定理，由，，以及公共边利用“斜边直角边”定理来证明． 【详解】证明： ， 与为直角三角形． 在与中 ． 【变式1】（25-26八年级上·新疆伊犁·期中）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 此题中，先证明，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，   ∴． 答：的度数为． 【变式2】（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，点A、C、D、E在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差得出，最后利用“”证明即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ∴， ， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·月考）如图，中，，，F为延长线上一点，点E在上，且． (1)求证： (2)判断和的位置关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)和的位置关系是垂直，证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用即可求证； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质以及等边对等角，即可求得，从而证得位置关系． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）解：和的位置关系是垂直，证明如下： 如图，延长交于点， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、、在同一条线段上， ∴， ∴和的位置关系是垂直． 题型08 添加条件使两三角形全等 【典例8】（25-26八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可． 【详解】解：A选项中，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，故A不符合题意； B选项中，符合全等三角形判定定理，∴能画出唯一，故B符合题意； C选项中，属于的情况，无法确定唯一三角形，故C不符合题意； D选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）下列选项所给条件不能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据、、、等判定唯一三角形，同时考虑情况可能不唯一即可解答． 【详解】解：选项A：（两角及夹边，），能唯一画出； 选项B：（两角及一边，），能唯一画出； 选项C：（两边及非夹角，），有两个交点，不能唯一画出； 选项D：（三边，），满足三角形三边关系，能唯一画出； 故选C． 【变式2】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 【详解】解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是___________． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③， ∴，符合题意； ④，满足边边角，无法证得． 故答案为：①②③ 题型09 全等三角形的性质和判定综合 【典例9】（2026·江苏苏州·一模）如图，，分别是的边，上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据题意易得，，则，即可根据判定； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是的边，上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的边上的高， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，是的中点，连接，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，根据证明，即可得出； （2）根据平行线的性质可得，进而根据证明，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是的中点， 在和中， ． （2）， 是的中点， 在和中， ． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 一、单选题 1．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆·期末）如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 3．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数． 【详解】解：，，且知，， ， 在和中， ， ， ， ． 4．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 二、填空题 5．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 6．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，已知，，在不增加字母和辅助线的情况下，要使，需添加一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， 在已有一边和一角相等的基础上，添加，满足的判定定理； 添加，满足的判定定理； 添加，满足的判定定理； 以上条件均可证明． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，为边上的中线，延长到点，使得，连接．若，，，则的周长为_________． 【答案】12 【分析】先利用“”SAS定理证明，于是得到，然后求的周长即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则的周长为． 8．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【答案】 或 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 【详解】解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． 三、解答题 9．（2026·江苏南通·二模）如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：点是的中点， ． ， ． 又， ， ； (2) 【分析】（1）由点是的中点，可知，因为，根据平行线性质可得，结合条件，利用“边角边”证明全等即可； （2）由全等三角形对应角相等，再由平行线的性质即可求解题目． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ． ， ． 10．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 11．（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，在长方形中，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1) _______ ．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，? (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，①当，时，；②当，时， 【分析】（1）根据题意写出表达式即可； （2）根据题意得出当时，，据此计算出t即可； （3）分情况根据三角形全等得出v的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：当时，， ∵当时，， ， 在和中， ， ； （3）解：①当时，， , ∴, ， 即， 解得； ②当时，， ， , ∴， 解得， ∵, 即， 解得； 综上所述，当/秒或/秒时和全等． 12．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．5 D．1 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 3．（2026·贵州遵义·一模）如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，得到，进而求出的长为10个长方体小木块的高度，即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴10个长方体小木块的高度为， ∴每个长方体小木块的高度为. 4．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，延长交的延长线于点，证明，可得，为中点，进而求出的长；根据三角形中线性质可知，当时面积最大，从而求解． 【详解】解：由作图可知平分，延长交的延长线于点， 平分，， ∴， ∵， ∴， ，为的中点， ， ，即， 为的中点， ， 在中，，， 当时，的面积最大，最大值为， 的最大值为． 5．（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 二、填空题 6．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 7．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm． 【答案】7 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，得到的周长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴的周长． 8．（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【答案】/28度 【分析】如图，连接，证明即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴. 9．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 三、解答题 11．（2026·浙江杭州·二模）如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴； (2)7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）根据线段的和差关系，求得，进而得出的长． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵在中，，于点E， ， 在和中， ， ∴， (2)证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； (3)4 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）得：， ∴， ． 15．（2026·内蒙古通辽·二模）已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【答案】(1) (2)．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， (3) 【分析】（1）根据已知角度关系推出，结合、公共斜边，利用证明两个直角三角形全等，进而得到； （2） 采用截长补短作辅助线，构造全等三角形，先证，再证，通过线段等量代换，推导出； （3） 构造全等三角形，先证，再证，结合四边形内角和与角度转化，推导出与的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）如图，延长到点，使得，连接， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $