2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第五章 5.3 5.3.1　函数的单调性

该高中数学课件聚焦导数与函数单调性的关系，通过“小试身手”实例衔接导数计算知识，为后续极值、最值学习搭建支架，帮助学生理解导数正负与函数增减的关联及导数值大小对图象变化的影响。 其亮点在于结合逻辑推理与数学运算，通过含参数函数单调区间分类讨论（如例3）、构造函数解决f(x)与f’(x)共存问题（如典例），培养学生思维严谨性。“方法总结”系统归纳步骤，助力学生提升解题能力，教师可直接用于教学，提高效率。

5.3　导数在研究函数中的应用 5.3.1　函数的单调性 [目标导航] 课标要求 1.理解导数与函数的单调性的关系 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 3.会用导数求函数的单调区间 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.函数的单调性与其导数正负的关系 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调 ; 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调 . 递增 递减 2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得 ,这时函数的图象就比较“ ”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得 ,函数的图象就比较“ ”. 较快 陡峭 较慢 平缓 对函数的单调性与其导数正负关系的三点说明 (1)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0,在其余的点恒有f′(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形类似). (2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. (3)在区间(a,b)上f′(x)>0是函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增的充分不必要条件. 小试身手 2.函数y=x3-3x的递减区间是　 .  (-1,1) 解析:令y′=3x2-3<0,解得-1<x<1, 所以函数y=x3-3x的递减区间是(-1,1). 3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　;单调递减区间为　　　　.  (-∞,0),(2,+∞) (0,2) 解析:由题意可知x<0或x>2时,f′(x)>0,函数是增函数,x∈(0,2),f′(x)<0,函数是减函数. 4.若函数f(x)=x-kln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是　　　　.  (-∞,1] 课堂探究·素养培育 [例1] (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为(　　) 函数与导函数图象间的关系 D 解析:(1)由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,应选D. (2)已知f′(x)是f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象只可能是(　　) D 即时训练1-1:如果函数y=f(x)的图象如下图,那么导函数y=f′(x)的图象可能是(　　) A 解析:y=f(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减,因此y=f′(x)的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零,四个选项只有A符合,故选A. 研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 利用导数求函数的单调区间 探究角度1　求不含参数函数的单调区间 [例2] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3x2-2ln x; 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: (2)f(x)=x2·e-x; 解:(2)函数的定义域为(-∞,+∞). f′(x)=(x2)′e-x+x2(e-x)′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2), 令f′(x)=0, 由于e-x>0, 所以x1=0,x2=2. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ ↗ ↘ 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 所以函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞). x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - - 0 + f(x) ↗ ↘ ↘ ↗ 即时训练2-1:求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x3+3x2-36x+1; 解:(1)f′(x)=6x2+6x-36. 由f′(x)>0,得6x2+6x-36>0, 解得x<-3或x>2, 由f′(x)<0,解得-3<x<2. 故f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和(2,+∞),单调递减区间是(-3,2). (2)f(x)=sin x-x(0<x<π). 解:(2)f′(x)=cos x-1. 因为0<x<π,所以cos x-1<0恒成立, 故函数f(x)的单调递减区间为(0,π). 求不含参数函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f′(x). (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围. 当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数. (4)结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用逗号“,”隔开即可. 探究角度2　求含参数函数的单调区间 即时训练3-1:已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0),求函数 f(x)的单调区间. 解:f′(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x), 令f′(x)=0,则x=0或x=-2. ①若a>0, 当x<-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当-2<x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ②若a<0, 当x<-2时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当-2<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x>0时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 综上所述,当a>0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(0,+∞),单调递减区间为(-2,0); 当a<0时,f(x)的单调递增区间为(-2,0),单调递减区间为(-∞,-2)和(0,+∞). 求含参数函数的单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f′(x). (3)解方程f′(x)=0,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点. (4)结合定义域,画数轴、标根. (5)判定方程f′(x)=0的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间. 注意:①讨论参数要全面,做到不重不漏.②若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解. 已知函数的单调性求参数的范围 [例4] 已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,求实数a的取值范围. 解:由已知得f′(x)=3x2-a, 因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数, 所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0. 又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0, f(x)=x3-1在R上是增函数, 所以a≤0. 即时训练4-1:若函数f(x)=x3-ax-1的单调减区间为(-1,1),求a的值. 解:由f′(x)=3x2-a, ①当a≤0时,f′(x)≥0, 所以f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. 即时训练4-2:若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上单调递减,求a的取值范围. 即时训练4-3:若函数f(x)=x3-ax-1在(-1,1)上不单调,求a的取值范围. (1)函数f(x)在(a,b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0. (2)已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,区间(a,b)是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立. f(x)与f′(x)共存问题 导数问题中,若出现f(x)与f′(x)共存问题,一般要利用导数的求导法则构造函数,然后利用函数的单调性求解. [典例] (1)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) A 因为f(x)是奇函数,f(-1)=0, 所以f(1)=-f(-1)=0, 所以g(1)=f(1)=0, 所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又因为f(x)是奇函数, 所以当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0; 当x∈(-1,0)时,f(x)<0. 综上,x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 故选A. (2)已知f(x)在R上可导,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则有(　　) A.e2 024f(-2 024)<f(0),f(2 024)>e2 024f(0) B.e2 024f(-2 024)<f(0),f(2 024)<e2 024f(0) C.e2 024f(-2 024)>f(0),f(2 024)>e2 024f(0) D.e2 024f(-2 024)>f(0),f(2 024)<e2 024f(0) D (3)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为　　　　　　　　.  (-∞,-3)∪(0,3) 解析:(3)借助导数的运算法则, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0, 所以函数y=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增. 又由题意知函数y=f(x)g(x)为奇函数, 所以其图象关于原点对称, 且过点(-3,0),(3,0). 数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3). 导数中的常见构造函数技巧 (1)对于不等式f′(x)±g′(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=f(x)±g(x). 特别地,对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0),构造函数F(x)=f(x)-kx. 即时训练:(1)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且 2f(x)+xf′(x)>x2,则下列不等式在R上恒成立的是(　　) A.f(x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x A (2,+∞) (0,10) 当堂即练·素养达成 1.函数f(x)=xex+1的单调递减区间是(　 　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,+∞) 当堂即练 C 解析:f′(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f′(x)<0,函数单调递减.故选C. 2.已知函数f(x)的图象如图所示,则导函数f′(x)的图象可能为(　 　) C 解析:因为f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上是减函数,在(1,4)上为增函数, 所以当x<1或x>4时,f′(x)<0; 当1<x<4时,f′(x)>0.故选C. 3.函数y=x3+x2-x的单调递增区间为　　　　　　　　.  (-∞,-1] 课堂小结 1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性,导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.在区间(a,b)上f′(x)>0是函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增的充分不必要条件.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习,达成了培养逻辑推理、直观想象素养的目的. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 借助利用导数研究函数单调性的问题,达成了培养数学运算及逻辑推理素养的目的. 感谢观看 1.函数y=+3ln x的单调增区间为　 .  (,+∞) 解析:函数的定义域为(0,+∞), y′=-+=>0,x>. 故函数的单调递增区间为(,+∞). 解析:f(x)=x-kln x在区间(1,+∞)上单调递增, 所以f′(x)=1-≥0在区间(1,+∞)上恒成立, 即k≤x在区间(1,+∞)上恒成立, 故k≤1. 解析:(2)从f′(x)的图象可以看出,在区间(a,)内,导数单调递增;在区间(,b)内,导数单调递减.即函数 f(x)的图象在(a,)内越来越陡,在(,b)内越来越平缓,由此可知,只有选项D符合.故选D. 解:(1)函数的定义域为(0,+∞). f′(x)=6x-, 令f′(x)=0,得x1=,x2=-(舍去). x (0,) (,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ↘ ↗ 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞). (3)f(x)=x+. 解: (3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). f′(x)=1-, 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1. [例3] 已知函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),求f(x)的单调区间. 解:f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=(x>0), 对于函数y=x2+ax+1(x>0). ①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时, x2+ax+1≥0在x>0时恒成立. 所以f′(x)=≥0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上为增函数. ②由Δ>0,得a<-2或a>2, 当a<-2时,由f′(x)>0,得x<或x>, 0<<, 所以f(x)在(0,)上为增函数,在(,)上为减函数, 在(,+∞)上为增函数. 当a>2时,f′(x)=>0在(0,+∞)上恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上为增函数. 综上,当a<-2时,f(x)的单调递增区间为(0,)和(,+∞),单调递减区间为(,);当a≥-2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. ①二次项系数a: ②判别式Δ: ③方程f′(x)=0根的大小: ②当a>0时,令3x2-a=0,得x=±, 当-<x<时,f′(x)<0. 所以f(x)在(-,)上为减函数, 所以f(x)的单调递减区间为(-,), 所以=1,即a=3. 解:由题意可知f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, 所以 即 所以a≥3. 即a的取值范围是[3,+∞). 解:因为f(x)=x3-ax-1, 所以f′(x)=3x2-a, 由f′(x)=0,得x=±(a≥0), 因为f(x)在区间(-1,1)上不单调, 所以0<<1,即0<a<3. 故a的取值范围为(0,3). 解析:(1)令g(x)=, 则g′(x)=. 由题意知,当x>0时,g′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数. 解析: (2)构造函数h(x)=, 则h′(x)=<0, 即h(x)在R上单调递减, 故h(-2 024)>h(0), 即>⇒e2 024f(-2 024)>f(0); 同理,h(2 024)<h(0),即f(2 024)<e2 024f(0),故选D. (2)对于不等式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x). (3)对于不等式f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=(g(x)≠0). (4)对于不等式nf(x)+xf′(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x). (5)对于不等式xf′(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=. (6)对于不等式f′(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=enxf(x). (7)对于不等式f′(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数 F(x)=. 解析:(1)令g(x)=x2f(x)-x4, 则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x3=x[2f(x)+xf′(x)-x2]. 当x>0时,g′(x)>0, 所以g(x)>g(0), 即x2f(x)-x4>0, 从而f(x)>x2>0; 当x<0时,g′(x)<0, 所以g(x)>g(0), 即x2f(x)-x4>0, 从而f(x)>x2>0; 当x=0时,由题意可得2f(0)>0, 所以f(0)>0. 综上可知,f(x)>0.故选A. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2·f′(x)>0恒成立,且f(2)=(e为自然对数的底数),则不等式exf(x)->0的解集为　　　　　　　　.  解析: (2)由f(x)+2f′(x)>0得2[f(x)+f′(x)]>0,可构造函数h(x)=f(x), 则h′(x)=[f(x)+2f′(x)]>0, 所以函数h(x)=f(x)在R上单调递增,且h(2)=ef(2)=1. 不等式exf(x)->0等价于f(x)>1,即h(x)>h(2)⇒x>2, 所以不等式exf(x)->0的解集为(2,+∞). (3)定义在R上的函数f(x),满足f(1)=1,且对任意 x∈R 都有f′(x)<,则不等式 f(lg x)>的解集为　　　　　.  解析: (3)由题意构造函数g(x)=f(x)-x, 则g′(x)=f′(x)-<0, 所以g(x)在定义域内是减函数. 因为f(1)=1,所以g(1)=f(1)-=, 由f(lg x)>, 得f(lg x)-lg x>. 即g(lg x)=f(lg x)-lg x>=g(1), 所以lg x<1,解得0<x<10. 所以原不等式的解集为(0,10). (-∞,-1),(,+∞) 解析:由函数y=x3+x2-x,可得y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1), 令y′>0,则x<-1或x>, 所以函数y=x3+x2-x在(-∞,-1),(,+∞)内单调递增. 4.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是 　　　 　　　.  解析:因为f(x)在(-1,+∞)上单调递减, 所以f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. 因为f′(x)=-x+, 所以-x+≤0在(-1,+∞)上恒成立, 即b≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 设g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 则当x>-1时,g(x)>-1,所以b≤-1. $