2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第五章 5.2 5.2.3　简单复合函数的导数

该高中数学课件聚焦“简单复合函数的导数”，核心内容包括复合函数概念（y=f(g(x))）及求导法则（y'_x=y'_u·u'_x）。课堂导入从课标要求出发，先回顾基本初等函数导数，通过新知梳理与教材拓展明确复合函数构成条件，搭建从基础到复合的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以“分层-求导-相乘-回代”四步法则为主线，结合例1分解y=e^{sin(ax+b)}为三层复合、即时训练y=sin²(x³/3)求导等实例，培养数学抽象（结构拆分）和数学运算（链式法则）素养。课堂小结强调7类基本初等函数拆分关键，学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可借助系统例题和方法总结优化教学。

5.2.3　简单复合函数的导数 [目标导航] 课标要求 1.了解复合函数的概念 2.理解复合函数的求导法则,并能求简单的复合函数的导数 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成 ,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 . 2.复合函数的求导法则 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x= ,即y对x的导数等于 . x的函数 y=f(g(x)) y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积 对复合函数概念的理解 (1)在复合函数中,内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集. (2)对于复合函数,中间变量应该选择基本初等函数.判断一个函数是基本初等函数的标准是运用求导公式可直接求导. 小试身手 u=v2+1 v=sin x 4.曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是　　　　.  3 解析:因为y=e2x+x, 所以y′=2e2x+1, 所以y′|x=0=3, 由导数的几何意义可得 曲线y=e2x+x在x=0处的切线的斜率是3. 课堂探究·素养培育 [例1] 求下列函数的导数. 复合函数的导数 解: (2)设y=eu,u=sin v,v=ax+b, 则y′x=y′u·u′v·v′x=eu·cos v·a =acos (ax+b)·esin (ax+b). (2)y=esin(ax+b); (4)y=5log2(2x+1). 即时训练1-1:求下列函数的导数. (1)y=103x-2; 解:(1)令u=3x-2, 则y=10u, 所以y′x=y′u·u′x=10uln 10·(3x-2)′=3×103x-2ln 10. (2)y=ln(ex+x2); (1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数;②求导时分清是对哪个变量求导;③计算结果尽量简洁. 复合函数与导数的运算法则的综合应用 [例2] 求下列函数的导数. 即时训练2-1:求下列函数的导数. (2)y=sin3x+sin x3; 解:(2)y′=(sin3x+sin x3)′ =(sin3x)′+(sin x3)′ =3sin2xcos x+3x2cos x3. (3)y=xln(1+2x). 复合函数求导应注意的问题 (1)在对函数求导时,应仔细观察及分析函数的结构特征,紧扣求导法则,联系学过的求导公式,对不易用求导法则求导的函数,可适当地进行等价变形,以达到化异求同、化繁为简的目的. (2)复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略,即不必再写出函数的复合过程,直接运用公式,由外及内逐层求导. 导数运算法则的综合应用 [例3] (1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(　　) A (2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.  2 解析:(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0), 又切线与直线x+2y+1=0垂直, 所以f′(0)=2. 因为f(x)=eax, 所以f′(x)=(eax)′=eax·(ax)′=aeax, 所以f′(0)=ae0=2,故a=2. 当堂即练·素养达成 当堂即练 1.(多选题)下列哪些函数是复合函数(　 ) BCD 解析:A不是复合函数,B,C,D都是复合函数.故选BCD. 2.函数y=x2cos 2x的导数为(　 　) A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y′=x2cos 2x-2xsin 2x D.y′=2xcos 2x+2x2sin 2x B 解析:y′=(x2)′cos 2x+x2(cos 2x)′=2xcos 2x+x2·(-sin 2x)(2x)′=2xcos 2x-2x2sin 2x. 3.已知f(x)=ln(3x-1),则f′(1)=　　　　.  课堂小结 1.把复合函数合理拆分成基本初等函数的关键是把握我们学过的7个基本函数:(1)一次函数;(2)二次函数;(3)反比例函数;(4)指数函数;(5)对数函数;(6)幂函数;(7)三角函数.不能用求导公式求导则要拆分.通过复合函数求导公式的学习,达成了培养数学抽象、逻辑推理素养的目的. 2.复合函数求导及导数运算法则的综合应用,注意“化简优先”原则,借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用,达成了培养数学运算素养的目的. 感谢观看 1.函数y=是由　　　　、　　　　、　　　　三个函数复合而成的.  y= 2.函数y=cos (2x-)的导函数是　　　　 　　.  解析:y′=[-sin(2x-)]·2=-2sin(2x-). y′=-2sin(2x-) 3.函数y=的导数是　　　　　　　.  y′=- 解析:因为y=, 所以y′=-2××(3x-1)′=-. (1)y=; 解:(1)设y=,u=1-2x2, 则y′=()′(1-2x2)′=(-)·(-4x)=-(1-2x2(-4x) =2x(1-2x2. (3)y=sin2(2x+); 解:(3)设y=u2,u=sin v,v=2x+, 则y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cos v·2 =4sin vcos v=2sin 2v =2sin(4x+). 解: (4)设y=5log2u,u=2x+1, 则y′=5(log2u)′·(2x+1)′ ==. (3)y=2sin(3x-); 解: (2)令u=ex+x2,则y=ln u, 所以y′x=y′u·u′x=·(ex+x2)′=·(ex+2x)=. 解: (3)设y=2sin u,u=3x-, 则y′x=y′u·u′x=2cos u×3=6cos(3x-). (4)y= . 解: (4)设y=,u=1-2x, 则y′x=y′u·u′x=-×(-2)=(1-2x. (1)y=; 解:(1)因为(ln 3x)′=×(3x)′=, 所以y′===. (2)y=x; 解:(2)y′=(x)′=x′+x()′=+=. (3)y=xcos(2x+)sin(2x+). 解: (3)因为y=xcos(2x+)sin(2x+)=x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, 所以y′=(-xsin 4x)′ =-sin 4x-·4·cos 4x =-sin 4x-2xcos 4x. (1)y=sin2; 解:(1)y′=(sin2)′=2sin ·(sin )′=2sin ·cos ·()′=sin . 解:(3)y′=x′ln(1+2x)+x[ln(1+2x)]′=ln(1+2x)+. A. B.2 C.3 D.0 解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行. 因为y′=, 所以y′==2,解得x0=1, 所以y0=ln(2-1)=0, 即切点坐标为(1,0). 所以切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为d==, 即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.故选A. 变式训练3-1:若本例(1)改为“曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+m=0的最小距离为2”,求m的值. 解:设切点P(x0,y0),则y′==2, 所以x0=1,即切点P(1,0), 所以=2,解得m=8或-12. 当m=-12时,直线2x-y-12=0与曲线y=ln(2x-1)相交,不符合题意,舍去. 所以实数m的值为8. 变式训练3-2:若本例(1)改为“曲线y=ln(2x-1)上的任一点为P,曲线y=上的任一点为Q”,求|PQ|的最小值. 解:因为函数y=ln(2x-1)与函数y=互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称. 设点P到直线y=x的距离为d, 设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线y=x平行. 因为y′=,所以y′==1, 解得x0=, 所以y0=ln(2×-1)=ln 2, 即切点坐标为(,ln 2). 所以切点(,ln 2)到直线y=x的距离为, 即dmin=, 所以|PQ|min=2dmin=2×=×(3-2ln 2). A.y=xln x B.y=(3x+6)2 C.y=esin x D.y=sin(x+) 解析:f′(x)=·(3x-1)′=, 所以f′(1)=. 4.函数y=ln在x=0处的导数为　　　　.  解析:y=ln=ln ex-ln(1+ex)=x-ln(1+ex), 则y′=1-, 当x=0时,y′=1-=. $