5.3.2第1课时函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2　第1课时　函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用 问题引入 同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．这就是我们今天要研究的函数的极值． 新知探索 函数极值概念的理解 问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 答案　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷． 新知探索 函数极值概念的理解 问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 答案　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f′(x)>0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f′(x)<0，函数图象是连续不断的，f′(x)的变化也是连续不断的，并且有f′(x1)＝0. 新知探索 函数极值概念的理解 知识梳理 极值的概念 一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值． 新知探索 注意点： (1)把函数取得极大值时的x的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 函数极值概念的理解 新知探索 求函数极值的方法 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是 ； ②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是 . 极大值 极小值 典例精析 题型一：不含参数的函数求极值 例1　求下列函数的极值. 解　(1)函数f(x)的定义域为R. 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 典例精析 题型一：不含参数的函数求极值 例1　求下列函数的极值. 由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3； 当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1. 令f′(x)＝0，解得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： 典例精析 题型一：不含参数的函数求极值 例1　求下列函数的极值. x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值 ↘ 典例精析 题型一：不含参数的函数求极值 反思与感悟　函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况． 典例精析 题型二：含参数的函数求极值 解　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex. 令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2， 分以下两种情况讨论： 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 典例精析 题型二：含参数的函数求极值 所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数， 函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a， 函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －