2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第五章 5.2 5.2.1　基本初等函数的导数

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数运算，从课标要求的定义推导y=x、y=x²等简单函数导数入手，通过新知梳理呈现公式，构建从具体到抽象的学习支架，衔接导数定义与公式应用的知识脉络。 其特色在于融合逻辑推理与数学运算素养，以“先化简再求导”方法总结和探究切线方程实例（如曲线y=x²的垂直切线问题），培养学生数学思维。课堂小结强调公式应用与素养达成，助力学生提升运算能力，为教师提供结构化教学资源。

5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 [目标导航] 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.几种常用函数的导数 0 1 3x2 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)= f(x)=xα(α∈Q,且α≠0) f′(x)= f(x)=sin x f′(x)= f(x)=cos x f′(x)= 0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex 小试身手 0 解析:常数的导数等于0. 2.若函数y=10x,则y′|x=1=　　　　.  10ln 10 解析:因为y′=10xln 10, 所以y′|x=1=10ln 10. 3.若函数f(x)=log2x,则f′(3)=　　　　.  课堂探究·素养培育 [例1] 求下列函数的导数. 利用导数公式求函数的导数 (4)y=lg x; (5)y=5x; 解:(5)因为y=5x,所以y′=5xln 5. 即时训练1-1:求下列函数的导数. (1)y=x12; 解:(1)y′=(x12)′=12x11. (3)y=3x; 解:(3)y′=(3x)′=3xln 3. (4)y=log5x. (1)若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解. (2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误. 利用公式求函数在某点处的导 即时训练2-1:一质点的运动方程为s=sin t,则t=1时质点的瞬时速度为(　　) A.sin 1 B.cos 1 C.-sin 1 D.-cos 1 B 解析:s′=cos t,当t=1时,s′|t=1=cos 1,所以当t=1时质点的瞬时速度为cos 1.故选B. (1)速度是路程对时间的导数,加速度是速度对时间的导数. (2)求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的步骤是:①先求函数的导函数;②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值. 导数公式的应用 [例3] 已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上两点,是否存在与直线PQ垂直的切线,若有,求出切线方程;若没有,说明理由. 变式训练3-1:若本例条件不变,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. 变式训练3-2:若将本例中函数改为y=ln x,试求与直线PQ平行的切线方程. 求曲线的切线方程时,应注意 (1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程; (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率; (3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点. 当堂即练·素养达成 当堂即练 C D 4.已知直线y=kx是曲线y=3x的切线,则k的值为　　　　.  eln 3 课堂小结 1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构特征,积极地进行联想化归.通过对几个常用函数的推导,达成了培养逻辑推理素养的目的. 感谢观看 课标要求 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=的导数 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f′(x)= f(x)=x f′(x)= f(x)=x2 f′(x)=2x f(x)=x3 f′(x)= f(x)= f′(x)= f(x)= f′(x)= - f(x)=ax(a>0,且a≠1)　 特别地,f(x)=ex f′(x)= f′(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1)　 特别地,f(x)=ln x f′(x)= f′(x)= 1.()′=　　　　.  解析:因为f′(x)=,所以f′(3)=. 4.曲线y=sin x在(,)处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　.  4x-8y+(4-π)=0 解析:因为k=(sin x)′=cos =, 所以切线方程为y-=(x-), 即4x-8y+(4-π)=0. (2)y=; (1)y=cos ; 解:(1)因为y=cos =, 所以y′=0. 解: (2)因为y==x-5,所以y′=-5x-6. (3)y=; 解: (3)因为y===,所以y′=. 解: (4)因为y=lg x,所以y′=. (6)y=cos (-x). 解: (6)因为y=cos (-x) =sin x, 所以y′=cos x. (2)y=; 解:(2)y′=()′=()′=. 解:(4)y′=(log5x)′=. (3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数的区别. [例2] (1)求函数f(x)=在(1,1)处的导数; 解:(1)因为f′(x)=()′=()′=-=-, 所以f′(1)=-=-. (2)求函数f(x)=cos x在(,)处的导数. 解:(2)因为f′(x)=-sin x, 所以f′()=-sin =-. 解:因为y′=(x2)′=2x,假设存在与直线PQ垂直的切线. 设切点坐标为(x0,), 由PQ的斜率为k==1, 又切线与PQ垂直, 所以2x0=-1,即x0=-, 所以切点坐标为(-,). 所以所求切线方程为y-=(-1)(x+), 即4x+4y+1=0. 解:因为y′=(x2)′=2x,设切点为M(x0,),则y′=2x0. 又因为PQ的斜率为k==1, 而切线平行于PQ,所以k=2x0=1,即x0=. 所以切点为M(,), 所以所求切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0. 解:设切点为(a,b), 因为kPQ=1, 则由f′(a)==1,得a=1, 故b=ln 1=0, 则与直线PQ平行的切线方程为y=x-1, 即x-y-1=0. 1.已知f(x)=ln x,则f′()的值为(　 　) A.1 B.-1 C.e D. 解析:f′(x)=,则f′()==e,故选C. 2.已知f(x)=xα(α∈Q且α≠0),若f′(1)=,则α等于(　 　) A. B. C. D. 解析:因为f(x)=xα,所以f′(x)=αxα-1, 所以f′(1)=α=. 3.函数y=在点(,)处切线的倾斜角为　　　　.  解析:y′=,y′=1,所以切线的斜率为1,所以切线的倾斜角为. 解析:设切点为(x0,y0). 由题意得y′=3xln 3,所以k=ln 3,① 所以y=(ln 3)x,又因为(x0,y0)在曲线y=3x上, 所以x0·ln 3=, 所以x0==log3 e.② 由①②得k=eln 3. 2.有些函数可先化简,再应用公式求导,如求y=1-2sin2的导数,因为y=1-2sin2= cos x,所以y′=(cos x)′=-sin x.对于正弦函数、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,二是注意函数符号的变化.借助导数公式的学习及应用,达成了培养数学运算素养的目的. $