2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第五章 5.1 5.1.1—5.1.2

该高中数学课件聚焦“导数的概念及其意义”，涵盖平均变化率、瞬时变化率、导数定义及几何意义，通过瞬时速度、切线斜率等实例导入，衔接函数变化率知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“问题探究+步骤总结”培养数学眼光（抽象能力）、思维（推理能力）与语言（符号表达），如通过瞬时速度计算推导导数定义，用切线方程求解强化几何意义理解。学生能深化概念认知，教师可高效落实素养目标。

5.1　导数的概念及其意义 5.1.1　变化率问题 5.1.2　导数的概念及其几何意义 第五章　一元函数的导数及其应用 [目标导航] 课标要求 1.通过对实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景 2.理解函数的平均变化率、瞬时变化率,会求函数在某一点附近的平均变化率 3.理解导数的概念,会利用导数的定义求函数在某点处的导数 4.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.平均速度与瞬时速度 (1)平均速度 一般地,在t1≤t≤t2这段时间里,物体的平均速度 . 2.割线的斜率和切线的斜率 (1)割线的斜率 如图: (2)切线与切线的斜率 ①曲线的切线 如图: 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的 称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 直线P0T ②切线的斜率 3.导数 (1)平均变化率 (3)导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0),就是切线P0T的斜率k0,即k0= =f′(x0). (1)对Δx,Δy的理解 ①Δx,Δy是一个整体符号,而不是Δ与x,y相乘. ②x1,x2是定义域内不同的两点,因此Δx≠0,但Δx可正也可负;Δy=f(x2)-f(x1)是Δx=x2-x1相应的改变量,Δy的值可正、可负,也可为0,因此平均变化率可正可负,也可为0. (2)曲线的切线 曲线在某点处的切线与曲线的交点不一定只有一个,注意与初中学习过的圆的切线的区别. (3)导数概念的解读 ①导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0处及其附近的函数值有关,与Δx无关. (4)导数的意义 函数在某一点的导数反映了函数在该点的变化情况,导数的正负代表了其变化的方向. 小试身手 1.已知函数f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为　　　　.  0.41 解析:由Δy=f(Δx+2)-f(2)=(0.1+2)2-4=0.41. 2.如图,函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为　　　　.  -1 4.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=　　　　.  1 课堂探究·素养培育 探究角度1　求函数的平均变化率 [例1] 已知函数f(x)=3x2+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率; 平均变化率与瞬时变化率 (2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率. 即时训练1-1:(1)函数f(x)=x2-sin x在[0,π]上的平均变化率为(　　) A.1 B.2 C.π D.π2 C B (1)求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的变化量Δx=x2-x1; 第二步,求函数值的变化量Δy=f(x2)-f(x1); 探究角度2　求瞬时速度 [例2] 某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度. A.1 s末 B.4 s末 C.1 s末与4 s末 D.0 s与4 s末 C (2)质点M按规律s(t)=(t-1)2做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=3 s时的瞬时速度为　　　(单位:m/s).  4 求瞬时速度的步骤 (1)求位移增量,Δs=s(t0+Δt)-s(t0); 导数的概念 8 (2)如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3, ②求t=4时的导数. A.-4 B.2 C.-2 D.±2 D 3 (1)在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有: (2)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); 导数的几何意义 [例4] (1)若函数f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数f(x)在区间[a,b]上的图象可能是(　　) A (1)解析:函数f(x)的导函数f′(x)在区间[a,b]上是增函数,若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b,则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b),根据导数的几何意义,可知函数y=f(x)的切线斜率在区间[a,b]内单调递增,观察图象,只有A选项符合.故选A. 变式训练4-1:本例(2)中,若曲线C在某点处的切线的倾斜角为45°,求切点坐标. (1)根据切线斜率求切点坐标的步骤 ①设切点坐标(x0,y0); ②求导函数f′(x); ③求切线的斜率f′(x0); ④由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; ⑤点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标. (2)求曲线过已知点的切线方程的步骤 当堂即练·素养达成 1.一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在3 s末的瞬时速度是(　 　) A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s 当堂即练 C 2.设函数f(x)=ax+3,若f′(1)=3,则a等于(　 　) A.2 B.-2 C.-3 D.3 D 3.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 (　 　) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 B 课堂小结 2.导数的几何意义:曲线在某一点处的导数就是曲线在该点处切线的斜率.曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线斜率为正值,在x0附近曲线是上升的;f′(x0)<0说明曲线在x0处的切线斜率为负值,在x0附近曲线是下降的.通过导数几何意义的学习,达成了培养数学抽象及直观想象素养的目的. 3.在求曲线上某点处的切线方程时,求切点坐标是关键,要把握三点:(1)切点在曲线上;(2)切点在切线上;(3)导数即斜率.借助切线方程的求解,达成了培养数学运算素养的目的. 感谢观看 (2)瞬时速度 把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻t0的瞬时速度为当时间间隔|Δt|无限趋近于0时平均速度的极限,即v=. = 平均变化率= 表示割线P0P的斜率. 曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔|Δx|无限趋近于0时,割线斜率的极限,即k=. 把比值,即= 叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. (2)导数的概念 如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称 y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作 ,即f′(x0)= . f′(x0)或y′ ②f′(x0)是一个常数,即当Δx→0时,存在一个常数与无限接近.如果当Δx→0时,不存在,则称函数f(x)在x=x0处不可导. 解析:==-1. 3.质点按规律s(t)=at+1运动,若t=2时刻的瞬时速度为,则a的值为 　　　　.  解析:=a=. 解析:令f(x)=y=ax2, 由题意可知,f′(1)=2. 又==(aΔx+2a)=2a, 故由2a=2得a=1. 解:(1)因为f(x)=3x2+5, 所以从0.1到0.2的平均变化率为 =0.9. 解: (2)f(x0+Δx)-f(x0)=3(x0+Δx)2+5-(3+5)=3+6x0Δx+3(Δx)2+5-3-5= 6x0Δx+3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为=6x0+3Δx. 解析:(1)根据题意,f(x)=x2-sin x, 则f(0)=0,f(π)=π2-sin π=π2, 则f(x)在[0,π]上的平均变化率为===π,故选C. (2)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 解析: (2)设直线O′A,AB,BC的斜率分别为kO′A,kAB,kBC, 则==kO′A,==kAB,==kBC, 由题中图象知kBC>kAB>kO′A,即>>.故选B. 第三步,求平均变化率=. (2)求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率,可用的形式. 解:因为===3+Δt, 所以=(3+Δt)=3. 所以物体在t=1 s时的瞬时变化率为3, 即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s. 即时训练2-1:(1)一质点做直线运动,经过t s后的位移为s=t3-t2+4t,则速度为零的时刻是(　　) 解析:(1)Δs=(t+Δt)3-(t+Δt)2+4(t+Δt)-(t3-t2+4t)=(t2-5t+4)Δt+(t-)(Δt)2+(Δt)3, 所以=t2-5t+4+(t-)Δt+(Δt)2, 所以质点的瞬时速度为v==t2-5t+4. 令t2-5t+4=0,解得t=1或t=4.故选C. 解析:(2)Δs=(t+Δt-1)2-(t-1)2=2t·Δt+(Δt)2-2Δt, 所以=2t-2+Δt, 所以质点的瞬时速度为v==(2t-2+Δt)=2t-2, 质点在t=3 s时的瞬时速度为2×3-2=4(m/s). (2)求平均速度,=; (3)取极限,=; (4)若极限存在,则t0时刻的瞬时速度为v=. [例3] (1)已知f(x)在x=x0处的导数为4,则=　　　　.  (1)解析:= [×2]= 2= 2f′(x0)=2×4=8. ①当t=4,Δt=0.01时,求Δy和比值; (2)解:①Δy=f(t+Δt)-f(t)=3t2·Δt+3t·(Δt)2+(Δt)3, 故当t=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 201,=48.120 1. 解:②=[3t2+3t·Δt+(Δt)2]=3t2=48,故函数y=t3+3在t=4处的导数是48,即y′|t=4=48. 即时训练3-1:(1)已知f(x)=,且f′(m)=-,则m的值等于(　　) 解析:(1)因为===, 所以f′(m)==-, 所以-=-,m2=4,解得m=±2.故选D. (2)已知函数f(x)在x=a处的导数为1,则等于　　　.  解析: (2)根据题意,函数f(x)中,f′(a)=1, =3×=3f′(a)=3. = = = =f′(x0). ②求平均变化率=; ③求极限. (2)已知曲线C:y=x3+,求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程. (2)解:将x=2代入曲线C的方程得y=4, 所以切点P(2,4). y′|x=2===[4+2·Δx+(Δx)2]=4. 所以k=y′|x=2=4. 所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 解:设切点的坐标为(x0,y0),则 Δy=(x0+Δx)3+-- =·Δx+x0·(Δx)2+(Δx)3. 所以=+x0·Δx+(Δx)2. 所以f′(x0)=[+x0Δx+(Δx)2]=. 因为曲线的切线的倾斜角为45°, 所以斜率为tan 45°=1, 即f′(x0)==1,得x0=±1, 所以x0=1时,y=;x0=-1时,y=1, 即切点坐标为(-1,1)或(1,). 变式训练4-2:本例(2)中,试求曲线C过点(-2,-)的切线方程. 解:设切点坐标为(x0,y0), 则y0=+, 又切线的斜率k=f′(x0)==[+x0·Δx+(Δx)2]=. 所以切线方程为y-y0=k(x-x0), 即y--=(x-x0),　(*) 又切线过点(-2,-), 代入上式,整理得+3-4=0, 即(x0+2)2(x0-1)=0,解得x0=1或x0=-2, 代入(*)式整理得所求切线方程为12x-3y+20=0或3x-3y+2=0. 解析:因为==5+Δt, 所以=(5+Δt)=5(m/s). 解析:f′(1)===a. 因为f′(1)=3,所以a=3. 解析:因为f(x)=x4-2x3, 所以f′(1)= = =-2, 又f(1)=1-2=-1,所以所求的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B. 4.已知函数f(x)=,则f′(1)=　　　　.  解析:f′(1)= = ==. 1.导数(瞬时变化率)是平均变化率的极限.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)反映了函数在该点处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况.即 f′(x0)===,且y=f(x)在x0处的导数是一个局部概念.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、导数的概念的学习,达成了培养数学抽象、逻辑推理素养的目的. $