2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.1 第一课时　数列的概念与简单表示法

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及通项公式，通过实例导入引导学生观察数列特征，衔接函数知识，搭建从具体数列到抽象定义的学习支架，帮助学生理解数列与函数的联系。 其亮点在于以探究式教学培养数学抽象与逻辑推理素养，如通过例2归纳前几项的通项公式，例3判断数是否为数列项强化数学运算。方法总结系统梳理判断类型、求通项公式步骤，助力学生提升能力，教师可直接用结构化内容提高教学效率。

4.1　数列的概念 第一课时　数列的概念与简单表示法 第四章　数列 [目标导航] 课标要求 1.通过实例,了解数列的概念 2.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断 3.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式 4.能根据数列的通项公式研究数列中有关项的问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.数列的概念 (1)定义:按照确定的 排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的 叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)数列的表示:数列的一般形式是a1,a2,a3,…,an,…,简记为 . 顺序 每一个数 {an} 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变化趋势 递增数列 从第 项起,每一项都 它的前一项的数列 递减数列 从第 项起,每一项都 它的前一项的数列 常数列 的数列 摆动数列 从第 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 2.数列的分类 2 大于 2 小于 各项都相等 2 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用 来表示,那么这个 叫做这个数列的通项公式. 序号n 一个式子 式子 (1){an}与an是不同概念:{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an表示数列{an}中的第n项. (2)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}为定义域的函数解析式. (3)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式. 小试身手 1.若数列{an}的通项公式为an=n2-n+2,则a4=　　　　.   14 解析:a4=42-4+2=14. 3.写出当自变量x取1,2,3,…时,函数f(x)=x2的值构成的数列的前三项:　　　. 1,4,9 解析:当x取1,2,3时,函数f(x)=x2的值分别为1,4,9,故当自变量x取1,2,3,…时,函数 f(x)=x2的值构成的数列的前三项为1,4,9. 4.若数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是　　　　　　.  (-∞,3) 课堂探究·素养培育 [例1](多选题)下列说法不正确的有(　 　) A.数列1,-2,3,-4,…是一个摆动数列 B.数列-2,3,6,8 可以表示为{-2,3,6,8} C.{an}和an是相同的概念 D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的 数列的概念及分类 BCD 解析:根据摆动数列的概念,A正确; 数列-2,3,6,8 不能表示为集合{-2,3,6,8},数列和元素顺序有关,集合和元素顺序无关,故B错误. {an}表示数列的全部的项,而an表示数列的第n项,不是同一概念,故C错误; 数列的通项公式可以有多个,D错误.故选BCD. 即时训练1-1:给出下列数列. ①2014—2022年某市居民人数(单位:万人)构成数列93,105,118,132,147,163, 180,198,208; ③-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列-2,4,-8,16,-32,…. 其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　,常数列是　　　　.  ① ②③ ① ② 解析:①是有穷数列;②③是无穷数列,同时①也是递增数列;②是常数列. (1)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需看数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列. (2)数列单调性的判断 判断数列的单调性,则需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足an<an+1,则是递增数列;若满足an>an+1,则是递减数列;若满足an=an+1,则是常数列;若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列. 由数列的前几项求通项公式 [例2]根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (2)1,3,6,10,15,…; (3)6,66,666,…. 即时训练2-1:写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数: (3)7,77,777,7 777. 此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.这些方法的具体对象为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系. 通项公式的简单应用 [例3]已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n. (1)写出此数列的第4项和第6项. 解:(1)a4=3×42-28×4=-64, a6=3×62-28×6=-60. (2)问:-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是否是该数列的一项? 变式训练3-1:若本例中的条件不变, (1)试写出该数列的第3项和第8项. 解:(1)因为an=3n2-28n, 所以a3=3×32-28×3=-57, a8=3×82-28×8=-32. (2)问:20是不是该数列的一项?若是,应是哪一项? 变式训练3-2:若将例题中的“an=3n2-28n”变为“an=n2+2n-5”,试判断数列{an}的单调性. (1)由通项公式写出数列的指定项,只须对n进行取值,然后代入通项公式,相当于已知函数解析式和自变量的值求函数值. (2)判断一个数是否为该数列中的项,其方法是由通项公式等于这个数求方程的根,根据方程有无正整数根便可判断. (3)在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})这一约束条件. 当堂即练·素养达成 1.(多选题)下列说法中不正确的有(　 　) A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7} B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列 当堂即练 ABD 解析:由数列的定义知A,B错误;C正确;D中数列的第1项0无法用an=2n(n∈N*)来表示,故选ABD. 2.(多选题)已知数列0,2,0,2,0,2,…,则前6项适合的通项公式为(　 　) A.an=1+(-1)n AC 20 解析:根据题意,a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10, 则a2·a3=20. 11 课堂小结 1.数列的定义中的两个关键词:“一列数”,即不止一个数;“确定顺序”,即数列中的数是有序的. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π的不足近似值,依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…,它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征,并对此进行联想、转化、归纳.通过对数列的概念及通项公式的学习,达成了培养数学抽象素养的目的. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.借助数列通项公式的应用,达成了培养逻辑推理、数学运算素养的目的. 感谢观看 2.若数列的前4项分别是-,,-,,则此数列的一个通项公式为an=　　　　.  解析:由数列的前4项分别是-,,-,, 得an=. ②无穷多个 构成数列 ,,,,…; (1),,,,…; 解:(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为,,,,…,于是它们的分母依次相差3,因而有an=. 解:(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘2,即,,,,,…,因而有an=. 解:(3)把各项除以6,得1,11,111,…,再乘9,得9,99,999,…, 因而有an=(10n-1),即an=(10n-1). (1)-,,-,; 解:(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘比序号数大1的数,并且奇数项为负,偶数项为正, 所以它的一个通项公式为an=,n∈N*. (2),,,; 解:(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数,分子都是比序号大1的数的平方减1, 所以它的一个通项公式为an=,n∈N*. 解:(3)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999, 即×(10-1),×(100-1),×(1 000-1),×(10 000-1), 即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1), 所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N*. 解:(2)由3n2-28n=-49, 解得n=7或n=(舍去), 所以-49是该数列的第7项. 由3n2-28n=68,解得n=-2或n=,均不合题意, 所以68不是该数列的项. 解:(2)令3n2-28n=20, 解得n=10或n=-(舍去), 所以20是该数列的第10项. 解:因为an=n2+2n-5, 所以an+1-an=(n+1)2+2(n+1)-5-(n2+2n-5)=n2+2n+1+2n+2-5-n2-2n+5=2n+3. 因为n∈N*,所以2n+3>0, 所以>an. 所以数列{an}是递增数列. C.数列{}的第k项是1+ D.数列0,2,4,6,8,…可表示为an=2n(n∈N*) B.an=2cos C.an=2|sin | D.an=1-cos(n-1)π+(n-1)(n-2) 解析:对于选项A,an=1+(-1)n取前6项得0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项B,an=2cos 取前6项得0,-2,0,2,0,-2,不满足条件; 对于选项C,an=2|sin |取前6项得0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D,an=1-cos(n-1)π+(n-1)(n-2)取前6项得0,2,2,8,12,22,不满足条件.故选AC. 3.已知数列{an}的通项公式为an=则a2·a3=　　　　.  4.已知数列2,,4,…,,…,则8是该数列的第　　　项.  解析:令=8,得n=11. $