2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.1 第二课时　数列的通项公式与递推公式

该高中数学课件聚焦数列的通项公式与递推公式，涵盖递推公式概念、an与Sn关系及单调性等核心知识点。通过小试身手题目衔接已学通项公式，引出递推公式作为新表示方法，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以函数思想统领教学，通过作差作商法研究单调性培养数学思维，累加法累乘法推导通项发展逻辑推理，an与Sn关系强调分段验证提升严谨性。如例1用差法分析最大项，即时训练结合二次函数求最小项，助力学生提升数学思维与运算能力，为教师提供系统探究案例和方法总结。

第二课时　数列的通项公式与 递推公式 [目标导航] 课标要求 1.了解数列递推公式的概念;知道递推公式是给出数列的一种方法 2.能根据数列的递推公式写出数列及求简单数列的通项公式 3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性,会求数列中的最大(小)项 4.理解数列的前n项和Sn与an的关系,能根据Sn与an的关系求出数列的通项公式 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.递推公式 如果一个数列的 或 的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了 和递推公式,就能求出数列的每一项了. 相邻两项 多项之间 首项 2.数列的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn= .如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.an与Sn的关系 a1+a2+…+an (1)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,由递推公式可以依次求出数列的各项,但并不是所有的数列都有递推公式. (2)通项公式与递推公式的区别:通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数列1,3,5,…,2n-1,…的一个通项公式为an=2n-1(n∈N*),用递推公式表示为a1=1,an=an-1+2(n≥2,n∈N*). 小试身手 1.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=　　　　.  19 解析:由an+1=an+2-an,得an+2=an+an+1, 则a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=19. 3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an= 　　　　　　　.  2n-1 课堂探究·素养培育 数列的单调性及最值 即时训练1-1:将本例中数列{an}的通项公式换为an=n2-7n-8. 数列{an}中是否有最小项?若有,求出其最小项;若没有,请说明理由. 由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质,如单调性、最大值、最小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2,…,n}这一条件. (1)采用作差法或作商法比较an与an+1的大小关系,从而判断数列{an}的单调性,若an+1>an恒成立,则{an}是递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}是递减数列. 递推公式及应用 探究角度1　由递推公式求数列的项 D 递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项;而递推公式则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否有规律性. 探究角度2　由递推公式求数列的通项公式 即时训练3-1:已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an(n∈N*),写出数列的前5项,猜想an并加以证明. 解:由a1=2,an+1=3an,得 a2=3a1=3×2, a3=3a2=3×3×2=32×2, a4=3a3=3×32×2=33×2, a5=3a4=3×33×2=34×2, … 猜想:an=2×3n-1. 由数列的递推公式求通项公式时,若递推关系为an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式,即 (1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式. an与Sn的关系 [例4] 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=　　 　　.  即时训练4-1:若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,求数列的通项公式an. (1)已知Sn,求an的三个步骤 ①先利用a1=S1求出a1; ③注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. (2)Sn与an关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. ①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解; ②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 当堂即练·素养达成 1.数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列{an}各项中最小项是(　　) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 当堂即练 B 2.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6等于(　　) A.7 B.11 C.16 D.17 C 解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+ 5=16.故选C. 递减 课堂小结 1.数列是特殊的函数,因此可以借助函数的性质去研究数列中的最值问题及单调性问题.通过学习数列单调性及最大(小)项的求法,达成培养逻辑推理、数学运算素养的目的. 2.数列的表示方法:(1)图象法;(2)列表法;(3)通项公式法;(4)递推公式法. 感谢观看 an= (3)对于数列{an},关系式an=Sn-Sn-1不一定成立,要注意在n≥2时,an=Sn-Sn-1才成立,即an= 2.数列1,,2,2,…的递推关系式是　 .  an=an-1 解析:数列中从第二项起,后一项是前一项的倍,所以其递推关系是an=an-1. 解析:当n≥2时,an=Sn-=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=S1=1,也适合an=2n-1, 所以an=2n-1. [例1]已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·()n,问:该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. 解:法一　an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n=, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×()9. 法二　根据题意,令(n>1) 即(n>1) 解得9≤n≤10. 又n∈N*,则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×()9. 解:法一　an=n2-7n-8是关于n的二次函数,且二次函数y=x2-7x-8的图象的对称轴方程为x==3.5,当1≤n≤3时,{an}是递减数列;当 n≥4时,{an}是递增数列,所以当n=3或n=4时,an最小,即最小项为a3=a4=-20. 法二　由 得 解得3≤n≤4.因为n∈N*,所以当n=3或n=4时,an最小,即最小项为a3=a4=-20. (2)利用不等式组(n>1)找到数列的最大项; 利用不等式组(n>1)找到数列的最小项. [例2]若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2 024的值为(　　) A.2 B.-3 C.- D. 解析:因为a1=2,an+1=,所以有a2==-3,a3==-,a4==,a5==2,因此数列{an}是以4为周期的数列,所以a2 024=a4×506=a4=.故选D. 即时训练2-1:设数列{an}满足an=写出这个数列的前5项. 解:由题意可知a1=1,a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=,a5=1+=1+=. [例3](1)已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+-,n∈N*,求通项公式an; 解:(1)因为an+1-an=,所以a2-a1=, a3-a2=, a4-a3=, … an-an-1=. 以上各式累加得,an-a1=++…+=(1-)+(-)+…+(-)=1-, 所以an+1=1-,所以an=-(n≥2). 又因为n=1时,a1=-1,符合上式, 所以an=-(n∈N*). (2)设数列{an}中,a1=1,an=(1-)an-1(n≥2),求通项公式an. 解:(2)因为a1=1,an=(1-)an-1(n≥2), 所以=, an=×××…×××a1=×××…×××1=. 又因为n=1时,a1=1,符合上式, 所以an=(n∈N*). 证明如下:由an+1=3an得=3. 因此可得=3,=3,=3,…,=3(n≥2). 将上面的n-1个式子相乘可得···…·=3n-1(n≥2). 即=3n-1,所以an=a1·3n-1(n≥2). 又a1=2,故an=2·3n-1(n≥2). 又因为n=1时,a1=2,符合上式,所以an=2·3n-1. 即时训练3-2:已知数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2),求数列{an}的通项公式. 解:因为anan-1=an-1-an(n≥2),所以-=1. 所以=+(-)+(-)+…+(-)=2+=n+1. 所以=n+1,所以an=(n≥2). 又因为n=1时,a1=,符合上式,所以an=. (2)累乘法:当=g(n)时,常用an=··…··a1求通项公式. 解析:当n=1时,a1=S1=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1, 故an= 解:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2, 当n≥2时, an=Sn-=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5, 显然当n=1时,不满足上式. 故数列的通项公式为an= ②用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式; 解析: an=3n2-28n=3(n-)2-, 当n=时,an最小,又n∈N*, 故n=5时,an=3n2-28n最小. 3.已知数列{an}满足a1>0,=(n∈N*),则数列{an}是　　　　数列.(填“递增”或“递减”)  解析:由已知a1>0,an+1=an(n∈N*), 得an>0(n∈N*). 又an+1-an=an-an=-an<0, 所以{an}是递减数列. 3.由递推公式求通项公式的方法:(1)累加法,适用形式an=+f(n).(2)累乘法,适用形式=g(n).利用数列的递推公式求具体项及通项,达成了培养逻辑推理素养的目的. 4.已知Sn求an时,要注意n=1时,a1是否满足an,若不满足则需分段表示. $