2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.2 4.2.2 第二课时　等差数列的前n项和的性质及应用

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质、最值及裂项相消法，通过“小试身手”基础题连接已学前n项和公式，以“新知梳理”中连续n项和构成等差数列等性质为支架，构建从基础到应用的知识脉络。 其亮点在于以“探究点”驱动，结合数学思维与逻辑推理，如性质证明推导连续n项和公差关系，最值问题提供四种解法强化运算，裂项相消法实例展示步骤。学生能系统掌握方法提升能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

第二课时　等差数列的前n项和的性质及应用 [目标导航] 课标要求 1.掌握等差数列前n项和的性质及应用 2.会求等差数列前n项和的最值 3.会用裂项相消法求和 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.等差数列前n项和的性质 (1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn, S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成等差数列. (2)数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数). 2.等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最 值. (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最 值.特别地,若a1>0,d>0,则S1是Sn的最小值;若a1<0,d<0,则 是Sn的最大值. 小 大 S1 (1)等差数列性质的证明 Sn=a1+a2+…+an, S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d. S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d. 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列. (2)等差数列奇偶项和的性质 小试身手 1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=　　　　.  10 2.等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则S6=　　　　.  15 解析:由S2,S4-S2,S6-S4成等差数列得2(S4-S2)=S2+(S6-S4),解得S6=15. 3.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为　　 　　　.  23或24 解析:由an≤0即2n-48≤0得n≤24. 所以所有负项的和最小,即n=23或24. 课堂探究·素养培育 等差数列前n项和的性质 [例1] (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 C 解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3. (2)已知等差数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=8,S8=4,则S12=　　　　.  -12 法二　因为S4,S8-S4,S12-S8成等差数列, 即8,-4,S12-4成等差数列, 所以S12-4=-16, 所以S12=-12. 即时训练1-1:(1)已知等差数列{an}前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于 (　　) A.110 B.150 C.210 D.280 D 解析:(1)因为等差数列{an}前n项和为Sn,若S10=10,S20=60, 所以S20-S10=50, 由等差数列的性质可得,10,50,S30-S20,S40-S30,仍然是等差数列,公差为40, 所以S30-S20=90,S40-S30=130, 则S30=150,S40=280. D 75 等差数列的前n项和常用的性质小结 (1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列. 等差数列前n项和的最值问题 [例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值. 法三　同法一,求出公差d=-2. 因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得a13+a14=0. 所以a13>0,a14<0. 所以当n=13时,Sn有最大值169. 变式训练2-1: 若将本例条件“a1=25”改为“a1=-25”,其他条件不变,试求Sn的最小值. 变式训练2-2: 本例中若将条件“a1=25,且S9=S17”改为“a1=26,且S9=S18”,则n取何值时Sn有最大值?并求出最大值. 求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路 裂项相消法求和 即时训练3-1:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,2a2+a5=24,S8=100. (1)求{an}的通项公式; (1)裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和. (2)利用裂项相消法求和的注意事项 ①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;或者前面剩几项,后面也剩几项. ②将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是公差d≠0的等差数列, 当堂即练·素养达成 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S15等于(　　) A.80 B.90 C.100 D.110 当堂即练 B 解析:S5,S10-S5,S15-S10成等差数列, 又S5=10,S10=40, 即10,30,S15-40成等差数列, 则S15-40=50,所以S15=90. D 3.已知数列{an}满足an=2n-17,其前n项和为Sn,则S13=　　　　,当Sn取得最小值时n的值为　　　　.  -39 8 课堂小结 1.等差数列前n项和的常用性质 (1)数列{an}为等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数). (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等差数列,公差为原公差的k2倍. 2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观. 感谢观看 ①若项数为2n,则S偶-S奇=a2+a4+a6+…+a2n-a1-a3-a5-…-a2n-1=d+d+…+d=nd. ===. ②若项数为2n-1,则S偶=a2+a4+a6+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=×2an=(n-1)an. S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1=×2an=nan. S奇-S偶=nan-(n-1)an=an, ==, S2n-1=(2n-1)an. ③若等差数列{bn}的前n项和为Tn,则有====. 解析:因为=, 所以=. 所以n=10. 4.已知等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn,=,则=　　　　.  解析:S11==11a6, 同理可得T11=11b6. 所以====. 解析:(2)法一　设等差数列{an}的公差为d, 因为S4=8,S8=4, 所以4a1+d=8,8a1+d=4, 联立解得a1=,d=-, 则S12=12×+×(-)=-12. (3)有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若=, 则=　　　　.  解析:(3)因为====, 所以===. (2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=, 则等于(　　) A. B. C. D. 解析: (2)因为数列{an}和{bn}为等差数列, 所以A9=×9=9a5, 同理B9=9b5, 所以======. 解析:(3)因为an=2n+1,所以a1=3, 所以Sn==n2+2n, 所以=n+2, 所以{}是公差为1,首项为3的等差数列, 所以前10项和为3×10+×1=75. (3)等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列{}的前10项和为　　　　　.  (2)数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔数列{}为等差数列. (3)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d, ①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,=; ②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,=. (4)Sn==. (5)设Sn,S′n分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,则 =. 解:法一　因为S9=S17,a1=25,所以9×25+d=17×25+d,解得d=-2. 所以Sn=25n+×(-2) =-n2+26n =-(n-13)2+169. 所以当n=13时,Sn有最大值169. 法二　同法一,求出公差d=-2, 所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. 因为a1=25>0, 由得 又因为n∈N*,所以当n=13时,Sn有最大值169. 法四　同法一,求出公差d=-2. 设Sn=An2+Bn. 因为S9=S17, 所以二次函数对称轴为n==13,且开口向下, 所以当n=13时,Sn取得最大值169. 解:因为S9=S17,a1=-25, 所以9×(-25)+d=17×(-25)+d, 解得d=2. 所以Sn=-25n+×2=n2-26n=(n-13)2-169. 所以当n=13时,Sn有最小值-169. 解:因为S9=S18,a1=26, 所以9×26+d=18×26+d,解得d=-2. 所以Sn=26n+×(-2)=-n2+27n=-(n-)2+. 所以n=时,Sn有最大值, 又n∈N*,所以当n=13或n=14时,Sn有最大值为182. (1)将Sn=na1+d=n2+(a1-)n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决. (2)邻项变号法: 当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值. 当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值. 解:(1)因为=,a1=1,所以=,=,=,…,=(n≥2), 所以···…·=×××…×=,所以an=5n-4(n≥2). 当n=1时,a1=1满足上式, 所以an=5n-4(n∈N*). [例3] 已知{an}为等差数列,=,a1=1. (1)求{an}的通项公式; 解:(2)由(1)可得bn===(-), 所以Tn=×(-)+×(-)+×(-)+…+(-)+(-) =(1+--)=. (2)若bn=,求{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意知, 解得 所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 故{an}的通项公式为an=3n-1. (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(2)因为bn==(-), Tn=×(-)+×(-)+×(-)+…+(-) =×(-+-+-+…+-) =×(-)=, 所以数列{bn}的前n项和为Tn=. 则=(-), =(-). (3)裂项求和的几种常见类型: ①=(-); ②=(-); ③=(-); ④若{an}是公差为d的等差数列,则=(-). 2.有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分别为Sn和Tn,若=,则=(　　) A. B. C. D. 解析:法一　======.故选D. 法二　因为=, 所以设Sn=(3n-1)kn,Tn=(n+7)kn,k≠0, 所以a7=S7-S6=38k,b7=T7-T6=20k, 所以==.故选D. 解析:由an=2n-17,可知数列an为等差数列,公差为2>0,a1=-15<0, 则数列为递增的等差数列, 所以S13===-39. 由解得≤n≤,又因为n∈N*, 所以Sn取最小值时n=8. 4.设等差数列{an}满足a1=3,S4=24,bn=,则数列{bn}的前n项和为　 .  - 解析:等差数列{an}满足a1=3, S4=24=12+×d, 解得d=2, 所以an=3+2(n-1)=2n+1, bn===(-), 数列{bn}的前n项和为(-+-+…+-)=×(-)=-. (3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*),则S偶-S奇=nd,=. 若项数为2n-1(n∈N*),则S2n-1=(2n-1)an,且S奇-S偶=an,=. (4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则 =. (5)若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0;若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=-(m+n). (6)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则数列{}为等差数列,公差为原公差的. 通过对等差数列前n项和性质的学习,达成了培养逻辑推理、数学运算素养的目的. (2)通项法:当a1>0,d<0,时,Sn取得最大值;当a1<0,d>0,时,Sn取得最小值. 3.裂项相消法求和使用于{}形式的数列(其中{an}为等差数列),通过求等差数列前n项和的最值及裂项相消法求和,达成了培养数学抽象、数学运算素养的目的. $