2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.3 4.3.1 第二课时　等比数列的性质

该高中数学课件聚焦等比数列性质，涵盖性质应用、与等差数列的区别联系、实际及综合应用等核心内容，通过目标导航明确课标要求，新知梳理与教材拓展对比等差等比数列，搭建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于结合酒精浓度计算、污水处理等实例培养数学建模，通过性质应用（如项的乘积关系）发展数学运算和推理意识，课堂小结强调“巧用性质”提升抽象素养。学生能掌握解题方法，教师可获得系统教学资源，提高教学效率。

第二课时　等比数列的性质 [目标导航] 课标要求 1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题 2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 等比数列的性质 (1)若数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}也是等比数列.特别地,若{an}是等比数列,c是不等于0的常数,则{c·an}也是等比数列. (2)在等比数列{an}中,若m+n=p+q,则aman= . apaq (3)数列{an}是有穷数列,则与首末两项“等距离”的两项的积相等,且等于首末两项的积. (4)在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等比数列,公比为 . (5)在等比数列{an}中,当m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,am,an,ap成 数列. qk+1 等比 (1)等差数列和等比数列的区别与联系 类型 等差数列 等比数列 区别 强调每一项与前一项的差 强调每一项与前一项的比 a1和d可以为0 a1与q均不为0 任意两个实数的等差中项唯一 两个同号实数(不为0)的等比中项有两个 当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时, am+an=ap+aq 当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时, aman=apaq (2)等比数列的单调性 ①当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列为递增数列; ②当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列为递减数列; ③当q<0时,等比数列为摆动数列. 小试身手 1.已知等比数列{an}中,a6=4,a8=8,则a10等于(　　) A.5 B.6 C.14 D.16 D 2.已知数列1,a,b,c,2是等比数列,则abc=　 .  3.已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1, 则a1=　　　　,d=　　　　.  -1 课堂探究·素养培育 等比数列的性质 [例1] 已知{an}为等比数列. (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求 a3+a5; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解:(3)由等比数列的性质知 a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9, 所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]=log395=10. 即时训练1-1:(1)等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=6,则a1a2…a10等于(　　) A.1 B.35 C.15 D.30 B 解析:(1)由等比数列的性质可得a5a6=a4a7, 又a5a6+a4a7=6, 所以2a5a6=6,所以a5a6=3, 因为a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=3, 所以a1·a2·…·a10=35.故选B. (2)已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7等于(　　) A.1 B.3 C.6 D.9 D 解析:(2)因为等比数列{an}的各项均为正数,且log3a1+log3a2+…+log3a12=12, 即log3(a1·a2·…·a12)=12, 所以a1·a2·…·a12=312, 所以(a6a7)6=312,所以a6a7=32=9,故选D. 有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项“下标”的指导作用. 等比数列的实际应用 [例2] 从盛满a(a>1)L纯酒精的容器里倒出1 L然后添满水摇匀,再倒出1 L混合液后又用水添满摇匀,如此继续下去,问: (1)第n次操作后酒精的浓度是多少? (2)若a=2时,至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%? 即时训练2-1:某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时,还能生产出有用的肥料和清洁用水,在处理过程中,每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%. (1)一天后污染物含量降低到什么程度? (2)使污染物含量减半至少要多少小时(参考数据:0.8824≈0.05,0.885.42≈0.5,结果保留整数)? 解:(2)为求何时污染物含量会减半,从an=0.88na0=0.5a0解出n, 得n=log0.88 0.5≈5.42.故使污染物含量减半至少要6 h. 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,常用的方法有:①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求和公式求解;②通过归纳得到结论,再用数列知识求解. 等差、等比数列的综合应用 [例3] 已知数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)+2,其中n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a2,ak+2,a3k+2(k∈N*)为等比数列{bn}的前三项,求数列{bn}的通项公式. 即时训练3-1:等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式an; 解:(1)因为等比数列{an}中,a1=2,a4=16, 所以2q3=16, 解得q=2, 所以an=2×2n-1=2n. (2)若a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项,求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 求解等差、等比数列的综合问题的技巧 (1)厘清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系; (2)发挥两个数列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程这一工具; (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. 由递推关系求通项公式 1.an+1=an+f(n)型 把原递推公式转化为an+1-an=f(n),再利用累加法(逐差相加法)求解, 即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1). 即时训练1:在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n-1.求an. 2.an+1=f(n)an型 3.an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0)型 [典例3] 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an. 当堂即练·素养达成 1.在等比数列{an}中,an>0,且a1a10=27,则log3a2+log3a9等于(　　) A.9 B.6 C.3 D.2 当堂即练 C 解析:因为a2a9=a1a10=27, 所以log3a2+log3a9=log327=3. 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后　　　　min,该病毒占据内存64 MB(1 MB=210 KB).  45 解析:一个3 min后占据内存22 KB,两个3 min后占据内存23 KB,三个3 min后占据内存24 KB,…,n个3 min后占据内存为2n+1 KB.令2n+1=64×210=216, 得n=15,所以15×3=45(min),故开机后45 min,该病毒占据内存64 MB. 课堂小结 1.在等比数列{an}中,若m+n=p+q,则aman=apaq.解数列问题应“多想想,少算算”,巧用性质,减少计算量.通过对等比数列性质的学习,达成了培养数学抽象素养的目的. 2.通过对数列问题的实际应用及综合应用的学习,达成了培养数学运算、数学建模素养的目的. 感谢观看 联系 ①都强调每一项与其前一项的关系; ②结果都必须是常数; ③数列都可以由a1,d或a1,q确定; ④若数列{an}为正项等比数列,则数列{logman}为等差数列,其中m>0,且m≠1; ⑤若数列{an}为等差数列,则数列{}为等比数列; ⑥非零常数列既是等差数列,又是等比数列 解析:法一　依题意,等比数列{an}中,a6=4,a8=8, 所以q2===2,又=q2=2, 所以a10=a8×q2=8×2=16, 故选D. 法二　由等比数列的性质知,a6·a10=,代入数据得a10=16. 2 解析:因为数列1,a,b,c,2是等比数列, 所以ac=1×2=2,b2=2, 即b=(负数不合题意,奇数项符号相同), 则abc=2. 解析:因为a2,a3,a7成等比数列,所以=a2a7, 所以(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d), 即2d+3a1=0.① 又因为2a1+a2=1,所以3a1+d=1.② 由①②解得a1=,d=-1. (1)若a2a4=,求a1a5; 解:(1)等比数列{an}中,因为a2a4=, 所以=a1a5=a2a4=, 所以a1a5=. 解:(2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25, 即(a3+a5)2=25, 因为an>0,所以a3+a5=5. 解:(1)根据题意知, 操作1次后混合液浓度为a1==1-; 操作2次后混合液浓度为a2==a1(1-); 操作3次后混合液浓度为a3==a2(1-);…… 则操作n+1次后酒精的浓度为an+1=an(1-). 所以{an}是以a1=1-为首项,公比为q=1-的等比数列, 所以an=a1qn-1=(1-)n, 即第n次操作后酒精的浓度是(1-)n. 解:(2)当a=2时,由an=()n<,解得n≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%. 解:(1)设污水中污染物的初始含量为a0,又设n h后残留在池中的污染物含量为an,这个问题的数学模型是数列{an},它满足因此,数列{an}是以0.88a0为首项,0.88为公比的等比数列.利用通项公式,得an=0.88na0,所以a24=0.8824a0≈0.05a0,所以一天后污染物含量大约降低到原来的5%. 解:(1)当n=1时,S1=a1=4, 当n≥2时,由题意,得Sn=n(n+1)+2,① Sn-1=(n-1)n+2,② 由①-②,得an=2n,其中n≥2. 所以数列{an}的通项公式an= 解:(2)由题意,得=a2·a3k+2. 即[2(k+2)]2=4×2(3k+2). 解得k=0(舍去)或k=2. 所以公比q==2. 所以bn=b1qn-1=a2qn-1=2n+1. 解:(2)因为a3,a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项, 所以b4=a3=23=8,b16=a5=25=32, 所以 解得b1=2,d=2, 所以bn=2+(n-1)×2=2n. Sn=2n+×2=n2+n. [典例1] 已知数列{an}满足a1=,an+1=an+,求an. 解:由条件,知an+1-an===-, 则(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=(1-)+(-)+(-)+…+(-), 所以an-a1=1-(n≥2). 因为a1=,所以an=+1-=-(n≥2). 又因为n=1时,a1=,符合上式,所以an=-. 解:依题意有a2-a1=1,a3-a2=3,…,an-an-1=2n-3(n≥2), 逐项累加有an-a1=1+3+…+2n-3 = =(n-1)2 =n2-2n+1(n≥2), 从而an=n2-2n+3(n≥2). 又因为n=1时,a1=2,符合上式, 所以an=n2-2n+3. 把原递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由=f(1), =f(2),…,=f(n-1),累乘可得=f(1)f(2)…f(n-1). [典例2] 已知数列{an}满足a1=,an+1=·an,求an. 解:由an+1=·an,得=, 故an=··…··a1=××…××=, 即an=(n≥2). 又因为n=1时,a1=,符合上式, 所以an=. 即时训练2:已知a1=3,an+1=an(n≥1),求an. 解:an=··…··a1=××…×××3=(n≥2). 又因为n=1时,a1=3,符合上式, 所以an=. 对于此类问题,通常采用换元法进行转化,假设将递推公式改写为an+1+t=p (an+t),比较系数可知t=,可令an+1+t=bn+1换元即可转化为等比数列来解决. 解:设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t, 则t=-3. 故递推公式为an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且==2. 所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列. 所以bn=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3. 3.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=　　　　　.  解析:等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2, 所以AB=AC=a1=2,AA1=a2=,…,An-1An=an+1=sin ·an=an=2×()n, 故a7=2×()6=. $