4.3.1 (第1课时)等比数列的概念课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 学习目标 学科素养 1.通过实例，理解等比数列的概念.(重点) 2.掌握等比中项的概念并会应用.(重点) 3.掌握等比数列的通项公式及其应用，并了解其推导过程.(重点) 4.理解等比数列通项公式与函数的关系.(难点) 5.能利用等比数列的定义等方法判定与证明等比数列.(重点) 数学抽象 逻辑推理 数学运算 人教A版2019选择性必修第二册 第1课时 等比数列的概念及通项公式 1.等差数列定义：an-an-1=d （n≥2，n∈N*）或 an+1-an=d (n∈N*) 2.等差中项：a,A,b成等差数列 A 3.通项公式：an =a1+(n-1)d . 通项公式的一般形式：an=am+(n－m)d. 等差数列与一次函数：an=dn+a1-d = kn+b，其中k=d. 4.等差数列的函数特征： 等差数列对应图象上所有的点在同一条直线上： d＝0,等差数列为常数列； d＜0,等差数列单调递减；d＞0,等差数列单调递增. AA 复习导入 5.判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 复习导入 与等比数列有关的数的设项技巧： (1)如果是三个数成等比数列，可设为, a, aq或a, aq, aq2. (2)如果是四个数成等比数列，可设为, aq, aq3或a, aq, aq2, aq3. 6.对称设项法求解等比数列 探究新知 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数"，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 请看以下几个实例中的数列，思考它们有何共同特征？ 实例1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 9, 92, 93, ‧‧‧, 9l0 ; ① 100, 1002, 1003, ‧‧‧ ,10010 ; ② 5, 52, 53, ‧‧‧, 5l0 . ③ 探究新知 实例2:《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： ④ 探究新知 实例3:在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是：2，4，8，16，32，64，…   ⑤ 细菌个数 第一次 第二次 第三次 2 4 第 n 次 …… 分裂次数 8 实例4:某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是： a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 探究新知 问题1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？ ① ② ③ 取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. ④ 2，4，8，16，32，64，…    ⑤ a(1＋r)，a(1＋r)²，a(1＋r)³，a(1＋r)4，a(1＋r)5 ⑥ 公比通常用字母 表示( ). q ≠ 0 探究新知 问题2：类比等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？ 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差. 公差通常用字母d表示. an-an-1=d(n≥2,n∈N*). 或an+1-an=d(n∈N*). 符号语言： 如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数，那么这个数列就叫做_________.常数叫做等比数列的_____. 二 比 同 等比数列 公比 等比数列 符号语言： q 判定等比数列常用的方法： 探究新知 概念辨析1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ 概念辨析2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 概念辨析3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 常数列一定是等差数列，公差为0. ②非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差d=0，公比q=1. 等差数列的项、公差均可以是0. 等比数列的项和公比均不可以是0 非零常数列是等比数列，公比为1. 探究新知 1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… (7) 1,a2,a4,a6,… a≠0时，是等比数列，公比为a2 a=0时，不是等比数列 教材P31 (所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号) 探究新知 问题3:类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 等差中项 如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 等比中项 如果三个数a, G, b组成 ，那么G叫做a和b的 . 等比数列 等比中项 追问：任意两个实数a，b都有等比中项吗？ 若a，b异号则无等比中项. 若a，b同号(且a≠0，b≠0)则有两个等比中项. A－a＝b－A 2A＝a＋b. a, G, b成等比数列 (互为相反数) 探究新知 问题4:怎样利用等比中项来判断数列{an}为等比数列？ {an}为等比数列 {an}为等比数列 判定等比数列常用的方法： 练习1. 在等比数列{an}中，a1=1，a3=4，则a2= . ±2 探究新知 方法1：由等比数列的定义, 得 ∴ a2= a1q a3= a2q = a1q2 a4= a3q= a1q3 ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ∴ an= a1qn-1 (n≥2). ∴首项为a1, 公比为q的等比数列{an}的通项公式为： 追问：还有其它方法推导吗？ 问题5：若一个等比数列{an},它的首项为a1, 公比是q，那么这个数列的通项公式是什么？ 又∵当n=1时，上式也成立. ∴ an=a1qn-1 不完全归纳法 或迭代法 探究新知 追问：还有其它方法推导吗？回顾等差数列通项公式的推导方法. 方法2：设等比数列{an}的首项为a1, 公比为q, 根据等比数列的定义, 得 … n-1个 又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立. an=a1qn-1 (n∈ ) 累乘法 累加法 …… 等差数列 类比 探究新知 等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为: 等比数列{an}的通项公式的一般形式： a1、q、n、an中 知三求一 探究新知 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 法一： 教材P29 ① ② ②的两边分别除以①的两边，得 ，则 或 两个，需对其分类讨论 把代入①，得 此时==384=24 把代入②，得 此时== -384 = -24 因此，的第5项是24或-24 . 通项公式法 探究新知 探究新知 例1 若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 教材P29 法二： 因为是和的等比中项，所以 因此，的第5项是24或-24 == 所以 等比中项法 2. 已知{an}是一个公比为q等比数列，请在下表中的空格处 填入适当的数. a1 a3 a5 a7 q 　　　 　　 　　 探究新知 教材P31 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 探究新知 教材P31 3. 在等比数列{an}中，a1a3＝36，a2+a4＝ 60. 求a1和公比q. 探究新知 问题6：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立关系？ (一次与指数函数的复合函数) l (指数型函数) 当x＝n (n∈N*)时的函数值，即an＝f (n). 当q＞0且q≠1时，an是指数型函数 探究新知 ∴数列{kan}是以ka为首项，a为公比的等比数列. ∴f(1)＝ka，f(2)＝ka2，...，f(n)＝kan，... 指数式的底数即为公比q, 可以直接从通项公式看出公比q的值. 探究新知 a1 a1>0 a1<0 q=1 q 0<q<1 q>1 0<q<1 q>1 追问1：类比指数函数的性质，判断公比q>0的等比数列的单调性？ 增 减 减 减 减 增 增 增 增 增 减 减 追问2：当公比q<0，等比数列的单调性？ 当q<0时,等比数列的各项符号正负交替，但所有的奇数项 (或偶数项)的符号相同.等比数列为摆动数列. 不变 不变 不变 探究新知 公比q可以是正数、负数，不可为0. 当q >0时,等比数列的各项符号相同. 当q<0时,等比数列的各项符号正负交替，但所有的奇数项 (或偶数项)的符号相同.等比数列为摆动数列. 当0＜q＜1，a1＞0时,等比数列为递减数列; a1＜0时,等比数列为递增数列; 当 q ＞1 ，a1＞0时,等比数列为递增数列; a1＜0时,等比数列为递减数列; 当q＝1时,等比数列为非零常数列. 根据公比q取值，判断等比数列的单调性： 探究新知 ∴等比数列{an} 的图象是指数型函数 图象上一群孤立的点. 解 析 探究新知 探究新知 练习4.已知等比数列的通项公式为 . (1)求公比 ； (2)判断数列 的单调性. 解:(1)由得公比 . (2)解法一：由于，公比，且 ， 所以等比数列 为递增数列. 解法二：由 ，得 ， 所以 ， 所以等比数列 为递增数列. 注意设法 探究新知 例3 数列{an}共有5项, 前三项成等比数列, 后三项成等差数列, 第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136, 第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 解： 教材P30 (1)如果是三个数成等比数列，可设为, a, aq或a, aq, aq2. 探究新知 对称设项法求解等比数列 与等差数列有关的数的设项技巧： (1)如果是三个数成等差数列，可设为a－d, a, a+d或a, a+d, a+2d. (2)如果是四个数成等差数列，可设为a－2d, a－d, a+d, a+2d或 a, a+d, a+2d, a+3d. 与等比数列有关的数的设项技巧： (2)如果是四个数成等比数列，可设为, aq, aq3或a, aq, aq2, aq3. 探究新知 4.已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比． 教材P37 练习5.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 探究新知 探究新知 教材P32 等比数列的判定与证明 结论： 探究新知 教材P32 等比数列的判定与证明 结论： 探究新知 等比数列的判定与证明 探究新知 练习6. 等比数列的判定与证明 探究新知 练习7. 等比数列的判定与证明 课堂小结 1.等比数列定义： 2.等比中项：a, G, b成等比数列. 3.通项公式： 通项公式的一般形式： 课堂小结 (指数型函数) 4.等比数列的函数特征： 公比q可以是正数、负数，不可为0. 当q >0时,等比数列的各项符号相同. 当q<0时,等比数列的各项符号正负交替，但所有的奇数项 (或偶数项)的符号相同.等比数列为摆动数列. 当0＜q＜1，a1＞0时,等比数列为递减数列; a1＜0时,等比数列为递增数列; 当 q ＞1 ，a1＞0时,等比数列为递增数列; a1＜0时,等比数列为递减数列; 当q＝1时,等比数列为非零常数列. 课堂小结 5.对称设项法求解等比数列 与等比数列有关的数的设项技巧： (1)如果是三个数成等比数列，可设为, a, aq或a, aq, aq2. (2)如果是四个数成等比数列，可设为, aq, aq3或a, aq, aq2, aq3. 课堂小结 6.判定等比数列常用的方法： {an}为等比数列 {an}为等比数列 作业布置 1.导学案:P24-P28. 2.课时作业（八、九） (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. ，为递减数列，则或.故BD正确. 故选：BD. 练3：（多选）已知等比数列是递减数列，是其公比， 则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 已知且， ①如果数列是等差数列，那么数列是等比数列； 例5.已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 已知且， ②如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 例5.已知数列的首项． （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列． 证明：因为① 所以，当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； 练习6.数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列;(2)求数列的通项公式； $