2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.4　数学归纳法

该高中数学课件聚焦数学归纳法，系统讲解其原理及应用，通过“目标导航—新知梳理—小试身手”环节，从课标要求出发，衔接数列等已有知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解证明步骤。 其亮点在于结合数学抽象与逻辑推理素养，通过“归纳—猜想—证明”实例（如数列通项推导）和分层训练（等式、不等式、整除证明），培养学生探究能力。方法总结强调验证基础与递推关键，助力学生形成严谨思维，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

4.4*　数学归纳法 [目标导航] 课标要求 1.了解数学归纳法的原理 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立; (2)(归纳递推)以“当 时命题成立”为条件,推出“当 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为 . n=n0(n0∈N*) n=k(k∈N*,k≥n0) n=k+1 数学归纳法 (1)数学归纳法是一种直接证明的方法,一般地,与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明,但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决. (2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数,并不是所有的第一个值n0都是1. (3)数学归纳法中的两步的作用:在数学归纳法中的第一步“验证n=n0时,命题成立”,是归纳奠基,是推理证明的基础.第二步是归纳递推,保证了推理的延续性,证明了这一步,就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有自然数也都成立. (4)步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”起着已知的作用,证明“当n=k+1时命题也成立”的过程中,必须用到归纳假设,再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n=k+1时命题也成立.而不能直接将n=k+1代入归纳假设,此时 n=k+1时命题成立也是假设,命题并没有得证. 小试身手 1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时,归纳奠基中n0的取值应为　 .  3 解析:根据凸n边形至少有3条边,知n≥3,故n0的取值应为3. 1+2+3+4 2k 课堂探究·素养培育 A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 数学归纳法的概念 C 解析:实际是由1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1, 所以n=1时,左边的最后一项应为a2, 因此左边计算的结果应为1+a+a2.故选C. 即时训练1-1:下列四个判断中,正确的是(　　) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+),当n=1时为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+),当n=1时为1+k C (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. 用数学归纳法证明等式 探究角度1　用数学归纳法证明等式 [例2] 用数学归纳法证明: 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况; (2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 探究角度2　归纳——猜想——证明 (1)求a1,a2,a3; (2)猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明. 解:(2)由(1)猜想an=n. 证明:①当n=1,a1=1,显然成立. 即时训练3-1:在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0. (1)求a2,a3,a4; 解:(1)由an+1=λan+λn+1+(2-λ)·2n, 将a1=2代入,得a2=λa1+λ2+(2-λ)×2=λ2+4; 将a2=λ2+4代入,得a3=λa2+λ3+(2-λ)×22=2λ3+8; 将a3=2λ3+8代入,得a4=λa3+λ4+(2-λ)×23=3λ4+16. (2)猜想{an}的通项公式并加以证明. 解:(2)由a2,a3,a4,对{an}的通项公式作出猜想,an=(n-1)λn+2n. 证明如下: ①当n=1时,a1=2=(1-1)λ1+21成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,ak=(k-1)λk+2k, 则当n=k+1时, ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k =(k-1)λk+1+λ2k+λk+1+(2-λ)2k =kλk+1+2k+1 =[(k+1)-1]λk+1+2k+1. 由此可知,当n=k+1时,ak+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1也成立. 由①②可知,an=(n-1)λn+2n对任意n∈N*都成立. “归纳—猜想—证明”的一般步骤 用数学归纳法证明不等式 探究点三　函数零点个数问题 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些,方法更灵活一些,用数学归纳法证明的第二步,即已知f(k)>g(k),求证f(k+1)>g(k+1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点: (1)先凑假设,作等价变换; (2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论. 用数学归纳法证明整除性问题 [例5] 用数学归纳法证明:当n∈N*时,32n+1+2n+2能被7整除. 证明:①当n=1时,32n+1+2n+2=33+23=35能被7整除. ②假设n=k时,32k+1+2k+2能被7整除, 则当n=k+1时, 32k+3+2k+3=9·32k+1+2·2k+2=7·32k+1+2·32k+1+2·2k+2=7·32k+1+2·(32k+1+2k+2), 因为32k+1+2k+2能被7整除,7·32k+1能被7整除, 所以n=k+1时,32k+3+2k+3能被7整除, 综合①②可得当n∈N*时,32n+1+2n+2能被7整除. 即时训练5-1:求证:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除. 证明:(1)当n=1时,13+(1+1)3+(1+2)3=36,能被9整除,命题成立. (2)假设n=k时,命题成立,即 k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除. 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3 =(k+1)3+(k+2)3+k3+3k2·3+3k·32+33 =k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3). 由归纳假设,上式中k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,又9(k2+3k+3)也能被9整除. 故n=k+1时命题也成立. 由(1)(2)可知,对任意n∈N*命题成立. 利用数学归纳法证明整除性问题时,关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要涉及“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧,凑出n=k 时的情形,从而利用归纳假设使问题得证. 当堂即练·素养达成 A.1 B.2 C.3 D.4 当堂即练 C 解析:边数最少的凸n边形是三角形.故选C. 2.用数学归纳法证明等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”时,从k到k+1左边需增加的代数式为(　 　) A.2k-2 B.2k-1 C.2k D.2k+1 D 解析:等式“1+3+5+…+(2n-1)=n2”中, 当n=k时, 等式的左边=1+3+5+…+(2k-1), 当n=k+1时, 等式的左边=1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1), 所以从k到k+1左边需增加的代数式为2k+1.故选D. 3.用数学归纳法证明:“当n为奇数时,xn+yn能被 x+y 整除”时,在归纳假设中,假设当n=k 时命题成立,那么下一步应证明n=　　　　时命题也成立.  k+2 解析:两个奇数之间相差2,所以n=k+2. 1.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点: (1)验证是基础.找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键.正确分析由n=k到n=k+1 时,式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. (3)利用假设是核心.在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节,否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 2.通过对数学归纳法原理及应用的学习,达成了培养数学抽象、逻辑推理素养的目的. 课堂小结 感谢观看 2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N*)时,第一步验证n=1时,左边应取的项是　　　　　　.  解析:分别将1,2,3,4代入得S1=,S2=, S3=,S4=,观察猜想得Sn=. 3.已知Sn=+++…+,则S1=　　　 　,S2=　　 　　, S3=　　　　,S4=　　　　,猜想Sn=　 . 4.用数学归纳法证明1+++…+<n(n∈N*且n>1)第一步要证明的不等式是  　　　,从n=k到n=k+1时,左端增加了　　　　　项.  1++<2 解析:当n=2时,1++<2. 当n=k时到第(2k-1)项, 而当n=k+1时到第(2k+1-1)项, 所以2k+1-1-(2k-1)=2k+1-2k=2·2k-2k=2k. [例1] 用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算的结果是(　　) C.式子+++…+(n∈N+),当n=1时为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+++ 解析:对于选项A,n=1时,式子应为1+k;选项B中,n=1 时,式子应为1;选项D中,f(k+1)=f(k)+++-.故选C. ++…+=(n∈N*). 证明:①当n=1时,=成立. ②假设当n=k时等式成立,即有 ++…+=, 则当n=k+1时, ++…++=+=, 即当n=k+1时等式也成立. 由①②可得对于任意的n∈N*,等式都成立. 即时训练2-1:求证:1-+-+…+-=++…+(n∈N*). 证明:①当n=1时, 左边=1-=, 右边=,所以等式成立. ②假设n=k(k∈N*)时,1-+-+…+-=++…+成立, 那么当n=k+1时, 1-+-+…+-+-=++…++-= ++…+++[-]=++…++, 所以n=k+1时,等式也成立. 由①②知,对于任意n∈N*,等式都成立. [例3] 设Sn为数列{an}的前n项和,且对于n∈N*,都有Sn=+成立. 解:(1)因为对于n∈N*,都有Sn=+成立, 所以S1=+,a1=S1=1, S2=+,a1+a2=+,a2=2, S3=+,a1+a2+a3=+,a3=3. ②假设n=k时,ak=k成立,则 当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=+--=+--, 所以ak+1=k+1, 即n=k+1时,等式也成立. 由①②可知,an=n对一切n∈N*都成立. [例4] 用数学归纳法证明:1+++…+<2-(n≥2). 证明:(1)当n=2时,1+=<2-=,命题成立. (2)假设n=k时命题成立,即1+++…+<2-. 则当n=k+1时, 1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,即当n=k+1时命题成立. 由(1)和(2)知原不等式在n≥2时均成立. 即时训练4-1:用数学归纳法证明:1+++…+<n(n∈N*,n>1). 证明:(1)当n=2时,左边=1++,右边=2,左边<右边,不等式成立. (2)假设当n=k时,不等式成立,即1+++…+<k, 则当n=k+1时,有1+++…++++…+<k+++…+< k+=k+1, 所以,当n=k+1时不等式成立. 由(1)和(2)知,对于任意大于1的正整数n,不等式均成立. 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于(　 　) $