2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.3 4.3.1 第一课时　等比数列的概念与通项公式

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、等比中项及通项公式，通过实例导入衔接等差数列知识，构建从定义理解到公式应用的学习支架，帮助学生逐步掌握等比数列的核心内容。 其亮点在于通过教材拓展深化概念辨析，如讨论常数列是否为等比数列培养数学思维，探究点中灵活设元（如四个数设为a/q³,a/q,aq,aq³）提升运算能力，课堂小结系统归纳判定方法助力数学语言表达，学生能高效掌握知识，教师可丰富教学实例。

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第一课时　等比数列的概念与通项公式 [目标导航] 课标要求 1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念 2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题 3.会判断和证明一个数列是等比数列 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q表示(显然q≠0). 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 ,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab. 同一个常数 公比 等比数列 3.等比数列的通项公式 等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则通项公式为an= . 4.等比数列与指数函数的关系 a1qn-1 ka a (1)等比数列的定义 ①“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项. ②“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”. ③常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. (3)通项公式的推广 等比数列{an}的第m项为am,则an=am·qn-m. 小试身手 1.下面有四个结论: ①由第1项起乘相同常数得后一项,这样所得到的数列一定为等比数列; ②常数列b,…,b一定为等比数列; ③等比数列{an}中,若公比q=1,则此数列各项相等; ④等比数列中,各项与公比都不能为零. 其中正确的结论是　　　　.  ③④ 解析:①错误,当乘的常数为零时,不是等比数列;②错误,b=0时,不是等比数列;③④正确. ±1 3.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=8,则公比q=　　　　,a3=　　　　.  2 解析:因为a1=1,a4=8, 所以q3=8,解得q=2. 所以a3=1×22=4. 4 4.在等比数列{an}中,a4=27,q=-3,则a7=　　　　.  -729 解析:a4=a1q3=a1(-3)3=27,故a1=-1, a7=a1q6=-1×(-3)6=-729. 课堂探究·素养培育 等比数列的通项公式 探究角度1　基本量运算 [例1] 在等比数列{an}中. (1)a1=1,a4=8,求an; 解:(1)因为a4=a1q3, 所以8=q3,所以q=2, 所以an=a1qn-1=2n-1. (2)an=625,n=4,q=5,求a1. 即时训练1-1:在等比数列{an}中,它的前三项分别为5,-15,45,求a5. 与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式an=a1qn-1 (a1q≠0)中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果. 探究角度2　灵活设元解决等比数列问题 [例2] (1)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列,则这四个数的和是　　　　　.  45 (2)有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数. 即时训练2-1:设四个实数依次成等比数列,其积为210,中间两项的和是4,求这四个数. 几个数成等比数列的设法 等比中项 A (2)(多选题)如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么(　 　) A.b=3 B.b=-3 C.ac=9 D.ac=-9 BC 解析:(2)由题意得b2=ac,a2=-b>0,c2=-9b>0,故b4=9b2,b=-3,ac=b2=9.故选BC. 即时训练3-1:等比数列{an}的前三项之和为168,a2-a5=42,求a5与a7的等比中项. (2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. (3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab>0). 等比数列的判定与证明 判断一个数列{an}是等比数列的方法 (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. 当堂即练·素养达成 1.下列数列为等比数列的是(　　) A.2,22,3×22,… 当堂即练 B 解析:A,C,D不是等比数列,A中不满足定义,C,D中项可为0,不符合定义. C 3.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第4项等于(　　) A.-24 B.0 C.12 D.24 A 解析:由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第4项为-24. 4.已知三个数成等比数列,其积为512.若第一个数与第三个数各减去2,此时的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于　　　　　.  28 课堂小结 1.等比数列的判断或证明 3.等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1,q,n,an四个量,已知其中三个量可求得第四个量,注意灵活设元可简化计算.通过对等比中项及通项公式的应用,达成了培养数学运算素养的目的. 感谢观看 当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).反之,任给指数函数f(x)=kax(k,a为常数,k≠0,a>0,且a≠1),则f(1)=ka,f(2)=ka2,…,f(n)=kan,…构成一个等比数列{kan},其首项 为 ,公比为 . (2)等比中项 G是a与b的等比中项,则a与b的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中项.G=±,即等比中项有两个,且互为相反数.“G2=ab”是“三个数a,G,b成等比数列”的必要不充分条件. 2.2+和2-的等比中项是　　　　　.  解析:设2+和2-的等比中项为a, 则a2=(2+)×(2-)=1. 即a=±1. 解:(2)a1===5, 故a1=5. 解:因为a5=a1q4,而a1=5, q==-3,所以a5=405. (1)解析:设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列. 即整理得 解得a=3,q=2. 因此这四个数分别是3,6,12,24,其和为45. (2)解:法一　设前三个数为,a,aq,则·a·aq=216,所以a3=216. 所以a=6. 因此前三个数为,6,6q. 由题意知第4个数为12q-6. 所以6+6q+12q-6=12,解得q=. 故所求的四个数为9,6,4,2. 法二　设后三个数为4-d,4,4+d, 则第一个数为(4-d)2, 由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216, 解得4-d=6.所以d=-2. 故所求的四个数为9,6,4,2. 解:设这四个数依次为,a,aq,aq2(q≠0), 根据题意,得解得q=-2或-. 当q=-2时,a=-4,所求四个数依次为2,-4,8,-16. 当q=-时,a=8,所求四个数依次为-16,8,-4,2. 综上,这四个数依次为2,-4,8,-16或-16,8,-4,2. (1)三个数成等比数列设为,a,aq. 推广到一般　奇数个数成等比数列设为:…,,,a,aq,aq2,…. (2)四个符号相同的数成等比数列设为:,,aq,aq3. 推广到一般　偶数个符号相同的数成等比数列设为:…,,,,aq,aq3,aq5,…. (3)四个数成等比数列,不能确定它们的符号相同时,可设为:a,aq,aq2,aq3. [例3] (1)在等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是(　　) A.±4 B.4 C.± D. 解析:(1)由an=×2n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,所以a4与a8的等比中项为±4. 故选A. 解:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 因为a2-a5=42,所以q≠1, 由已知得 所以 因为1-q3=(1-q)(1+q+q2), 所以由②除以①, 得q(1-q)=,所以q=. 所以a1==96. 设G是a5,a7的等比中项, 则G2=a5a7=a1q4·a1q6=q10=962×()10=9. 所以a5与a7的等比中项是±3. (1)由等比中项的定义可知=⇒G2=ab⇒G=±,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. [例4] 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列.试判断数列{an}是否为等比数列,若是,写出通项公式;若不是,请说明理由. 解:各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列. 则+Sn=2an,① 当n=1时,+S1=2a1,解得a1=. 当n≥2时,+Sn-1=2an-1,② ①-②得an=2an-2an-1, 整理得=2,a2=1,当n=1时也满足上式. 所以数列{an}是以a1=为首项,2为公比的等比数列. 所以an=·2n-1=2n-2,故an=2n-2. 变式训练4-1: 例4中,试判断数列{Sn+}是否为等比数列,若是,写出{Sn}的通项公式;若不是,请说明理由. 解:由例4知,+Sn=2an. 当n=1时,+S1=2a1,解得S1=. 当n≥2时,+Sn=2(Sn-Sn-1), 整理得Sn=2Sn-1+, 即Sn+=2(Sn-1+), 又因为S1+=1, 所以数列{Sn+}是等比数列,公比为2. 所以Sn+=(S1+)×2n-1=2n-1, 故Sn=2n-1-. (1)定义法:若数列{an}满足=q(q为常数且不为零)或=q(n≥2,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)等比中项法:对于数列{an},若=an·an+2且an≠0,则数列{an}是等比数列. B.,,,… C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,… D.0,0,0,… 2.在等比数列{an}中,a2=27,q=-,则a5等于(　　) A.-3 B.3 C.-1 D.1 解析:等比数列{an}中,a2=27,q=-, 则a5=a2·q3=-1, 故选C. 解析:依题意设原来的三个数依次为,a,aq. 因为·a·aq=512,所以a=8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列, 所以(-2)+(aq-2)=2a, 所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=, 所以原来的三个数为4,8,16或16,8,4. 因为4+8+16=16+8+4=28,所以原来的三个数的和等于28. (1)利用定义:=q(q为与n无关的常数且不为零). (2)利用等比中项:=anan+2(n∈N*). (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. 2.两个同号的实数a,b才有等比中项,而且它们的等比中项有两个(±),而不是一个(),这是容易忽视的地方. $