2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 课件 第四章 4.2 4.2.2 第一课时　等差数列的前n项和公式

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，从课标要求出发，先回顾等差数列概念，通过倒序相加法推导公式，结合“知三求二”原理建立与通项公式的联系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以“探究-训练-总结”为主线，通过基本量运算、抗洪筑坝实际应用、绝对值求和等实例，培养数学思维（运算推理）和数学语言（模型表达）。小结系统梳理方法，学生提升解决问题能力，教师可高效开展教学。

4.2.2　等差数列的 前n项和公式 第一课时　等差数列的前n项和公式 [目标导航] 课标要求 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 　  　   (1)等差数列前n项和公式的特点 ①两个公式共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、通项和前n项和.五个量中可“知三求二”. (2)等差数列前n项和的函数特点 小试身手 1.在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S5等于　　　　　.  30 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11+a13=9,则S17=　　　　.  51 3.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S6=a17,a4=16,则an=　　　 　.  5n-4 4.已知数列的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=　　　　　.  课堂探究·素养培育 等差数列的基本量运算 [例1] 已知等差数列{an}. (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 即时训练1-1:(1)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6, S5=-5,则S6等于(　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 B (2)在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n. a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可“知三求二”,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 等差数列前n项和公式的实际应用 [例2] 某抗洪指挥部接到预报,24 h后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,需调用 20辆同型号的翻斗车,平均每辆车工作24 h.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集 25辆,那么在24 h内能否构筑成第二道防线? 即时训练2-1:甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? (1)与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点: ①抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型. ②深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n. 数列{|an|}的前n项问题 [例3] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 S7=35,a2a4=45. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn. 即时训练3-2: 数列{an}的前n项和Sn=n2-16n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:当n=1时,a1=S1=-15, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-16n-[(n-1)2-16(n-1)]=2n-17. 因为n=1也适合上式, 所以数列{an}的通项公式为an=2n-17(n∈N*). 由an=2n-17≥0,得n≥8.5, 即当n≤8时,an<0;当n≥9时,an>0. ①当n≤8时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+16n. 若{an}为等差数列,求数列{|an|}的前n项和Tn的方法: (1)首先由通项公式an求出数列正项和负项的临界项数n0. 当堂即练·素养达成 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7=14,则 S9=(　　) A.21 B.63 C.42 D.126 当堂即练 B 2.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位撰,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是以珠算盘为计算工具的数学著作.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来争三岁,共年二百七岁期(注:一共207岁),借问长儿多少岁?各儿岁数要详推.这个老人最大的儿子年龄为(　　) A.8岁 B.11岁 C.20岁 D.35岁 D 3.数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,则它的通项公式是an=　　 　　　　.  -2n+2(n∈N*) 解析:当n=1时,a1=S1=-1+1=0; 当n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-2n+2,经检验,n=1也适合该式.故an=-2n+2(n∈N*). 12 21 当n≥5时,an<0. T12=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+…+|a12| =(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+a12) =S4-(S12-S4) =2S4-S12 =6-(-15) =21. 课堂小结 1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量. 3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用: 若m+n=p+q,则an+am=ap+aq(n,m,p,q∈N*);若m+n=2p,则an+am=2ap.通过等差数列前n项和的有关计算,达成了培养数学运算素养的目的. 4.实际应用问题中应注意首项a1与项数n的取值,借助等差数列前n项和的实际应用,达成了培养数学建模及数学运算素养的目的. 感谢观看 Sn= Sn=na1+d ②若已知首项a1及末项an用公式Sn=较简便,与等差数列性质结合;若已知首项a1及公差d用公式Sn=na1+较好. 对于等差数列{an},如果a1,d是确定的,前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-)n.若A=,B=a1-,上式可写成Sn=An2+Bn.当A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次函数式(常数项为0).数列S1,S2,S3,…,Sn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点. (3)对于等差数列{an},其前n项和为Sn,则数列{}也是等差数列,由前n项和公式易得=a1+d=n+a1-. 解析:S5=5×2+×2=30. 解析:依题意,a3+a11+a13=3a1+24d=3a9=9, 所以a9=3, 所以S17=×17=17a9=3×17=51. 解析:因为等差数列{an}的前n项和为Sn,S6=a17,a4=16, 所以 解得a1=1,d=5, 所以an=1+(n-1)×5=5n-4. - 解析:因为an=-5n+2, 所以数列{an}是等差数列, 且a1=-3,公差d=-5, 所以Sn==-. (1)a1=,a15=-,Sn=-5,求d和n; 解:(1)因为a15=+(15-1)d=-, 所以d=-. 又Sn=na1+d=-5, 解得n=15或n=-4(舍去). 解:(2)由已知,得S8===172, 解得a8=39, 又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5. (1)解析:设等差数列{an}的公差为d, 则由题可得⇒ 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.故选B. (2)解:由 得 解方程组得或 解:从第一辆车投入工作算起,各车工作时间(单位:h)依次设为a1,a2,…,a25. 由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-. 25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×(-)=500, 而需要完成的工作量为24×20=480. 因为500>480, 所以在24 h内能构筑成第二道防线. 解:(1)设n分钟后第1次相遇, 由题意,得2n++5n=70, 整理得n2+13n-140=0. 解得n=7,n=-20(舍去). 所以第1次相遇是在开始运动后7分钟. 解:(2)设n分钟后第2次相遇,由题意, 得2n++5n=3×70, 整理得n2+13n-420=0. 解得n=15,n=-28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15分钟. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 由S7=35,a2a4=45,得 解得 所以an=11+(n-1)×(-2)=13-2n. 解:(2)由an=13-2n>0,得n<, 所以当n≤6时,an>0, 此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==12n-n2, 当n>6时,an<0. 此时Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an) =2×(12×6-62)-(12n-n2)=n2-12n+72, 所以Tn= 即时训练3-1: 数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+n)-[-(n-1)2+(n-1)]=-3n+104. 因为n=1也适合上式,所以数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N*). 由an=-3n+104≥0,得n≤=34. 即当n≤34时,an>0; 当n≥35时,an<0. ①当n≤34时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an =Sn=-n2+n; ②当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn =2×(-×342+×34)-(-n2+n) =n2-n+3 502. 故Tn= ②当n≥9时, Tn=|a1|+|a2|+…+|a8|+|a9|+…+|an| =-(a1+a2+…+a8)+(a9+a10+…+an) =-S8+(Sn-S8) =Sn-2S8 =n2-16n+128. 故Tn= (2)①若a1<0,d>0,则数列{|an|}的前n项和Tn= ②若a1>0,d<0,则数列{|an|}的前n项和Tn= 解析:S9=(a1+a9)×9=(a3+a7)×9=×14×9=63.故选B. 解析:设这个老人9个儿子的年龄从大到小成等差数列, 设最大的儿子年龄为a1,则公差为d=-3, 由题意S9=9a1+×d=9a1+36×(-3)=207, 解得a1=35. 4.已知等差数列{an}中,a1=,d=-,Sn=-15,则n=　　;{|an|}前12项的和T12=　　.  解析:因为Sn=n·+·(-)=-15, 整理得n2-7n-60=0, 解得n=12或n=-5(舍去), 依题意知,an=2-n,Sn=-n2+n. 所以易知当n≤4时,an≥0; $