5.1.1 课时2 变化率问题与抛物线切线的斜率课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.1.1 课时2 变化率问题与抛物线切线的斜率 第五章 一元函数的导数及其应用 高台跳水运动员的速度 (1)平均速度： 时间段[t0，t0+△t]内的平均速度 (2)瞬时速度： 当 t＝t0 时的瞬时速度 平均速度的极限为瞬时速度 h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11 复习导入 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。 F 想一想：那是不是一条直线与一条曲线只有一个公共点，就可以说这条直线与这条曲线一定相切？ 不一定 因此，不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点的个数来定义相切。对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ ►课本P62 新课导入 以抛物线 f(x)＝x2为例进行研究. 应该如何定义抛物线 f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线呢? 与研究瞬时速度类似 在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2) 考察抛物线 f(x)＝x2的割线P0P的变化情况 x y O 1 1 2 2 3 4 P0 f(x)＝x2 ►课本P62 知识讲解 T 我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为抛物线 f(x)＝x2 在点P0(1，1) 处的切线. 如图，将点 P 逐渐靠近点 P0，观察割线 P0P 的位置变化情况. ►课本P62 知识讲解 如何求抛物线 f(x)＝x2在点P0(1，1) 处的切线 P0T 的斜率 k？ 记点 P 的坐标为(1＋Δx，(1＋Δx)2)， 于是割线 P0P 的斜率为： x y O 1 2 1 2 3 4 P0 P T 从上述切线的定义可见，抛物线 f(x)＝x2 在点P0(1，1)处的切线 P0T 的斜率与割线 P0P 的斜率有内在联系． ►课本P63 知识讲解 我们可以用割线 P0P 的斜率 k 近似地表示切线 P0T 的斜率 k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔 |Δx| 来提高近似表示的精确度，得到如下表格： ∆ x < 0 ∆ x > 0 ∆ x k = Δx + 2 ∆ x k = Δx + 2 – 0.01 1.99 0.01 2.01 – 0.001 1.999 0.001 2.001 – 0.000 1 1.999 9 0.000 1 2.000 1 – 0.000 01 1.999 99 0.000 01 2.000 01 – 0.000 001 1.999 999 0.000 001 2.000 001 ······ ······ ►课本P63 我们发现，当∆x无限趋近于0时，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线 P0P 的斜率k都无限趋近于2 . 事实上，由 可以直接看出，当Δx无限趋近 于0 时，Δx＋2无限趋近于 2 。我们把 2 叫做“当Δx无限趋近于 0 时， 的极限”，记为 k k ►课本P63 知识讲解 知识点：割线与切线的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T ▲ 割线的斜率： ★ 切线的斜率： 点P0(x0，f(x0))与P(1＋Δx，f(1＋Δx))两点间的斜率 函数图象在点P0(x0，f(x0))处的斜率 ►课本P63 知识讲解 t h 1 O (1，h(1)) (1+∆t，h(1+∆t)) h(t) = – 4.9t2+4.8t+11 观察“跳水问题中”函数h(t) =－4.9t2＋2.8t＋11的图象，说说 平均速度 、瞬时速度v(1)的几何意义分别是什么？ 瞬时速度 v(1) 的几何意义：曲线在点(1，h(1)) 处的切线的斜率. 平均速度的几何意义：曲线过两点(1,h(1))、(1+Δt,h(1+Δt))的割线的斜率 割线 切线 切线的斜率是割线的斜率的极限值，切线斜率的本质是瞬时变化率 ►课本P64 知识讲解 小结 切线斜率与割线斜率的区别与联系 切线斜率 割线斜率 区别 联系 以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率 经过曲线上两点连线的斜率 切线的斜率是割线的斜率的极限值 知识讲解 典例1. 求抛物线 f(x)＝x2 在点 (2，4) 处的切线的斜率 k. 解析：抛物线 f(x)＝x2在点 (2，4) 处的切线的斜率 k = = =(Δx + 4) = 4 . 典例剖析 自主练 求抛物线 f(x)＝x2 在点 (– 1，1) 处的切线的斜率. 解析：抛物线 f(x)＝x2 在点 (– 1，1) 处的切线的斜率 = =(Δx – 2) = – 2 . 知识运用 　自主练 求抛物线 y＝－x2＋3x在 x＝2 处的切线斜率． 知识运用 典例剖析 典例2. 求抛物线 f(x)＝x2＋1在点 (0，1) 处的切线方程. 解：抛物线 f(x)＝x2＋1在点 (0，1) 处的切线的斜率 ∴ 抛物线在点 (0，1) 处的切线方程为 y – 1 = 0(x – 0)， 即 y = 1. ►课本P64 小结 求抛物线在某点处的切线方程的步骤： 求抛物线y＝f (x)在某点处的切线斜率，可先表示出在此点附近通过该点的割线的斜率，再求此斜率的极限即可． 知识讲解 自主练 求抛物线 f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程． 知识运用 自主练 求抛物线 f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程． 知识运用 求曲线 f(x)＝ x2＋1在点 P (1， )处的切线的斜率以及切线方程. 解：由已知可得，切线的斜率为 故切线方程为，即. 自主练 知识运用 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 函数的平均变化率 函数的瞬时变化率 几何意义 割线的斜率 几何意义 切线的斜率 无限逼近 无限逼近 小结：切线的斜率是割线的斜率的极限值；切线斜率的本质是瞬时变化率。 课堂总结 20 1. 抛物线 f(x)＝3x2＋1在点(2，13)处的切线方程为_____________. 2. 已知抛物线 f(x)＝x2＋2x，求： (1)抛物线在点P (1，3)处切线的斜率； (2)抛物线在点P (1，3)处切线方程. 当堂检测 解：令y＝f (x)，则抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的 切线斜率为eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)， 而f (2＋Δx)－f (2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2＝－(Δx)2－Δx， 所以抛物线y＝－x2＋3x在x＝2处的切线斜率为 eq \o(lim,\s\do4(Δx→0)) eq \f(－Δx2－Δx,Δx)＝eq \o(lim,\s\do4(Δx→0))(－Δx－1)＝－1. 解：由 eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(1＋Δx2－21＋Δx＋3－2,Δx)＝Δx， 可得切线的斜率为k＝eq \o(lim,\s\do20(Δx→0))Δx＝0. 所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2. 解：eq \f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq \f(3Δx2＋8Δx,Δx)＝3Δx＋8， 所以k＝eq \o(lim,\s\do20(Δx→0)) (3Δx＋8)＝8， 则切线方程为y－3＝8(x－2)，即8x－y－13＝0. $