课时分层检测(3)等差数列的概念及通项公式-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（三） 等差数列的概念及通项公式 …0 基础达标练0… 10.已知数列{an}满足am+1 an+2,且a1=3 6an-4 1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数 (n∈N*). 列，若a2=4,a4=6,则d等于 1证明：数列{。2}是等老数列： A.4 B.3 C.2 D.1 (2)求数列{am}的通项公式 2.已知等差数列{am}的通项公式an=3-2n(n ∈N*),则它的公差d为 ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 3.已知在等差数列{an}中，a3十ag=22,a6=7, 则a5等于 ( A.15 B.22 C.7 D.29 4.在数列{an}中，若√a+1=√an十V2,a1=8, 则数列{an}的通项公式为 ( ) A.am=2(n+1)2 B.am=4(n+1) C.an=8n2 D.am=4n(n十1) 5.在数列{an}中，a1=2,2an+1-2an=1,则 a1o1的值为 ( A.49 B.50 C.51 D.52 6.已知{an}是等差数列，且a3-1是a2和a5 的等差中项，则{an}的公差为 7.首项为一24的等差数列，从第10项起为正： 数，则公差d的取值范围是 8.设a>0,b>0,若ln3是ln9a与ln3b的等 差中项，则2a十b= 9.在等差数列{an}中： …0 能力提升练0… (1)已知a5=-1,ag=2,求a1与d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求ag. 1.（多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2 与-2的等差中项，则a,b的关系可以是 ( A.a=-6 B.a=6 C.a=3b D.a=-36 2.已知数列{am}中，a3=2,a5=1,若 {a}是等差数列，则a1等于 () A.0 B.6 c 3.在50到350之间，末位数字是3的自然数的 个数有 77 班级 姓名 得分 4.数列{an}满足a1=1,am+1=(n2十n-入)an 创新拓展练 0 (n∈N*),入是常数. (1)当a2=-1时，求入及a3的值； 已知{an}是等差数列，且a1十a2十a3=12, (2)判断是否存在实数入使得数列{an}为等： a8=16. 差数列，并说明理由！ (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4 项，第6项，…，第2项，按原来的顺序组成 一个新数列{bnm},试求出数列{b}的通项 公式. 78.an=an-1十n,n∈N”,n≥2.] =2十lnn(n≥2). 6.255[因为an=4am-1十3，所以a2=4×0十3=3，a3=4×3+3= 又a1=2=2十1n1,符合上式， 15,a1=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.] 所以a,=2十lnn 元宁[由0=云及a=2.得2=4解得立由 1 法二（累加法）由题意得an+1一an =(+分）=ln(1+)-nm: 宁，得2-10，解得a=-1,同理得a:=2.由此可得a4=2412, a,=-1=2.a1=] a2-a1=ln2, a3-a2 =In 3-In 2, 8.1024[:a1=2,an=2an-1, a-ay =In 4-In 3, a≠00m=2>1, an-1 an-am-1-lnn-ln(n-1)(n≥2)， an>an-1,即{an}单调递增， 以上各式两边分别相加， {an}的最大项为a1o=2ag=4a%=… 得an=2+ln2+(ln3-n2)+…十[lnn-ln(n-1)](n≥2). =2°·a1=2°×2=20=1024.] 所以an=2十lnn(n≥2). 9.解(1)当n=1时，a1=S1=5: 因为a1=2也适合上式，所以an=2十lnn.] 当n≥2时，a,=S,一Sn-1=(3”十2)-(3-1十2)=2·3-1，a1=52.解(1)当n=2时，士兵方阵为2行3列，人数为6； 不满足上式， 当=3时，士兵方阵为3行4列，人数为12. 故a-ge2 依此类推，所求敦列为6,12,20,30,42，… (2)方阵的行数比数列的序号大1，因此第5项表示士兵方阵为6行 (2)当n=1时，a1=S1=12-1=0, 7列，第6项表示士兵方阵为7行8列，故a5-42,a6=56. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-n)-[(n-1)2-(n-1)]=2m-2, (3)根据对数列的前几项的观察、归纳，猜想数列的通项公式，前4项 又a1=0满足an=2一2，故an=2n-2. 分别为6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6，因此an=(n十1) 10.解(1)a1=12,a2=48. (n十2)(n∈N. (2)由“雪花曲线”的作法可知，第n条“雪花曲线”的每条边都可得！ (4)圈为a10=11×12=132,所以a10表示11行12列的士兵方阵中 到第n十1条“雪花曲线”的四条边. 士兵的人数 ,an+1 4a,∴数列{an}的递推公式为an+1=4an 课时分层检测（三） 能力提升练 基础达标练 1.BD[因为6。=a%-1所以b,=a=a=3,h=a,=a=5b,=1.Da=2d=642,d=1.] a62=a5=9,b:=a%,=an=17,b,=a,=a7=33.] :2.C[由等差数列的定义，得d=一2.] 2,B[由题意知，S,十ma,=2,当n≥2时，(n十1)a.=(n-1)a,-1,从3.A[设{a,的首项为a1,公差为d,根据题意得 a3十as=a1十2d+a1十7d=22,解得a1"8 a1 a? a3 an-1 (a6=a1十5d=7, n(m十1)当n=1时a1=1,符合上式.故选B] 2 所以a5=47+(5-1)×(-8)=15.] 4.A[由题意得a+1-√a-E, 3.6[设抽出的一项是第x项(1<x<m,x∈N“),则a=S,-5-1故数列{√a)是首项为√=2E,公差为2的等差数列， =7x-2,且Sm=40(m-1)十ax· 所以√a,=2V2+2(n-1)=√2n十V2,故an=2(n十1)2.] :.m(7m+3》=40(m-1)+7x-2. 2 5.D[:a+1a,=乞数列{a,是首项为2，公差为号的等差数 ∴.m2-11m+12-2x=0, 显然只有当x=6,m=11时满足题意，∴.抽出的是第6项.] 列，a,=41+m-1D…号=2+”2号am=2+101-52.] 2 4.解(1)由题意得，当A=2,C=0时，Sn=2n2十Bn. 16.-2 当n≥2时，a,=S,-Sn-1=2m+Bn-[2(n-1)2+B(n-1)]= 4n十B-2. .(÷3] [设a,=-24+0,-1Dd,由a,二一24十8d0,解得 1a1o=-24+9d>0, 又a2=-10,.a2=8+B-2=-10, ∴.B=-16,∴a,=4n-18(n≥2，n∈N), 8<d≤3.] 当n=1时，a1=S1=2×12+(-16)×1=-14 i8.2[,ln3是ln9与ln3的等差中项，∴.2n3=ln9a十1n3, 经检验，当n=1时，符合an=4n一18， : ∴.ln32=ln(9r·3b)=ln32m+b,.32=32a+h,.2a十b=2.] .an=4n-18,n∈N 19.解（1)由题意知了1T10’解得了19” (2)由题意得，当n≥2时，an=S,-Sn-1=2An十B-A, (a1+(8-1)d=2, a3=6A十B-A=5A十B=-9. ,.B=-5A-9, (2)由题意知士a十(61)d=12解得{a1, 1a1+(4-1)d=7, 1d=2. an=2An+B-A=2An-6A-9(n≥2，n∈N*）, ∴.a4=a1+(9-1)d=1十8×2=17. 若{an}的各项均为负数，则A<0, 1 1 an+2 ∴.an=2An一6A-9在n≥2时单调递减， 10.解(1)证明由 又，a1=一36<0，，只需a2<0即可，即a2=4A-6A-9<0, 1-760,426a,-0-2a+ am十2 A>-2 9 号”+ a+1-2an2=,n 故实教A的取位范国为（号，0） 创新拓展练 N,说数别{}是等基数列 (2)由(1)知1 1n十3 1,A[法一（选代法）由题意得 a=a1+h(1+十)）=am+ln子， 所以a,=2n十10 n+3 n∈N" a,=a:+n（1+）-a+ln号， :能力提升练 a=a+lh 1.AC[由等羞中项的定义知，x=b 2 x2=a2-2 2 a,=a,1+(+）=a,+hnm≥2. 则a,=a+l+ln+h+…+in () 即a2-2ab-3b2=0, ∴.(a-3b)(a+b)=0, .a=3b或a=-b.] 164 2.A[ :8.-21[设这三个数为a-d,a,a十d,则 1十a3 3'1+a2 a-d+a+a十d=9, 设数列 1的公差为d, 1(a-d)2+a2+(a+d)2=59, 1十am】 解得日或{侣8， d=-4 .这三个数为一1,3,7或7,3，一1，这三个数的积为一21.] +4d2 9.解(1)根据题意，设等差数列{an子的公差为d, 若a3十a%十a13=12,则3ag=12,则ag=4, 又由a3a%a1x=28,得aa14=(4-5d)(4十5d)=7, 1+a1 6 解得d=土5 3 d12 1 当d=是时，a,=as十(m-8)d=3n4, 5 1十a =+(m-1)2 5 1=1+11=1+1=1, 当d=一 子时a,=as十(u-8d=4与 5 1十aW 6 T12 12 .a11=0.] (2)由1)的结论，当d=号时，a=,,此时a=8X3 5 3.30[在50到350之间，末位数字是3的自然数有53,63，，343，枸成 =13, 以53为首项，343为末项，10为公差的等差数列，由a,=a1十(n-1)d, 当d=- 可得项教m0,4+1=34853+1=30.] 号时2.4与，剥a-443X28=一-5， 5 5 10 则a2g=13或-5. 4.解(1)因为an+1=(n2十n一A)an(n∈N), 110,解用{a,}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，设公差为 且a1=1,所以当ag=-1时，得-1=2-入，解得入=3. d,则a1=8.5a5=-17.5, 从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3. 由a5=a1十4d=8.5十4d=-17.5,解得d=-6.5,.an= (2)不存在实数入使得{an}为等差数列。 15-6.5n. 理由如下： ∴.a2=2,a1=-11,a8=-37, 由a1=1,an+1=(n2十n-入)an, 即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃，一11℃，-37℃. 得a2=2-X,a3=(6-A)(2-入)， :能力提升练 a1=(12-入)(6-入)(2-λ). 1.ACD[设等差数列{an}的公差为d. 若存在实数λ，使得{an}为等差数列，则a3一a2=a2一a1: 对于A,(an十an+1）-(a,1十an)=(anan-1)+(a+1-an)=2d(n≥ 即(5-λ)(2一λ)=1-λ，解得λ=3. 2),所以{an十an+i}是以2d为公差的等差数列： 于是a2一a1=1一λ=-2， 、 对于B,ai+1-a听=(an+1一a,)(a,十a+1)=d(an十an+1),因为 a1-a3-(11-X)(6-A)(2-)=-24, d(a,十am+1)不一定为常数，所以{a}不一定是等差数列： a2a1≠a1a,这与{an}为等差数列矛盾】 对于C,因为an+1一an=d,所以{an+1一an}为等差数列； 所以不存在实数入使得{an}为等差数列. 对于D,因为2an+1一2an=2d,所以{2an}为等差数列.] 创新拓展练 7 解(1)设等差数列{an}的公差为d, 2.18[:a1十a?+a10=3a=17,a?=3, 由题意得，a1十a1十d+a1+2d=12. 又a1十a5十…十a13十a11=11ag=77,.ag=7. a1+7d=16, 解得∫a1-2, 1d=2, .am=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. a4=十(k-9)d=13, (2)a2=4,a1=8,a6=12,a8=16,…,a2m=2×2n=4n. 当n>1时，a2na2a-D=4n-4(n-1)=4. 18-7=(k-9)×号∴k=18.] .{b}是以4为首项，4为公差的等差数列 !3.n十n[第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差 ∴.bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 数列，其第n十1项为n十n·n=n2十n.所以数表中的第n行第n十1 课时分层检测（四）》 列的数是n十n.] 基础达标练 4.解(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为 1.C[由ag-a1=(8-4)d=4d,得d=3,所以a15=ag十(15-8)d=: am=3十(-1)(-5)=8-5n, 14+7×3=35.] 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m=4n-1,n∈N“, 2.A[由已知得，an+1一an=2n∈N”, 所以b1=a3=8-5×3=-7, b2=a7=8-5X7=-27. 所以{a}是首项为2，公差为的等差数列. (2)由(1)知bn+1,-b,=a1a+1-1一a1m-1=4d=-20, 所以新数列{bn》也为等差数列， 所以a01=2+100×2=52.] 且首项为b1=一7，公差为d=一20， 3.D[由等差数列的性质，得a1十a7十a13=3a?=4π，∴.a2= 4π 所以bn=b1+(n-1)d 3 =-7+(n-1)×(-20)=13-20n. an(a十a)=an(2a)=tam=tan=5.] 8π (3)因为m=4n-1,n∈N”,所以当n=110时 m=-4×110-1=439, 4.C[:3a6一a号十3ag=0,∴.由等差数列的性质，得6aa号=0，：等 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 差数列{an}的各项不为零，a?=6,故选C.] 创新拓展练 5.D[对Vn∈N“都有2a+1=a+2十a,由等差中项法可知，数列；解(1)证明因为an十an+1=2n(n∈N),① {a}为等差数列，由于a1=1,2=2,则数列{a}的公差为d= 所以an+1十an+2=2(n+1),② a1一ai=7,所以aio=a1十9d=1十9×7=64，因此，a1o=4.] ②-①得an+2一an=2(n∈N), 6.0[设等差数列的公差为d,则d=a马-””=-1，从而a+ 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. m-nm-n (2)因为a1-a,a,十a+1=2n(n∈N"), =am十(m十n-m)d=n十n·(-1)=0.] 所以a1十a2=2×1,即a2=2-a. 元EN)）[由题设可得号片十1=0. 因为a1,a,a5,…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2a1a6,…是以2-a为首项，2为公差的等差数列， 即出-=1, n十1n 所以当n为锅数时a,=2-a+(受一-1）X2=na, 所以载列{侣}是以1为首项1为公差的等差数列， 当n为奇教时，=a十(（生-1）X2=叶a-1. 故通项公式为=，所以an=n(n∈N”).] 所以a,三 n十a-1,n为奇数， (n-a,n为偶数. 165