（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以核心考点为纲，通过"考点汇总+分层训练"构建系统性方法体系，融合推理能力、运算能力与数据意识，实现知识逻辑与解题技巧的统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|4题（含探究证明）|平行线性质判定、尺规作图|从基础推理到三角尺综合应用| |实数|4题（含无理数分析）|开方运算、整数小数部分分离|数系扩展到实际应用| |平面直角坐标系|4题（含平移变换）|坐标特征、图形变换|数形结合从点到图形| |二元一次方程组|4题（含镜像方程）|消元法、新定义应用|从解法到实际问题建模| |不等式与不等式组|4题（含伴随方程）|解集确定、实际应用|从解法到方案设计| |数据描述|4题（含图表分析）|频数计算、图表解读|数据收集到统计推断|

（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 考点汇总 考点一：相交线与平行线 考点二：实数 考点三：平面直角坐标系 考点四：二元一次方程组 考点五：不等式与不等式组 考点六：数据的收集、整理与描述 跟踪训练 考点一：相交线与平行线 1．已知：如图， CBA， CDE都是射线，点F是∠ACE内一点， FD//AC，且∠1=∠C，试说明： ∠1=∠2. 2．如图，点A、B、D在同一直线上. （1）尺规作图：在射线BD的上方过点B作射线BP，使 ；（不写作法，但要保留作图痕迹) （2）在（1） 的条件下， 若 请求出. 的度数. 3．如图，CD∥EF，∠1=∠2.求证：∠3=∠ACB. 证明：∵CD∥EF， ∴∠2=　 　，　 　又∵∠1=∠2，（已知） ∴∠1=　 　，（等量代换） ∴GD∥CB　 　 ∴∠3=∠ACB　 　 4．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含30°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°， ∠GEF=30°)的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动. （1）【操作发现】如图 1，三角尺的60°角的顶点 G在CD上， ∠1=50°，则∠2度数为　 　°； （2）【探索证明】如图 2，小智把三角尺的两个锐角顶点 E，G分别放在AB和CD上， 试说明： （3）【结论应用】如图 3，小蕙把三角尺的直角顶点 F放在CD上， 角的顶点 E在AB上.若 请直接写出 与 的数量关系：　 　（用含α，β的式子表示). 考点二：实数 5．已知的算术平方根是3，的立方根是2． （1）求x，y的值； （2）求的平方根． 6．求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 7．先阅读下面的文字，然后解答问题.大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 由此我们还可以得到一个真命题： 如果其中x是整数，且0<y<1，那么 请解答下列问题： （1）如果 ，其中a 是整数，且0<b<1，那么a=　 　，b=　 　； （2）已知 其中m 是整数，且0<n<1，求|m-n|的值. 8．观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … （1）表格中______，______； （2）若，，则______（用含有的代数式表示）； （3）已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 考点三：平面直角坐标系 9．已知：P(4x，x-3)在平面直角坐标系中. （1）若点 P 在第三象限的角平分线上，则x的值为　 　； （2）若点 P 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值. 10．在平面直角坐标系中，有一点P（2a-3，3a+3）. （1）若点P在x轴上，求点P的坐标； （2）若点P在第二象限，且到两坐标轴的距离之和为7，求点P的坐标. 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，3)，B(3，0)，C(4，1)，将△ABC向下平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度得到 点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1. （1）请在图中画出 （2）点B1的坐标为　 　. 12．综合与实践 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，将线段AB沿AC方向平移，平移距离为线段AC的长度. （1）【动手操作】 画出AB平移后的线段CD，直接写出点B的对应点D的坐标； （2）【探究证明】 连接BD，试探究∠BAC与∠BDC的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】 若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB∶∠AEB的值，并写出证明过程. 考点四：二元一次方程组 13．解下列方程组： （1）； （2）． 14． 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武 BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率.拟购买 A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.若买 1台 A型机器人、3台 B型机器人，共需 260万元；若买 3台 A型机器人、2台 B型机器人，共需 360万元.求 A、B两种型号智能机器人的单价. 15．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由，得 ，即 ．③ ，得 ．④ ，得， 从而可得． 所以原方程组的解是 请你仿照上面的解法，解方程组： 16．给出定义：对于关于、的二元一次方程（其中 ），若将其的系数与常数互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． （1）写出的“镜像方程”　 　，以及它们组成的方程组的解为　 　； （2）若关于、的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的值． （3）若关于、的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于、的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 考点五：不等式与不等式组 17． 解不等式 (组) ： （1） （2） 18．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书? 19．某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过800元 不优惠 超过800元，但不超过1200元 按总售价打九折 超过1200元 其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折 （1）请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价． （2）若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？ （3）按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案． 20．若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”.例如：方程3x-6=0的解为x=2，不等式组 的解集为1<x<3，因为1<2<3，所以称方程3x-6=0为不等式组 的“伴随方程”. （1）在方程(①3x-3=0；②x-(3x+1)=-7； 中，不等式组 的“伴随方程”是　 　；(填序号) （2）若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是x+m=0，求常数m的值； （3）①解两个方程(用含m的式子表示)： 2(x+m) =x+5和3x-2m=4； ②是否存在整数m，使得这两个方程都是不等式组 的“伴随方程”?若存在，求出所有符合条件的m值；若不存在，说明理由. 考点六：数据的收集、整理与描述 21．李老师调查了班上50名学生上学路上所花的时间，他发现学生所花时间都少于50 min，然后将调查数据整理，作出如图所示的频数直方图的一部分(每组包括前一个端点值，不包括后一个端点值). （1）补全频数直方图； （2）该班学生在路上花费的时间在哪个范围内最多? （3）该班学生上学路上花费时间在30 min以上(含30 min)的人数占全班人数的百分比是多少? 22．去年3至8月份期间，三种品牌空调的销售情况如下列统计图所示，根据统计图，回答下列问题： （1）3至8月份期间，_______品牌空调销售量最多（填“A”“B”或“C”）；8月份C品牌空调销售量有_______台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是______度； （2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台？ 23．手机给学生带来方便的同时也带来了很大的影响．某校七年级在一次家长会上对若干家长进行了一次对“学生使用手机”现象看法的调查，将调查数据整理得如下统计图（A：绝对弊大于利，B：绝对利大于弊，C：相对弊大于利，D：相对利大于弊）： （1）这次调查的家长总人数为多少人？ （2）本次调查的家长中表示“C：相对弊大于利”所占的百分比是多少？并补全条形统计图． （3）求扇形统计图中表示“A：绝对弊大于利”的扇形的圆心角度数． 24．某校七年级计划开展“庆六一”趣味比赛，活动设置包棕子、缝沙包、做风筝和剪窗花四个项目，每名学生限选一项参与。为调查报名情况，现随机抽取了A，B两个班级，已知这两个班级人数相同，根据报名数据绘制了如下统计图． （1）求A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有多少人？ （2）本次参加比赛的七年级学生共有400人，根据统计信息，请估计七年级报名“做风筝”的人数． 答案解析部分 1．【答案】∵FD//AC(已知)， ∴∠2=∠C. ∵∠1=∠C， ∴∠1=∠2(等量代换). 2．【答案】（1）解：如图所示，射线BP即为所求； （2）解：∵BP∥AC， ∴∠DBP=∠A=43°， ∴∠ABP=180°-∠DBP=137°. 3．【答案】∠DCB；两直线平行，同位角相等；∠DCB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 4．【答案】（1）70 （2）解：如图，过点F作FP ∥ AB， （3） 5．【答案】（1）解：∵的算术平方根是3，的立方根是2， ∴， ∴. （2）解：由（1）得， ∴， ∴的平方根为． 6．【答案】（1）解： 所以x-1=， 所以x=。 （2）解： ， 64x3=1， 所以x3=， 所以x=。 7．【答案】（1）3； （2）解：∵，其中m是整数，且0<n<1， ∴m=5，， ∴ ∴|m-n|的值为 8．【答案】（1）0.1；10 （2） （3）①6.694； 0.3107 ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 9．【答案】（1）-1 （2）解：由题可知：4x+3-x=9， 解得：x=2. 此时点P的坐标为(8，-1)， ∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2 10．【答案】（1）解：点P的坐标为（-5，0） （2）解：点P的坐标为（-1，6） 11．【答案】（1）解：平移后的 如图； （2）(-2，-2) 12．【答案】（1）解：如解图，线段CD即为所作； . （2）∠BAC＝∠BDC. 证明如下：由平移，知AB∥CD，AC∥BD ∴， ∴∠BAC＝∠BDC. （3）的值为. 证明如下：∵AC∥BD， ∴∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE 又∵∠EAD＝∠CAD， ∴∠CAE＝2∠CAD ∴∠AEB＝2∠ADB， 即的值为. 13．【答案】（1）②﹣①得：5y＝5，解得：y＝1， 将y＝1代入①得：x﹣2＝1，解得：x＝3， 故原方程组的解为 （2）由①得：x﹣2y＝﹣1③， 由②得：2x+y＝13④， ③+④×2得：5x＝25，解得：x＝5， 将x＝5代入③得：5﹣2y＝﹣1，解得：y＝3， 故原方程组的解为 14．【答案】解：设A种型号智能机器人的单价为x万元， B种型号智能机器人的单价为y万元， 根据题意可得：， 解得：， 答：A型智能机器人的单价是80万元，B型智能机器人的单价是60万元． 15．【答案】解：由，得 ，即 ③ ，得 ④ 得， 从而可得． 所以原方程组的解是. 16．【答案】（1）； （2）解：由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得 方程组的解为， 解得 ． （3）解：， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程中，得． ． 17．【答案】（1）解：不等式去分母， 得2(2x-1) -3(5x+1) ≤6， 去括号， 得4x-2-15x-3≤6， 移项， 得 4x-15x≤6+2+3， 合并同类项， 得-11x≤11 系数化为1， 得x≥-1， （2）解：解不等式①，得x≤3， 解不等式②，得x>-2， 所以不等式组的解集为-2<x≤3. 18．【答案】（1）解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得 ， 解得：， 答：甲种书为每本元，乙种书为每本元． （2）解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得 ， 解得：， 为整数， 取， 答：该校最多可以购买本乙种书． 19．【答案】（1）解：设足球的单价为元，跳绳的单价为元， 根据题意可列方程组，解得 答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元. （2）解：（元） 答：优惠后实际仅需支付1240元. （3）解：设购买足球个，购买跳绳条，总花费为元， 根据题意可知，，， 因此可得，总花费超过了1200元，满足分段优惠的条件 根据优惠规则可列方程：， 解方程可得， 因此可得，即， 因此可得 解这个方程组，得到 最终得到 当时，， 当时，， 当时，， 因此，购买方案共有3个：购买足球12个，购买跳绳20条；购买足球13个，购买跳绳15条；购买足球14个，购买跳绳10条． 20．【答案】（1）② （2）不等式组 解集为 ∴不等式组的整数解是-1， ∵不等式组 的一个“伴随方程”x+m=0的解是整数， ∴-m=-1， 即m=1， 故常数m的值为：1； （3）①2(x+m) =x+5 2x+2m=x+5， x=5-2m； 3x-2m=4， 3x=2m+4， ②由于关于x的不等式组 的解集为1<x<5， 若这两个方程都是不等式组 的“伴随方程”， 则1<5-2m<5或 由1<5-2m<5解得0<m<2， 由 解得 ∴0<m<2， ∵m是整数， ∴m=1， ∴m=1时，使得这两个方程都是不等式组 的“伴随方程”. 21．【答案】（1）解：花费时间在30≤t<40范围内的频数为50-8-24-13-2=3， 补全频数直方图如下： ​​​​​​​ （2）解：花费时间在10 min≤t min<20 min范围内的人数最多. （3）解：上学路上花费时间在30 min以上(含30 min)的人数占全班人数的百分比是×100%=10%. 22．【答案】（1）B，275， （2）解：8月份，A品牌空调销售量为台，A品牌空调占， 所以，8月份空调的总的销售量为（台）． 其它品牌的空调有：（台）， 答：其他品牌的空调销售总量是台． 23．【答案】（1）解：这次调查的家长总人数为（人） （2）解：C选项的人数为（人），所以本次调查的家长中表示“C：相对弊大于利”所占的百分比为， 补全条形图如下： （3）解：扇形统计图中表示“A：绝对弊大于利”的扇形的圆心角度数为． 24．【答案】（1）解： ∴A，B两个班级报名“做风筝”的学生共有34人。 （2）解： ∴估计七年级报名“做风筝”的人数有136人。 学科网（北京）股份有限公司 $