2.3 有理数的乘方 讲义 -2026-2027学年人教版七年级上册数学

本讲义系统梳理有理数的乘方知识，从乘方的意义（定义、幂、底数、指数）切入，衔接乘方运算（符号确定、绝对值计算、不同形式区别），延伸至混合运算顺序，再拓展到科学记数法（表示形式、步骤）和近似数（准确数与近似数、精确度、取法），构建完整知识支架。 资料融合知识梳理与达标检测，设计注重数学思维与应用。通过算24点游戏、程序框图问题培养运算能力和推理意识，结合污染水量、存款等实际情境强化数学语言表达，课中辅助教师授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 有理数的乘方（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的乘方的意义 1、乘方：求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方。 幂：乘方的结果叫作幂。 底数：在an中，a 叫作底数。 指数：在 an中，n叫作指数.。 知识点二有理数的乘方运算 1、 2、有理数的乘方运算。 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 3、an，-an及（-a）n的区别与联系。 4、用计算器计算乘方。 不同类型的计算器操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按键，立方按键，其他次方按键和次数的数字键。 知识点三有理数的混合运算 1、有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 知识点四科学记数法 1、科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数），使用的是科学记数法，对于小于-10的数也可以类似表示。 2、科学记数法的表示步骤。 知识点五近似数 1、准确数：与实际完全符合的数，称为准确数。 2、近似数：接近准确数但不等于准确数的数。 3、近似数的精确度。 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度。 近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表示：如精确到个位或百分位等。 （2）用小数点表示：如精确到0.1或0.01等。 4、确定近似数的精确度的方法。 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位。 5、取近似数的方法。 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法。 （1）四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法，求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入，例如，2.55精确到十分位为2.6。 （2）去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法，例如，把一根20cm长的钢筋截成6cm长的小段作零件，由20÷6=3.33......，可知能截得的零件数为3。 （3）进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法，例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于112÷45=2.488......，此时应取近似数3，即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需。 一、选择题 1．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 3．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 4．《年四川省科技经费投入统计公报》显示，年宜宾市（研究与试验发展）经费投入达元，同比增长亿元，增速，是全省平均增速的倍．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 6．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 8．若，则的值为_______． 9．若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则_____． 10．运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 11．假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 12．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 三、解答题 13．计算： （1）； （2）． 14．用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： （1）（精确到）； （2）（精确到个位）； （3）（精确到千分位）； （4）亿（精确到百万位）． 15．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 16．一粒纽扣电池能够污染60升水，某市每年报废的纽扣电池约有10000000粒．若废旧的纽扣电池不回收，那么该市一年报废的纽扣电池将污染多少升水（用科学记数法表示）？ 17．中国居民存款破纪录，在人均住户存款指标中，北京的人均住户存款高居榜首，山西跻身前名．某银行月日号柜台上午存取款（存款为正，取款为负）情况如下： 存款笔数 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 金额/万元 （1）若当天早上上班时号柜台的初始钱款数额为万元，求中午下班结账时号柜台的钱款数额． （2）若号柜台的验钞机验钞速度为每小时张，则该验钞机验钞小时，可验钞多少张（用科学记数法表示）？ 18．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 有理数的乘方（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的乘方的意义 1、乘方：求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方。 幂：乘方的结果叫作幂。 底数：在an中，a 叫作底数。 指数：在 an中，n叫作指数.。 知识点二有理数的乘方运算 1、 2、有理数的乘方运算。 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 3、an，-an及（-a）n的区别与联系。 4、用计算器计算乘方。 不同类型的计算器操作方法可能有所不同，使用教材中所示类型的计算器时，平方按键，立方按键，其他次方按键和次数的数字键。 知识点三有理数的混合运算 1、有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 知识点四科学记数法 1、科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数），使用的是科学记数法，对于小于-10的数也可以类似表示。 2、科学记数法的表示步骤。 知识点五近似数 1、准确数：与实际完全符合的数，称为准确数。 2、近似数：接近准确数但不等于准确数的数。 3、近似数的精确度。 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度。 近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表示：如精确到个位或百分位等。 （2）用小数点表示：如精确到0.1或0.01等。 4、确定近似数的精确度的方法。 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位。 5、取近似数的方法。 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法。 （1）四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法，求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入，例如，2.55精确到十分位为2.6。 （2）去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法，例如，把一根20cm长的钢筋截成6cm长的小段作零件，由20÷6=3.33......，可知能截得的零件数为3。 （3）进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法，例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于112÷45=2.488......，此时应取近似数3，即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需。 一、选择题 1．对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 【详解】解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 2．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 3．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 4．《年四川省科技经费投入统计公报》显示，年宜宾市（研究与试验发展）经费投入达元，同比增长亿元，增速，是全省平均增速的倍．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原数是位整数，确定时需满足，可得，再确定． 【详解】 解：． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序计算，第一次输出的结果为，第二次输出的结果为……这样下去第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据程序框图计算出前个数，从而得出这列数除前个数外，每个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：当时，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为，…… 由上可知，从第五次开始，输出结果三次一循环，分别为：， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：D． 6．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 二、填空题 7．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 8．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 9．若a与b互为相反数，c与d互为倒数，则_____． 【答案】1 【分析】根据相反数及倒数的定义得到，进而代入计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数， ∴， ∴． 10．运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则相应的算式为________，计算器显示的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了计算器-基础知识，熟练了解按键的含义是解题的关键． 根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式：， 计算器显示的结果是：. 故答案为：，. 11．假设、两颗行星的距离约为千米，用科学记数法表示的结果是________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，要看把原数变成时小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于时，为正整数，据此即可求解． 【详解】解：将用科学记数法表示为：， 故答案为：． 12．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 三、解答题 13．计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解： （2）解： 14．用四舍五入法按括号里的要求对下列各数取近似值： （1）（精确到）； （2）（精确到个位）； （3）（精确到千分位）； （4）亿（精确到百万位）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查了近似数与有效数字，解题的关键是明确四舍五入的规则，找准精确位的下一位数字进行判断． （1）精确到，看万分位数字，四舍五入； （2）精确到个位，看十分位数字，四舍五入； （3）精确到千分位，看万分位数字，四舍五入； （4）先将“亿”化为具体数，找到百万位，看十万位数字，四舍五入后用科学记数法表示． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到千分位）． （4）13.052亿. 15．有一块面积为2米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米2？ 【答案】米2． 【分析】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方．根据第1次截去一半，剩下的面积米2，第2次截去一半，剩下的面积米2，依此类推，即可得到6次后剩下的纸片的面积． 【详解】解：第1次截去一半，剩下的面积米2， 第2次截去一半，剩下的面积米2， 第6次截去一半，剩下的面积（米2）． 所以第6次后剩下的纸片的面积是米2． 16．一粒纽扣电池能够污染60升水，某市每年报废的纽扣电池约有10000000粒．若废旧的纽扣电池不回收，那么该市一年报废的纽扣电池将污染多少升水（用科学记数法表示）？ 【答案】升 【分析】本题主要考查了科学记数法的应用，求出乘以的结果，再把结果用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：升， 答：该市一年报废的纽扣电池将污染升水． 17．中国居民存款破纪录，在人均住户存款指标中，北京的人均住户存款高居榜首，山西跻身前名．某银行月日号柜台上午存取款（存款为正，取款为负）情况如下： 存款笔数 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 第笔 金额/万元 （1）若当天早上上班时号柜台的初始钱款数额为万元，求中午下班结账时号柜台的钱款数额． （2）若号柜台的验钞机验钞速度为每小时张，则该验钞机验钞小时，可验钞多少张（用科学记数法表示）？ 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，正确理解题意，列出算式是解题关键． （1）把存取款金额依次相加列式，然后计算即可． （2）用每小时验钞张数乘时间，计算后再用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（万元）． 答：中午下班结账时号柜台的钱款数额为万元． （2）解：（张）． 答：该验钞机验钞小时，可验钞张． 18．综合与实践 【实践主题】估计某款空心卷筒缎带展开的总长度． 【实践背景】欢欢与乐乐在用某款缎带包扎礼品时，计划在不把缎带全部展开的情况下，分别用不同的方法估计已使用过的两卷不同的空心卷筒缎带还有多长？ 【方法一：称重法】 欢欢用电子秤称出整卷缎带（含中心纸筒，如图1）的总质量，并称出同款已用完全部缎带后的中心纸筒的质量． （1）已知缎带净重总质量中心纸筒的质量，则这卷缎带的净重m是________g； （2）剪下一段长度为的缎带，称出其质量．假设这卷缎带质地均匀，则欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是多少米？ 【方法二：等体积法】 一卷空心卷筒缎带未展开时可近似为“空心圆柱”状，底面可看作圆环，如图2，乐乐测得外直径为，内直径为（不包括中心纸筒）．然后展开一小段缎带，展开后缎带可近似为“薄长方体”状（如图3）．由于一层缎带太薄，无法精确测量，为了减小测量误差，乐乐将展开的这一小段缎带平整折叠成20层，经过多次测量取平均值后，得到20层缎带的总厚度为． （3）为了估计这卷缎带长度，可先求出每层缎带的厚度d为________； （4）若这卷缎带厚度均匀，则乐乐的这卷缎带的总长度大约是多少米？（π的值取3） 【答案】（1）36；（2）欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米；（3）；（4）乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是： （1）根据缎带净重总质量中心纸筒的质量求解即可； （2）利用缎带净重÷缎带的质量即可求解； （3）利用20层的厚度÷层数（20）即可； （4）根据缎带总长=卷筒缎带底面环形面积÷缎带厚度求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：36； （2）（米） 答：欢欢的这卷缎带在剪下1米之前的总长度大约是20米． （3）， 故答案为：0.015； （4）这卷缎带的总长度大约 答：乐乐的这卷缎带的总长度大约是14米 学科网（北京）股份有限公司 $