第06讲 有理数的乘方 暑假预习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第06讲 有理数的乘方 目录 知识点1 有理数乘方的基本概念 2 知识点2 有理数乘方运算规则 3 知识点3 乘方运算的符号规律（核心必考） 3 知识点4 乘方逆运算 3 知识点5 含乘方的有理数混合运算顺序 3 知识点6 科学记数法（绝对值大于1的数） 3 知识点7 近似数与精确度 4 题型1 有理数幂的概念 4 题型2 有理数的乘方运算 5 题型3 有理数乘方逆运算 8 题型4 乘方运算的符号规律 9 题型5 乘方的应用 11 题型6 程序流程图与有理数计算 13 题型7 算“24”点 15 题型8 含乘方的有理数混合运算 18 题型9 计算器——有理数 22 题型10 用科学记数法表示绝对值大于1的数 24 题型11 将用科学记数法表示的数变回原数 26 题型12 求一个数的近似值 27 题型13 求近似数的精确度 28 题型14 近似数推断取值范围 30 1. 知识目标：精准掌握有理数乘方、底数、指数、幂的核心定义，区分乘方与乘法的异同；熟记乘方符号规律，理解乘方逆运算原理；掌握科学记数法、近似数、精确度的定义及相关规则，了解计算器计算有理数的基础操作。 2. 能力目标：能熟练进行各类有理数乘方运算、含乘方的四则混合运算；掌握乘方逆运算、24点计算、程序流程图计算的解题方法；熟练完成科学记数法的互化、近似值求解、精确度判断及近似数取值范围推断。 3. 应用目标：能够运用乘方知识解决细胞分裂、增长率、折叠层数等实际问题；结合有理数运算规律，灵活解决趣味数学、程序运算类题型，提升数学应用能力。 4. 拓展目标：掌握乘方题型的易错点辨析，能精准区分易混淆乘方算式；熟练运用简便方法处理复杂乘方混合运算，建立严谨的数感和运算思维。 5. 素养目标：培养符号意识、规律探究思想、估算思想，养成规范运算、精准审题、严谨校验的解题习惯，提升有理数综合运算与实际应用素养。 知识点1 有理数乘方的基本概念 1. 定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 2. 表达式：（n为正整数），其中a叫做底数，n叫做指数；读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 3. 特殊规定：指数为1时，通常省略不写，如；一个数可以看作自身的一次方。 4. 核心区分（必考易错）：底数是-a，表示n个-a相乘；底数是a，表示a的n次方的相反数，二者意义和结果完全不同。 知识点2 有理数乘方运算规则 1. 本质转化：乘方是特殊的乘法运算，等价于n个a连续相乘，可转化为乘法计算结果。 2. 基础运算：正数、负数、0的乘方均可通过乘法展开计算；分数乘方为分子、分母分别乘方。 3. 特殊数乘方：0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 知识点3 乘方运算的符号规律（核心必考） 1. 正数的任何正整数次幂，结果恒为正数； 2. 负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数； 3. 0的正整数次幂均为0，无符号争议； 口诀：正恒正，负看奇偶，奇负偶正。 知识点4 乘方逆运算 1. 定义：已知幂和指数，求底数的运算，是乘方的逆向运算。 2. 核心规律：正数的偶次幂对应两个互为相反数的底数；正数的奇次幂对应唯一正数底数；负数的奇次幂对应唯一负数底数；0的任何次幂底数为0。 知识点5 含乘方的有理数混合运算顺序 1. 优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减； 2. 有括号先算括号内（先小括号、再中括号），逐层计算； 3. 同级运算从左到右依次进行，可灵活运用运算律简便计算。 知识点6 科学记数法（绝对值大于1的数） 1. 定义：把一个大于10的数表示成的形式（，n为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. n的取值规则：n等于原数的整数位数减1。 3. 还原规则：将还原为原数，只需把a的小数点向右移动n位，位数不足补0。 知识点7 近似数与精确度 1. 近似数：与准确数相近、通过四舍五入得到的数，用于简化数值表达。 2. 精确度：表示近似数的近似程度，常见表述：精确到个位、十分位、百分位，或精确到万位、亿位等。 3. 四舍五入规则：看精确位的下一位数字，大于等于5进1，小于5舍去。 4. 取值范围规律：近似数的真实值取值范围为“近似数-精确度单位的一半 ≤ 真实值 ＜ 近似数+精确度单位的一半”。 题型1 有理数幂的概念 解题技巧：核心精准区分底数、指数、幂三大要素。1. 识别要点：找准乘方表达式中重复相乘的因数为底数，因数个数为指数，最终结果为幂；2. 读法规范：严格区分“次方”与“次幂”，通用读法统一规范；3. 易错辨析：重点区分与、与的底数差异，括号决定底数范围，无括号仅单个数字为底数；4. 特殊处理：指数为1的幂，直接等同于原数，无运算变化。 【典例1】．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 【变式1】．（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 【变式2】．用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 【变式3】．为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 【详解】解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 题型2 有理数的乘方运算 解题技巧：遵循“先判符号，再算数值，规范展开”三步法。1. 符号预判：依据正负底数和指数奇偶性，提前确定结果符号；2. 数值计算：将乘方转化为多个相同因数连乘，分数、小数优先化最简分数再计算；3. 特殊速算：牢记1、-1、0的乘方规律，直接秒算结果；4. 避坑要点：负数、分数乘方必须检查括号，杜绝漏括号导致的底数判定错误。 【典例2】．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】．_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ； （5）解：； （6）解：； 题型3 有理数乘方逆运算 解题技巧：抓幂、指数、底数三者对应关系，分类讨论求解。1. 已知幂和指数求底数：奇次幂唯一解，偶次幂双解（互为相反数）；2. 已知幂和底数求指数：结合乘法凑数，匹配相同因数个数；3. 参数题型：利用逆运算唯一性、双解性，分类列举所有可能结果；4. 核心原则：正数偶次幂必有正负两个底数，负数只能是奇次幂运算结果，0的幂底数唯一为0。 【典例3】．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用同指数幂的除法法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】．若，则______． 【答案】 【分析】先根据已知乘方等式求出的值，再将代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得． 【变式2】．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 题型4 乘方运算的符号规律 解题技巧：熟记万能符号口诀，无需计算数值直接判正负。1. 快速判定：正数任意次幂必正；负数奇次幂负、偶次幂正；0的正整数次幂为0；2. 复杂算式：多个乘方加减乘除组合，先逐个判定每个乘方项符号，再整体判断式子正负；3. 规律应用：选择题可直接用符号规律排除错误选项，无需完整计算；4. 拓展技巧：多个负数乘方相乘，结合负因数个数规律，叠加判定整体符号。 【典例4】．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【变式1】．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 【变式2】．______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】．______ 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法法则和符号处理是解题关键．运用同底数幂的乘法法则以及“奇负偶正”的符号处理方法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型5 乘方的应用 解题技巧：找准翻倍、裂变、衰减模型，套用乘方公式求解。1. 常见场景：纸张折叠层数、细胞分裂、细菌繁殖、复利增长、水位/数值衰减问题；2. 建模步骤：确定初始基数、变化次数（对应指数）、单次变化倍数；3. 通用公式：最终数量=初始数量×变化倍数；4. 解题关键：区分乘法累加与乘方翻倍，重复等量翻倍变化优先用乘方简化计算，结果结合实际场景作答。 【典例5】．所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 半衰期是放射性物质质量缩减为原来一半所用的时间，初始质量为， ∴ 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为， 经过个半衰期后，剩余质量为. 【变式1】．某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导得到个细菌经过分钟后的分裂数量，再乘以初始细菌个数即可得到结果． 【详解】解：∵个细菌每分钟由个分裂成个， ∴个细菌经过分钟分裂为个，经过分钟分裂为个， 依此类推，可得个细菌经过分钟分裂为个， 本题中，初始细菌个数为， ∴最终总个数为． 【变式2】．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 【变式3】．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1)19 (2)①；②说明见解析 【分析】本题考查了三进制数与十进制数的转换及对整除性质的理解． （1）根据三进制数转换为十进制数的规则，将三进制数的每一位数字乘以3的相应次幂，然后将结果相加； （2）同样根据转换规则将四位三进制数转换为十进制数，再分析其数字之和与该数能否被2整除的关系． 【详解】（1）解：由题意知， ， 故答案为：19． （2）解：①， 故答案为：； ②∵ ， 又∵能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除，即四位的三进制数能被2整除， ∴该结论正确． 题型6 程序流程图与有理数计算 解题技巧：逐框拆解、分步运算、循环迭代，杜绝跳步。1. 审题梳理：理清流程图逻辑，明确输入值、运算规则、判断条件、输出要求；2. 分步计算：每一步严格按照流程指令，依次完成乘方、乘除、加减运算；3. 循环题型：满足条件则重复运算，不满足则输出结果，逐次迭代记录数值变化；4. 校验要点：重点核对乘方运算、符号变化，避免流程跳转时遗漏运算步骤。 【典例6】．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 【变式1】．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 【变式2】．如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 【变式3】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 题型7 算“24”点 解题技巧：依托乘方拓展运算组合，固定核心思路凑数。1. 基础思路：优先凑3×8、4×6、2×12、24×1、48÷2等核心组合；2. 乘方拓展：巧用平方运算凑数，如、，结合加减补齐24；3. 负数技巧：利用负负得正，通过乘方消去负数符号，组合正数凑数；4. 解题原则：先观察数字特征，优先用乘方简化大数，再搭配四则运算，尝试多种组合验证。 【典例7】．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 【变式1】．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式2】．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 【变式3】．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 题型8 含乘方的有理数混合运算 解题技巧：严守优先级，分步化简，重点规避符号错误。1. 运算顺序：先算所有乘方，再统一算乘除，最后算加减，括号优先；2. 分步运算：每一步单独定符号、算数值，不跨级混合计算；3. 简便优化：乘除部分可运用运算律凑整、约分，简化计算；4. 高频避坑：重点核对的运算结果，区分相反数与负数乘方，杜绝符号低级错误；5. 收尾核验：检查乘方计算、括号取舍、运算顺序三大易错点。 【典例8】．计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 【变式2】．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 【变式3】．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 【答案】(1)1， (2)D (3)12 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，，且，则，故正确； D．，或1，故错误；故选D； （3） 题型9 计算器——有理数 解题技巧：规范按键顺序，精准区分功能按键。1. 基础操作：有理数加减乘除直接依次输入数字、符号、运算符；2. 乘方操作：使用乘方专用按键，负数乘方需先加括号再输入指数，避免按键错误；3. 易错要点：区分负号按键和减号按键，二者不可混用；分数、小数运算优先统一格式再输入；4. 结果校验：计算器结果需结合手动估算验证，避免按键失误导致结果偏差。 【典例9】．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 【答案】B 【分析】本题考查科学计算器的使用，掌握好相关知识是关键． 根据科学计算器的操作方法，逐个判断即可． 【详解】解：对于选项A：对应的运算公式为，故A正确； 对于选项B：对应的运算公式为，故B错误； 对于选项C：对应的运算公式为，故C正确； 对于选项D：对应的运算公式为，故D正确． 故选：B． 【变式1】．用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查应用计算器，掌握计算器的各个按键的功能及使用计算器进行各种运算，能够正确输入顺序是解题关键．按照计算器输入顺序计算，即可得出答案． 【详解】 解：用计算器计算，按键的顺序为， 故选：B． 【变式2】．运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用计算器计算的知识点．根据计算器的按键代表的运算可得答案． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：． 【变式3】．使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 【答案】 【分析】此题考查了计算器的使用和有理数的四则混合运算，根据题意正确列式是关键．根据列式，再根据有理数的四则混合运算顺序计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 题型10 用科学记数法表示绝对值大于1的数 解题技巧：紧扣a的范围和n的取值两大核心。1. 固定格式：严格满足，a保留有效数字，不为整数、不为10及以上；2. n值确定：n=原数整数位数-1，快速口算取值；3. 大数简化：带单位的大数（万、亿）先转化为纯数字，再改写科学记数法；4. 规范要求：书写完整，不得遗漏部分，a的小数位数规范整洁。 【典例10】．2026年4月，国家能源局举行新闻发布会，其中提到可再生能源发电量接近四成，风光发电量在全社会用电量中占比接近四分之一．今年一季度，全国可再生能源发电量达8829亿千瓦时，约占全部发电量的37.1%，持续覆盖同期第三产业用电量和城乡居民生活用电量之和．请将“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数． 确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同． 当原数绝对值 时， 是正整数；当原数绝对值 时， 是负整数． 【详解】解： ． 【变式1】．2026年4月24日全新系列模型的预览版本正式上线并同步开源．拥有百万字超长上下文，在能力、世界知识和推理性能上均实现国内与开源领域的领先．模型按大小分为两个版本： 模型 参数 激活 预训练数据 上下文长度 开源 API 服务 网页端/访问方式 √ √ 专家模式 √ √ 快速模式 已知表中数据，则数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可解题． 【详解】解：首先根据科学记数法对的要求，可排除不符合要求的选项B和D， ∵是12位整数，可得，且将原数整理为的形式得， ∴． 【变式2】．海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为_________． 【答案】 【详解】解：300万， 科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，因此． 【变式3】．2026年5月19日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加．将数据12000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 题型11 将用科学记数法表示的数变回原数 解题技巧：小数点平移法，快速精准还原。1. 核心方法：还原原数，将a的小数点向右移动n位；2. 补位规则：小数点移动位数不足时，末尾补0补齐；3. 校验技巧：还原后核对整数位数，整数位数=n+1，可快速验证答案正误；4. 避坑要点：不可漏补0、错移小数点，杜绝多移、少移位数的问题。 【典例11】．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 【变式1】．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 【变式2】．是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【变式3】．我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 题型12 求一个数的近似值 解题技巧：四舍五入精准定位，按要求保留位数。1. 审题定位：明确题目要求的精确位数（个位、十分位、百分位或万位、亿位）；2. 取舍规则：找到精确位的下一位数字，≥5进1，＜5直接舍去后面所有数字；3. 特殊保留：保留小数末尾的0不可随意省略，0代表精确位数；4. 大数处理：大数先改写科学记数法或普通数字，再按要求取近似值。 【典例12】．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定百位数字，根据四舍五入取近似值，再用科学记数法表示，保证精确度符合要求． 【详解】由题意得，将数精确到百位为． 【变式1】．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【答案】A 【分析】将科学记数法或带“万”的近似数，还原为数后再判断最后一位所在数位得到精确度，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：对于A：，最后一位有效数字在百位，精确到百位，正确； 对于B：精确到十分位时，看百分位数字为，四舍五入得，错误； 对于C：万，最后一位有效数字在百位，万精确到百位，错误； 对于D：精确到个位，四舍五入的近似数为，错误． 【变式2】．年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力． 【答案】 3 0.1668 【分析】本题考查近似数的求解与数的改写，第一空利用四舍五入法省略万位后面的尾数求近似数，第二空根据亿与万的进率，将以万为单位的数改写成以亿为单位的数即可． 【详解】解：对于，千位上的数字为，，向万位进，因此万， 因为亿万， 因此万亿亿， 故答案为；． 【变式3】．某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，有效数字从左边第一个非数字起开始计数，按要求保留位数即可． 【详解】解：175亿． 题型13 求近似数的精确度 解题技巧：看最后一位有效数字的位置，判定精确度。1. 普通小数：最后一位数字所在数位，即为精确到的数位；2. 带单位数：先还原成原数，再看最后一位有效数字的真实数位；3. 科学记数法：还原原数后，判定a的最后一位数字对应的数位；4. 核心原则：精确度由近似数的最后一位有效数字决定，与前面数字无关。 【典例13】．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 【变式1】．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【答案】B 【分析】根据近似数精确度的定义，即最后一位有效数字所在的数位就是该近似数精确到的数位，即可求解． 【详解】解：∵近似数的精确度由最后一位有效数字所在的数位决定，2.30的最后一位有效数字是0，位于百分位， ∴近似数2.30精确到百分位． 【变式2】．近似数万精确到____________位． 【答案】百 【分析】先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再看最后一个有效数字所在的数位，即可得到精确位数． 【详解】解：万，近似数万的末位有效数字，对应原数26000中的百位，因此近似数万精确到百位． 【变式3】．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数．先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再根据近似数精确位数的判断规则，确定末位有效数字所在的数位即可． 【详解】解：．观察可知，数字9位于千位，因此该近似数精确到千位． 故答案为：千． 题型14 近似数推断取值范围 解题技巧：固定区间公式，精准锁定取值边界。1. 通用公式：若近似数为x，精确到某一单位m，则真实值取值范围：x-0.5m ≤ 真实值 ＜ x+0.5m；2. 边界规则：左边界可取等号，右边界不可取等号（四舍五入临界值归为更大近似数）；3. 单位适配：根据精确数位确定m的大小，精确到个位m=1，精确到十分位m=0.1，以此类推；4. 易错提醒：取值范围需对应原数精度，不可随意扩大或缩小区间。 【典例14】．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】近似数是通过四舍五入得到的：精确到哪一位时，若下一位大于或等于5，则进1，若下一位小于5，则舍去，据此即可解答． 【详解】解：根据取近似数的方法，则a的取值范围是：． 【变式1】．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四舍五入取近似数的规则，近似数精确到百分位，需根据千分位的四舍五入确定准确数的范围． 【详解】解：∵近似数是精确到百分位，对千分位数字四舍五入得到的， ∴当千分位满5进1得到时，准确数最小为，即． 当千分位舍去得到时，则． 综上，准确数a的范围是． 【变式2】．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 【变式3】．一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据近似数确定原数的取值范围，确定五入的最小值和四舍的最大值，从而得到这个三位小数的取值范围，进而可得到答案． 【详解】解：∵一个三位小数，“四舍五入”后约是， ∴这个三位小数要大于或等于，且要小于， ∴这个三位小数最大是， 故答案为：． 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 2．下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、有理数乘方的定义逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到结果. 【详解】解：①∵只有的相反数等于本身，∴①正确； ②∵绝对值等于本身的数是正数和，不只是正数，∴②错误； ③∵倒数等于本身的数是和即，∴③正确； ④∵，，其余数的平方都不等于本身，∴平方等于本身的数是和，④正确； ⑤∵，，∴平方为的数是，不只是，∴⑤错误； ⑥∵绝对值最小的有理数是，存在绝对值最小的有理数，∴⑥正确； 综上，正确的说法共个. 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 4．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 5．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 6．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 7．2026年 1月 26 日，广东省十四届人大五次会议在广州开幕，政府工作报告指出，2025 年广东货物进出口总额95000亿元，增长，贡献了全国的增量．将数据95000亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿． 8．某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 9．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：． 10．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 11．若，则________． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． 将27化为幂的形式，然后逆用有理数的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 因为， 所以或， 故答案为：或3． 12．我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 13．据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知的结果近似为3430000，数据3430000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【详解】解：. 14．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 【答案】 【分析】本题考查近似数的四舍五入法，解题思路为确定精确数位，观察下一位数字，根据四舍五入规则求解． 【详解】解：根据题意，精确到百分位，即保留小数点后两位，需要观察小数点后第三位，即千分位的数字．，千分位数字为，因为，根据四舍五入规则，向百分位进．因此得到的结果为． 15．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 17．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 18．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 19．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 20．进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 21．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 【答案】(1) (2)，；， (3)约万人 【分析】（1）由题中数据加减计算即可； （2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可； （3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）； （2）解：在9月30日的游客人数为万人， 10月1日比9月30日多万人，为（万人）； 10月2日比10月1日多万人，为（万人）； 10月3日比10月2日少万人，为（万人）； 10月4日比10月3日少万人，为（万人）； 10月5日比10月4日少万人，为（万人）； 10月6日比10月5日少万人，为（万人）； 10月7日比10月6日少万人，为（万人）； 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人； （3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）． 22．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 【答案】(1)①1，8，28，56，70，56，28，8，1；② (2)55 (3)754 【分析】（1）①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和，即可求得答案； ②分别求出每一行的数字之和，并找出规律即可； （2）找出每条斜线经过的数之和的规律，即可得到答案； （3）找出后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和这一规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1； ②观察发现 第0行的和为， 第1行的和为， 第2行的和为， 第3行的和为， 第4行的和为， 故可得第100行的数之和为； （2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1， 第2条斜线经过的数之和为1， 第3条斜线经过的数之和为， 第4条斜线经过的数之和为， 第5条斜线经过的数之和为， 第6条斜线经过的数之和为， 第7条斜线经过的数之和为， 发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和， 所以第8条斜线经过的数之和为， 第9条斜线经过的数之和为， 故第10条斜线经过的数之和为； （3）解：观察：长方形①的长与宽的和为， 长方形②的长与宽的和为， 长方形③的长与宽的和为， 长方形④的长与宽的和为， 发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和， 所以长方形⑤的长与宽的和为， 长方形⑥的长与宽的和为， 长方形⑦的长与宽的和为， 长方形⑧的长与宽的和为， 长方形⑨的长与宽的和为， 长方形⑩的长与宽的和为， 长方形⑪的长与宽的和为， 故长方形⑪的周长为． 23．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方 目录 知识点1 有理数乘方的基本概念 2 知识点2 有理数乘方运算规则 3 知识点3 乘方运算的符号规律（核心必考） 3 知识点4 乘方逆运算 3 知识点5 含乘方的有理数混合运算顺序 3 知识点6 科学记数法（绝对值大于1的数） 3 知识点7 近似数与精确度 4 题型1 有理数幂的概念 4 题型2 有理数的乘方运算 5 题型3 有理数乘方逆运算 8 题型4 乘方运算的符号规律 9 题型5 乘方的应用 11 题型6 程序流程图与有理数计算 13 题型7 算“24”点 15 题型8 含乘方的有理数混合运算 18 题型9 计算器——有理数 22 题型10 用科学记数法表示绝对值大于1的数 24 题型11 将用科学记数法表示的数变回原数 26 题型12 求一个数的近似值 27 题型13 求近似数的精确度 28 题型14 近似数推断取值范围 30 1. 知识目标：精准掌握有理数乘方、底数、指数、幂的核心定义，区分乘方与乘法的异同；熟记乘方符号规律，理解乘方逆运算原理；掌握科学记数法、近似数、精确度的定义及相关规则，了解计算器计算有理数的基础操作。 2. 能力目标：能熟练进行各类有理数乘方运算、含乘方的四则混合运算；掌握乘方逆运算、24点计算、程序流程图计算的解题方法；熟练完成科学记数法的互化、近似值求解、精确度判断及近似数取值范围推断。 3. 应用目标：能够运用乘方知识解决细胞分裂、增长率、折叠层数等实际问题；结合有理数运算规律，灵活解决趣味数学、程序运算类题型，提升数学应用能力。 4. 拓展目标：掌握乘方题型的易错点辨析，能精准区分易混淆乘方算式；熟练运用简便方法处理复杂乘方混合运算，建立严谨的数感和运算思维。 5. 素养目标：培养符号意识、规律探究思想、估算思想，养成规范运算、精准审题、严谨校验的解题习惯，提升有理数综合运算与实际应用素养。 知识点1 有理数乘方的基本概念 1. 定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 2. 表达式：（n为正整数），其中a叫做底数，n叫做指数；读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 3. 特殊规定：指数为1时，通常省略不写，如；一个数可以看作自身的一次方。 4. 核心区分（必考易错）：底数是-a，表示n个-a相乘；底数是a，表示a的n次方的相反数，二者意义和结果完全不同。 知识点2 有理数乘方运算规则 1. 本质转化：乘方是特殊的乘法运算，等价于n个a连续相乘，可转化为乘法计算结果。 2. 基础运算：正数、负数、0的乘方均可通过乘法展开计算；分数乘方为分子、分母分别乘方。 3. 特殊数乘方：0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂都是1；-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是1。 知识点3 乘方运算的符号规律（核心必考） 1. 正数的任何正整数次幂，结果恒为正数； 2. 负数的奇次幂为负数，偶次幂为正数； 3. 0的正整数次幂均为0，无符号争议； 口诀：正恒正，负看奇偶，奇负偶正。 知识点4 乘方逆运算 1. 定义：已知幂和指数，求底数的运算，是乘方的逆向运算。 2. 核心规律：正数的偶次幂对应两个互为相反数的底数；正数的奇次幂对应唯一正数底数；负数的奇次幂对应唯一负数底数；0的任何次幂底数为0。 知识点5 含乘方的有理数混合运算顺序 1. 优先级从高到低：乘方 → 乘除 → 加减； 2. 有括号先算括号内（先小括号、再中括号），逐层计算； 3. 同级运算从左到右依次进行，可灵活运用运算律简便计算。 知识点6 科学记数法（绝对值大于1的数） 1. 定义：把一个大于10的数表示成的形式（，n为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 2. n的取值规则：n等于原数的整数位数减1。 3. 还原规则：将还原为原数，只需把a的小数点向右移动n位，位数不足补0。 知识点7 近似数与精确度 1. 近似数：与准确数相近、通过四舍五入得到的数，用于简化数值表达。 2. 精确度：表示近似数的近似程度，常见表述：精确到个位、十分位、百分位，或精确到万位、亿位等。 3. 四舍五入规则：看精确位的下一位数字，大于等于5进1，小于5舍去。 4. 取值范围规律：近似数的真实值取值范围为“近似数-精确度单位的一半 ≤ 真实值 ＜ 近似数+精确度单位的一半”。 题型1 有理数幂的概念 解题技巧：核心精准区分底数、指数、幂三大要素。1. 识别要点：找准乘方表达式中重复相乘的因数为底数，因数个数为指数，最终结果为幂；2. 读法规范：严格区分“次方”与“次幂”，通用读法统一规范；3. 易错辨析：重点区分与、与的底数差异，括号决定底数范围，无括号仅单个数字为底数；4. 特殊处理：指数为1的幂，直接等同于原数，无运算变化。 【典例1】．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【变式1】．（） A． B． C． D． 【变式2】．用分数表示：_______． 【变式3】．为了简便，可以将记为_____． 题型2 有理数的乘方运算 解题技巧：遵循“先判符号，再算数值，规范展开”三步法。1. 符号预判：依据正负底数和指数奇偶性，提前确定结果符号；2. 数值计算：将乘方转化为多个相同因数连乘，分数、小数优先化最简分数再计算；3. 特殊速算：牢记1、-1、0的乘方规律，直接秒算结果；4. 避坑要点：负数、分数乘方必须检查括号，杜绝漏括号导致的底数判定错误。 【典例2】．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】．_______． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型3 有理数乘方逆运算 解题技巧：抓幂、指数、底数三者对应关系，分类讨论求解。1. 已知幂和指数求底数：奇次幂唯一解，偶次幂双解（互为相反数）；2. 已知幂和底数求指数：结合乘法凑数，匹配相同因数个数；3. 参数题型：利用逆运算唯一性、双解性，分类列举所有可能结果；4. 核心原则：正数偶次幂必有正负两个底数，负数只能是奇次幂运算结果，0的幂底数唯一为0。 【典例3】．已知为正整数，化简：（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若，则______． 【变式2】．若，则________． 【变式3】．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 题型4 乘方运算的符号规律 解题技巧：熟记万能符号口诀，无需计算数值直接判正负。1. 快速判定：正数任意次幂必正；负数奇次幂负、偶次幂正；0的正整数次幂为0；2. 复杂算式：多个乘方加减乘除组合，先逐个判定每个乘方项符号，再整体判断式子正负；3. 规律应用：选择题可直接用符号规律排除错误选项，无需完整计算；4. 拓展技巧：多个负数乘方相乘，结合负因数个数规律，叠加判定整体符号。 【典例4】．下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】．______． 【变式3】．______ 题型5 乘方的应用 解题技巧：找准翻倍、裂变、衰减模型，套用乘方公式求解。1. 常见场景：纸张折叠层数、细胞分裂、细菌繁殖、复利增长、水位/数值衰减问题；2. 建模步骤：确定初始基数、变化次数（对应指数）、单次变化倍数；3. 通用公式：最终数量=初始数量×变化倍数；4. 解题关键：区分乘法累加与乘方翻倍，重复等量翻倍变化优先用乘方简化计算，结果结合实际场景作答。 【典例5】．所有的放射性物质都有自己的半衰期，放射性物质的半衰期是其质量缩减为原来一半所用的时间，是一个不变的量．2025年河南核医疗产业发展迅速，某医用放射性物质的初始质量为mg，经历3个半衰期后，剩余质量为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某种细菌每分钟由个分裂成个，那么个这样的细菌经过分钟可以分裂成（  ） A． B． C． D． 【变式2】．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【变式3】．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1212记为，由，可得是十进制数50． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，现有结论“如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除．”请以四位的三进制数为例： ①将转化为十进制，结果是________． ②请以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 题型6 程序流程图与有理数计算 解题技巧：逐框拆解、分步运算、循环迭代，杜绝跳步。1. 审题梳理：理清流程图逻辑，明确输入值、运算规则、判断条件、输出要求；2. 分步计算：每一步严格按照流程指令，依次完成乘方、乘除、加减运算；3. 循环题型：满足条件则重复运算，不满足则输出结果，逐次迭代记录数值变化；4. 校验要点：重点核对乘方运算、符号变化，避免流程跳转时遗漏运算步骤。 【典例6】．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【变式1】．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【变式2】．如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【变式3】．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 题型7 算“24”点 解题技巧：依托乘方拓展运算组合，固定核心思路凑数。1. 基础思路：优先凑3×8、4×6、2×12、24×1、48÷2等核心组合；2. 乘方拓展：巧用平方运算凑数，如、，结合加减补齐24；3. 负数技巧：利用负负得正，通过乘方消去负数符号，组合正数凑数；4. 解题原则：先观察数字特征，优先用乘方简化大数，再搭配四则运算，尝试多种组合验证。 【典例7】．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式2】．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【变式3】．“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 题型8 含乘方的有理数混合运算 解题技巧：严守优先级，分步化简，重点规避符号错误。1. 运算顺序：先算所有乘方，再统一算乘除，最后算加减，括号优先；2. 分步运算：每一步单独定符号、算数值，不跨级混合计算；3. 简便优化：乘除部分可运用运算律凑整、约分，简化计算；4. 高频避坑：重点核对的运算结果，区分相反数与负数乘方，杜绝符号低级错误；5. 收尾核验：检查乘方计算、括号取舍、运算顺序三大易错点。 【典例8】．计算： (1)； (2) 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2】．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（ ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C． D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： 题型9 计算器——有理数 解题技巧：规范按键顺序，精准区分功能按键。1. 基础操作：有理数加减乘除直接依次输入数字、符号、运算符；2. 乘方操作：使用乘方专用按键，负数乘方需先加括号再输入指数，避免按键错误；3. 易错要点：区分负号按键和减号按键，二者不可混用；分数、小数运算优先统一格式再输入；4. 结果校验：计算器结果需结合手动估算验证，避免按键失误导致结果偏差。 【典例9】．用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是（  ）． A．按键顺序为显示结果为 B．按键顺序为显示结果为 C．按键顺序为显示结果为 D．按键顺序为显示结果为 【变式1】．用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．运用科学计算器进行计算，按键顺序为，则计算器显示的结果是_____． 【变式3】．使用计算器计算：，其按键顺序如表第一行，计算结果是，那么根据第二行的按键顺序得到的计算结果是_______． 行 按键顺序 第一行 第二行 题型10 用科学记数法表示绝对值大于1的数 解题技巧：紧扣a的范围和n的取值两大核心。1. 固定格式：严格满足，a保留有效数字，不为整数、不为10及以上；2. n值确定：n=原数整数位数-1，快速口算取值；3. 大数简化：带单位的大数（万、亿）先转化为纯数字，再改写科学记数法；4. 规范要求：书写完整，不得遗漏部分，a的小数位数规范整洁。 【典例10】．2026年4月，国家能源局举行新闻发布会，其中提到可再生能源发电量接近四成，风光发电量在全社会用电量中占比接近四分之一．今年一季度，全国可再生能源发电量达8829亿千瓦时，约占全部发电量的37.1%，持续覆盖同期第三产业用电量和城乡居民生活用电量之和．请将“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．2026年4月24日全新系列模型的预览版本正式上线并同步开源．拥有百万字超长上下文，在能力、世界知识和推理性能上均实现国内与开源领域的领先．模型按大小分为两个版本： 模型 参数 激活 预训练数据 上下文长度 开源 API 服务 网页端/访问方式 √ √ 专家模式 √ √ 快速模式 已知表中数据，则数据用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．海水淡化，利国利民．2026年6月，我国自然资源部发布，我国海水淡化日产能突破300万吨．把300万用科学记数法表示为_________． 【变式3】．2026年5月19日，哈尔滨市举行万人徒步活动，约有12000人参加．将数据12000用科学记数法表示为____________． 题型11 将用科学记数法表示的数变回原数 解题技巧：小数点平移法，快速精准还原。1. 核心方法：还原原数，将a的小数点向右移动n位；2. 补位规则：小数点移动位数不足时，末尾补0补齐；3. 校验技巧：还原后核对整数位数，整数位数=n+1，可快速验证答案正误；4. 避坑要点：不可漏补0、错移小数点，杜绝多移、少移位数的问题。 【典例11】．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【变式1】．2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【变式3】．我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 题型12 求一个数的近似值 解题技巧：四舍五入精准定位，按要求保留位数。1. 审题定位：明确题目要求的精确位数（个位、十分位、百分位或万位、亿位）；2. 取舍规则：找到精确位的下一位数字，≥5进1，＜5直接舍去后面所有数字；3. 特殊保留：保留小数末尾的0不可随意省略，0代表精确位数；4. 大数处理：大数先改写科学记数法或普通数字，再按要求取近似值。 【典例12】．2020年11月10日，中国奋斗者号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度米，创造了中国载人深潜的新纪录．将数精确到百位，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列对使用四舍五入法得到近似数的描述正确的是（） A．近似数精确到百位 B．3.254精确到十分位是3.2 C．近似数6.32万精确到百分位 D．4.701的近似数是4 【变式2】．年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力． 【变式3】．某公司开发了一款先进的人工智能模型，其训练参数量达到175亿个，将该数值用科学记数法为_____个（保留两位有效数字） 题型13 求近似数的精确度 解题技巧：看最后一位有效数字的位置，判定精确度。1. 普通小数：最后一位数字所在数位，即为精确到的数位；2. 带单位数：先还原成原数，再看最后一位有效数字的真实数位；3. 科学记数法：还原原数后，判定a的最后一位数字对应的数位；4. 核心原则：精确度由近似数的最后一位有效数字决定，与前面数字无关。 【典例13】．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【变式1】．近似数2.30精确到（    ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 【变式2】．近似数万精确到____________位． 【变式3】．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 题型14 近似数推断取值范围 解题技巧：固定区间公式，精准锁定取值边界。1. 通用公式：若近似数为x，精确到某一单位m，则真实值取值范围：x-0.5m ≤ 真实值 ＜ x+0.5m；2. 边界规则：左边界可取等号，右边界不可取等号（四舍五入临界值归为更大近似数）；3. 单位适配：根据精确数位确定m的大小，精确到个位m=1，精确到十分位m=0.1，以此类推；4. 易错提醒：取值范围需对应原数精度，不可随意扩大或缩小区间。 【典例14】．数 a 四舍五入后的近似值为，则a 的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．近似数所表示的准确数a的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【变式3】．一个三位小数，“四舍五入”后约是，这个三位小数最大是___________． 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 2．下列说法：①相反数等于本身的数是0；②绝对值等于本身的是正数；③倒数等于本身的数是； ④平方等于本身的数是0和1；⑤平方为9的数是3；⑥有绝对值最小的有理数．正确的个数为（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 4．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 7．2026年 1月 26 日，广东省十四届人大五次会议在广州开幕，政府工作报告指出，2025 年广东货物进出口总额95000亿元，增长，贡献了全国的增量．将数据95000亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 8．某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 10．定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 11．若，则________． 12．我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 13．据媒体公布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，已知的结果近似为3430000，数据3430000用科学记数法表示为_________． 14．古希腊以来黄金分割就被视为最美丽的几何学比例，它的值约为……用四舍五入法精确到百分位为_________． 15．2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 18．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 19．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 20．进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 21．2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的人数为 万人； (2)七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； (3)请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 22．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一． 规定：若，则． (1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律： ①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开） ②第100行的数之和用幂可以表示为_____． (2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____． (3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）： 利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④． 按照这样的规律继续建构长方形，则长方形⑪的周长为______． 23．请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $