专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从乘方的概念理解（底数、指数、幂）切入，延伸至基本运算与符号规律，再到含乘方的混合运算，最后拓展到科学记数法和近似数，构建从基础到应用的递进式学习支架。 该资料设计18个题型，涵盖概念辨析、规律探究及实际应用，如程序流程图问题培养逻辑推理能力，算24点游戏提升应用意识。例题与变式题结合，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固，发展抽象能力和运算能力。

专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 有理数乘方的概念理解】 2 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 3 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 4 【题型4 乘方中的整除与进制问题】 7 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 9 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 11 【题型7 乘方中的新定义问题】 13 【题型8 含乘方的有理数四则混合运算】 15 【题型9 算“24”点游戏】 17 【题型10 程序流程图与有理数的混合计算】 20 【题型11 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 23 【题型12 将用科学记数法表示的数还原为原数】 24 【题型13 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 25 【题型14 求一个数的近似数】 27 【题型15 判断近似数的精确度】 28 【题型16 确定近似数的有效数字】 29 【题型17 由近似数推断准确数的取值范围】 31 【题型18 近似数与科学记数法的综合运用】 32 考点1 有理数的乘方 知识点1 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 【题型1 有理数乘方的概念理解】 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【答案】B 【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即表示个相乘，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵乘方中，是底数，是指数，表示个相乘， ∴对于，底数是2，指数是3，它表示3个2相乘，即， ∴选项A、C、D均错误，选项B正确． 故选：B． 【变式1-1】与算式的运算结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：，故A正确． 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的意义和乘方的意义． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方幂的概念理解，根据乘方的定义，底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：或． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算． 按照运算法则，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，原等式不成立，不符合题意； B．，原等式不成立，不符合题意； C．，，原等式不成立，不符合题意； D．，原等式成立，符合题意． 故选：D． 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 【例2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方逆运算，解题的关键是逆用积的乘方公式，根据积的乘方公式，将原式转化为进行计算． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式2-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若与互为相反数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数，非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．根据相反数的定义列式，再根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 【例3】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为36的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先比较x，y的大小，然后选择计算途径中的代数式，代入求值即可． 【详解】解：A选项中，，输出结果，不合题意； B选项中，，输出结果，不合题意； C选项中，，输出结果，符合题意； D选项中，，输出结果，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查代数式的程序型计算，准确理解程序的意义是解题的关键． 【变式3-1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和乘方运算，熟练掌握有理数大小比较的方法及乘方的计算规则是解题的关键． 先根据条件确定a、b的值，再比较a与b的大小，最后代入对应表达式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∵ ，， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】按如图所示的程序进行运算，若要使输出的结果为，则输入的x值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵输出结果为，则前一步计算为 即 ∵ 解得， 故选：D． 【点睛】此题考查了代数式求值，以及有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后按两个方框中的程序运算，若运算结果大于，可以输出结果；若运算结果不大于，则将得到的结果重新输入，进行运算，直到运算结果大于时输出运算结果．当输入数为时，最终输出的结果是__________．    【答案】320 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据流程图，输入值进行计算，直到满足程序流程图的输出，即可． 【详解】由题意得，当输入时，可得， 故继续输入，可得， 故继续输入，， 故继续输入，， ∴输出结果为． 故答案为：． 【题型4 乘方中的整除与进制问题】 【例4】（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数，比如，即，则__________． 【答案】44 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算，十进制整数及表示方法，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将三进制数转换为十进制数，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：44． 【变式4-1】能被下列哪个数整除？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出，即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 能被整除， 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式4-3】当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示： 个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 ······ 在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除． 【答案】10、11、13 【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除 【详解】根据表格中的规律，可得下表：        n个位数 10 11 12 13 个位数 1 1 1 1 个位数 4 8 6 2 个位数 9 7 1 3 个位数 6 4 6 4 个位数的和的个位数 0 0 4 0 由表格知道，当n=10、11、13时，的个位数字都是0，能够被5整除 故答案为：10、11、13 【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字之和判断是否能够被5整除. 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 【例5】（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【答案】5 【分析】本题是规律探索问题，考查了乘方的运算，发现规律是关键． 通过观察和的末位数字的循环规律，分别求出和的末位数字，然后相加得到和的末位数字． 【详解】的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为2，余2时末位为4， 余3时末位为8，余0时末位为6． 的末位数字循环周期为4：当指数除以4余1时末位为3，余2时末位为9， 余3时末位为7，余0时末位为1． 计算：余3，对应末位为8． 计算：余3，对应末位为7． 8+7=15，末位数字为5． 故答案为：5． 【变式5-1】观察下列规律：，，，，，…用你发现的规律写出个位数字为_________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了数字类的规律，解题的关键是找出数字的个位数字规律． 根据给出的结果，得出数字的循环规律，然后求解即可． 【详解】解：通过给出的3的乘方的结果的个位数字规律是循环的，循环部分为：3，9，7，1，循环周期为4， ∴， ∴的个位数字为9． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期中）观察算式：，，，，可以得出的末尾两位数字是_____． 【答案】07 【分析】本题考查了尾数特征．由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定的末尾两位数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， …… 发现：的末尾两位数字是49，的末尾两位数字是43，的末尾两位数字是01，的末尾两位数字是07，（、2、3、4、…）， ∵， ∴的末两位数字为07， 故答案为：07． 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 【例6】已知与互为相反数，求的值． 【答案】0 【分析】根据相反数的性质得到，再根据绝对值非负性得到，，代入求解即可； 【详解】因为与互为相反数，所以，所以，， 所以，， 因此． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性应用、相反数的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川成都·月考）若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 【变式6-2】若与互为相反数，求的值． 【答案】-8 【分析】先根据绝对值和平方数的非负性求出，代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴+=0 ∵≥0， ≥0 ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性，及有理数的乘方运算，利用绝对值和平方数的非负性求出值是解题的关键． 【变式6-3】若，则的值为_________． 【答案】8 【详解】解：∵ 且，， ∴， ∴， ∴ 故答案为8. 【题型7 乘方中的新定义问题】 【例7】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为__________． 【答案】1/ 【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意分两种情况分别计算讨论即可． 【详解】解：当且时，即且， ∴， ∴，或 解得：或； 当时，即， ∴， ∴， 解得：；（不符合题意）， 综上可得：或， 故答案为：1或． 【变式7-3】（24-25九年级下·山东济宁·期中）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则______． 【答案】81 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，循环体，解题的关键是通过计算前面几项，发现出循环体，利用规律进行求解． 【详解】解：由定义得：， ∴，， ，， ，， ，…… ∴每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：81． 考点2 含乘方的有理数的混合运算 知识点2 含乘方的有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型8 含乘方的有理数四则混合运算】 【例8】（2026·河北张家口·三模）计算的值，其中“★”表示一个有理数． (1)若“★”表示的数为，求的值； (2)若算式的值为，求“★”所表示的数． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设“★”所表示的数为，由题意得，，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“★”所表示的数为， 由题意得， ， ， ， ； 答：“★”所表示的数为6． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行计算． 【详解】解：， 故选：D． 【变式8-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过逐一计算每个选项的运算结果，发现选项C的计算错误，其他选项正确． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：C． 【变式8-3】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 【题型9 算“24”点游戏】 【例9】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式9-2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【变式9-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【题型10 程序流程图与有理数的混合计算】 【例10】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】先求得前几次输出的结果，发现规律为从第次开始，，，，每次个数循环， 进而根据规律求解即可． 【详解】解：当开始输入的值是时， 根据运算程序可知，第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 发现规律：从第次开始，，，，每次个数循环， ， 第次输出的结果与第次输出的结果一样，是． 【变式10-1】按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为_______． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确理解程序图列出算式进行计算是解题关键．根据程序图由，列出算式进行运算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：5． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条路线从左至右进行运算得到，由下面的一条路线从左至右进行运算得到．如输入，得到即． (1)类比的求值过程，求当，的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值． 【答案】(1)的值为 (2)输入的的值为，的值为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合运算，正确理解流程图是解题的关键； （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出的值，进而求出的值即可； 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴的值为； （2）解：由题可知，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴输入的的值为，的值为． 【变式10-3】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 考点3 科学记数法 知识点3 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【题型11 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例11】（2026·浙江嘉兴·一模）我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2024年2月，DeepSeek的全球下载量约为380000000次．将数380000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是掌握科学记数法的表示规则，即表示为的形式时，满足，为整数，的值由原数小数点移动位数确定． 【详解】解：科学记数法要求表示为，其中，为整数， ∵将转化为满足条件的，可得，原数的小数点向左移动了位， ∴，即． 【变式11-1】（2026·安徽蚌埠·一模）2025年上半年，国内生产总值亿元，同比增长，其中亿用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一． 【详解】解：． 【变式11-2】（24-25七年级上·江西上饶·期中）年两会这份数据，振奋人心！中国年超万亿元，同比增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据万亿元用科学记数法表示为_______． 【答案】元 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义即可解答． 【详解】解：数据万亿元用科学记数法表示为元， 故答案为：元． 【变式11-3】（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【详解】解：亿， ∴． 【题型12 将用科学记数法表示的数还原为原数】 【例12】（2026·安徽滁州·一模）2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数，换算为以亿为单位的数，利用亿的换算关系即可得到结果。 【详解】解：∵亿， 又 ， ∴元可表示为951亿元． 【变式12-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 【变式12-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法还原原数，掌握科学记数法中10的指数与小数点移动位数的关系是解题关键，将科学记数法表示的数还原，只需把a的小数点向右移动n位即可（n为10 的正指数）． 【详解】解：∵科学记数法（，n为正整数）还原原数时，需将a的小数点向右移动n位， ∴将中2.7648的小数点向右移动7位，得到27648000， 故选：C． 【变式12-3】（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 【题型13 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 【例13】我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，有理数乘法计算，正确掌握各计算法则是解题的关键，利用路程＝速度×时间得到答案． 【详解】解：运行秒走过的路程是米, 故答案为． 【变式13-1】（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市坚持“项目为王”，年实施重点项目“”工程，安排基础设施项目个、产业项目个、总投资达亿元．将亿元用科学记数法表示为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】先将亿元单位换算为元，再根据科学记数法的要求写出正确形式，科学记数法表示形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：亿元元， 亿元元， 调整满足，得． 【变式13-2】（2026·上海崇明·二模）在某次演习中，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为__________米/秒． 【答案】 【详解】解：导弹的平均速度：， ． 【变式13-3】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）据统计，某地区平均每人每天大约产生千克垃圾，垃圾处理厂把所有垃圾压缩做成棱长为米的立方体，每个这样的立方体约重千克． (1)若该地区共有万人口，则该地区一天将产生多少千克垃圾？可做成多少个这样的立方体（用科学记数法表示）？ (2)在（1）的条件下，该地区一天产生的垃圾被压缩后共有多少立方米（用科学记数法表示）？ 【答案】(1)该地区一天将产生千克垃圾，可做成个这样的立方体 (2)该地区一天产生的垃圾被压缩后共有立方米 【分析】本题考查有理数的乘法、除法、乘方运算，以及科学记数法，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可； （2）根据题意列式计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：千克， 个， 所以该地区一天将产生千克垃圾，可做成个这样的立方体； （2）解：立方米， 所以该地区一天产生的垃圾被压缩后共有立方米． 考点4 近似数 知识点4 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 【题型14 求一个数的近似数】 【例14】用四舍五入法，把精确到的近似数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到即对千分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法，把精确到的近似数是， 故选：C． 【变式14-1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）用四舍五入法把精确到千分位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握四舍五入法来求近似数． 找到小数的万分位，再根据四舍五入法精确到千分位即可． 【详解】解：精确到千分位得到的近似数是：， 故选：C． 【变式14-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【答案】1462 【分析】本题考查求一个数的近似数，精确到个位，需看十分位数字，十分位为5，向个位进1，据此作答即可． 【详解】解：． 故答案为：1462． 【变式14-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）2025年10月8日，苏超联赛四分之一决赛在盐城奥体中心体育场举行，本场比赛观众人数为34696人，用四舍五入法将数字34696精确到千位，所得的近似数为________． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，使用四舍五入法精确到千位，需看百位数字，百位为6大于5，故千位进1． 【详解】解：数字34696精确到千位，千位为4，百位为6，，因此向千位进1，，百位及以后各位变为0，故近似数为， 故答案为：． 【题型15 判断近似数的精确度】 【例15】（25-26八年级上·江苏·期末）近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，用四舍五入法取近似数，数据（精确到）______．近似数精确到______位． 【答案】 十 【分析】本题考查了近似数，数的精确度，掌握相关知识点是解题的关键． ①精确到即保留一位小数，需看百分位数字进行四舍五入；②近似数表示，需确定数字3所在的数位以判断精确度． 【详解】解：精确到时，百分位数字为4，小于5，故舍去， 因此； 近似数，数字3位于十位，故精确到十位． 故答案为：，十． 【变式15-1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列说法正确的是（   ） A．万精确到百分位 B．万精确到万位 C．精确到个位 D．近似数和的精确度一样 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数的精确度，熟练掌握判断近似数精确位数的方法是解题的关键．先将以“万”为单位的数还原，再根据末位数字所在的数位判断精确度，最后逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：∵万， ∴最后一个有效数字在百位， ∴万精确到百位，不是百分位，故A项错误； ∵万， ∴最后一个有效数字在十位， ∴万精确到十位，不是万位，故B项错误； ∵的末位数字在个位， ∴精确到个位，故C项正确； ∵的末位数字在千分位，的末位数字在百分位， ∴和的精确度不同，故D项错误， 故选：C． 【变式15-2】将一个数用四舍五入法取近似值所得的结果是，这个近似数的精确度是（   ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 【答案】D 【分析】本题考查近似数精确到哪一位，熟练掌握近似数的规则是关键．确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可． 【详解】解：由四舍五入得到的近似数，精确到了万分位． 故选：D． 【变式15-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【答案】③ 【分析】本题考查精确度，根据近似数的精确度概念，逐一判断每个说法的正确性即可． 【详解】解：①近似数万表示，数字在千位上，所以精确到千位，说法正确； ②近似数百万表示，精确到百万位；近似数万表示，精确到万位，所以精确度不同，说法正确； ③近似数精确到十分位，精确到百分位，精确度不同，说法错误； ④数精确到万位，万位是，千位是，四舍五入得，用科学记数法表示为，说法正确． 故说法错误的有③． 故答案为：③ 【题型16 确定近似数的有效数字】 【例16】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）数字保留两个有效数字记为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法、有效数字 ．根据有效数字的定义，保留两个有效数字需从左起第一个非零数字开始取两位，并观察第三位数字进行四舍五入 ． 【详解】∵数字从左起第一个非零数字为1，需保留两个有效数字， ∴取前两位数字19，观察第三位数字9， ∵由于， 根据四舍五入原则，向前一位进位，19变为20， 故近似值为2000 ． 为了明确表示两个有效数字，采用科学记数法记为：． 故答案为：． 【变式16-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）近似数有________个有效数字，精确到______位． 【答案】 3 万 【分析】本题考查近似数的精确度和有效数字的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据近似数的精确度和有效数字的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴近似数有3个有效数字，精确到万位． 故答案为：3；万． 【变式16-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）近似数0.0070的有效数字个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查有效数字的基本概念，熟记有效数字的概念：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字． 根据有效数字的定义来进行求解． 【详解】解：近似数0.0070的有效数字是：7和0，共2个有效数字． 故选：B． 【变式16-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）把精确到百分位得__________，此时有_______位有效数字． 【答案】 四 【分析】本题考查了近似数和有效数字，经过四舍五入得到的数为近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位；有效数字是从左边第一个不是0的数字起，所有的数字．取近似数的时候，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 根据近似数和有效数字的定义作答即可． 【详解】把精确到百分位得，此时有四位有效数字． 故答案为：，四． 【题型17 由近似数推断准确数的取值范围】 【例17】（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 【变式17-1】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 【变式17-2】由四舍五入得到的近似数83.50．精确到_______位，它表示大于或等于_______，而小于_______的数． 【答案】 百分 【分析】根据近似数的精确度的定义、四舍五入的方法即可得． 【详解】近似数的最后一位是0，在百分位上，则精确到百分位 由四舍五入的方法得：当近似数的前四位是时，千分位上的数字应大于或等于5；当近似数的前四位是时，千分位上的数字应小于5 则它表示大于或等于，而小于的数 故答案为：百分，，． 【点睛】本题考查了近似数的精确度的定义、四舍五入的方法，掌握理解近似数的精确度是解题关键． 【变式17-3】（25-26七年级上·海南·开学考试）一个三位小数精确到百分位是，下面关于这个三位小数说法错误的是（   ） A．这个三位小数最小是 B．这个三位小数最大是 C．符合条件的三位小数一共有个 D．符合条件的三位小数一共有个 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，根据精确度逐项判断即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：、这个三位小数最小是，该选项说法正确，不合题意； 、这个三位小数最大是，该选项说法正确，不合题意； 、符合条件的三位小数有，，，，，，，，，，一共有个，该选项说法错误，符合题意； 、符合条件的三位小数一共有个，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 【题型18 近似数与科学记数法的综合运用】 【例18】第三届国际新材料产业大会于2023年11月23日-26日在蚌埠市举办．大会期间，全省共签约项目8个，总投资额达到亿元．其中“亿”用科学记数法（精确到亿位）表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数和科学记数法，先求出亿的近似数，再根据科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿（精确到亿位）， 故选B． 【变式18-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法与近似数，需将数字精确到百万位并用科学记数法表示，其中科学记数法的形式为，且系数a满足，然后问题可求解． 【详解】解：∵百万位为，46200000精确到百万位需看十万位（），十万位数字为， ∴舍去，得46000000， ∴， 故选D． 【变式18-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）用四舍五入法对1990520取近似值，精确到十万位，结果为__________（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法与精确度．一个近似数精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，再进行四舍五入． 精确到十万位，需看万位数字，的万位，向十万位进位，得到，再用科学记数法表示为． 【详解】解：． 故答案为． 【变式18-3】（2026·山东济宁·一模）据济宁市旅游局统计，2012年春节约有359525人来济旅游， 将这个旅游人数 (保留三个有效数字)用科学记数法表示为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法和有效数字，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．根据科学记数法定义和有效数字的计算方法求解即可． 【详解】解：∵359525一共6位， ∴， ∵保留三个有效数字， ∴． 故选B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 有理数的乘方（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 有理数乘方的概念理解】 2 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 2 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 2 【题型4 乘方中的整除与进制问题】 3 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 4 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 5 【题型7 乘方中的新定义问题】 5 【题型8 含乘方的有理数四则混合运算】 6 【题型9 算“24”点游戏】 6 【题型10 程序流程图与有理数的混合计算】 7 【题型11 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 9 【题型12 将用科学记数法表示的数还原为原数】 9 【题型13 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 9 【题型14 求一个数的近似数】 10 【题型15 判断近似数的精确度】 11 【题型16 确定近似数的有效数字】 11 【题型17 由近似数推断准确数的取值范围】 11 【题型18 近似数与科学记数法的综合运用】 12 考点1 有理数的乘方 知识点1 有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 【题型1 有理数乘方的概念理解】 【例1】（25-26七年级上·四川成都·期末）下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【变式1-1】与算式的运算结果相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）把“8”写成（a，n均为正整数）的形式是__________． 【变式1-3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 有理数乘方的基本运算与符号规律】 【例2】（25-26八年级上·四川乐山·期末）计算：的值为（    ） A． B．6 C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【变式2-2】（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期末）若与互为相反数，则______． 【题型3 乘方中的程序流程图问题】 【例3】按如图所示的运算程序，能使输出的结果为36的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为________． 【变式3-2】按如图所示的程序进行运算，若要使输出的结果为，则输入的x值可以是（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【学习情境·数值转换机】下图是一数值转换机，输入数值后按两个方框中的程序运算，若运算结果大于，可以输出结果；若运算结果不大于，则将得到的结果重新输入，进行运算，直到运算结果大于时输出运算结果．当输入数为时，最终输出的结果是__________．    【题型4 乘方中的整除与进制问题】 【例4】（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）我们知道，在三进制中，数，比如，即，则__________． 【变式4-1】能被下列哪个数整除？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式4-2】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】当自然数的个位数分别为0，1，2，…，9时，的个位数如表所示： 个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 ······ 在10，11，12，13这四个数中，当____________时，和数能被5整除． 【题型5 乘方中的末尾数字与规律探究】 【例5】（25-26六年级上·山东泰安·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，的末位数字是________． 【变式5-1】观察下列规律：，，，，，…用你发现的规律写出个位数字为_________． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）代数式的末尾数字是________． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期中）观察算式：，，，，可以得出的末尾两位数字是_____． 【题型6 偶次乘方的非负性应用】 【例6】已知与互为相反数，求的值． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川成都·月考）若，则的值为_______． 【变式6-2】若与互为相反数，求的值． 【变式6-3】若，则的值为_________． 【题型7 乘方中的新定义问题】 【例7】定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【变式7-1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【变式7-2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）定义运算，例如，，若，则m的值为__________． 【变式7-3】（24-25九年级下·山东济宁·期中）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则______． 考点2 含乘方的有理数的混合运算 知识点2 含乘方的有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型8 含乘方的有理数四则混合运算】 【例8】（2026·河北张家口·三模）计算的值，其中“★”表示一个有理数． (1)若“★”表示的数为，求的值； (2)若算式的值为，求“★”所表示的数． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【题型9 算“24”点游戏】 【例9】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【变式9-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式9-2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【变式9-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【题型10 程序流程图与有理数的混合计算】 【例10】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是________． 【变式10-1】按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为_______． 【变式10-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条路线从左至右进行运算得到，由下面的一条路线从左至右进行运算得到．如输入，得到即． (1)类比的求值过程，求当，的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值． 【变式10-3】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 考点3 科学记数法 知识点3 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【题型11 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例11】（2026·浙江嘉兴·一模）我国自主研发的人工智能DeepSeek提升了我国在全球科技领域的竞争力．截至2024年2月，DeepSeek的全球下载量约为380000000次．将数380000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2026·安徽蚌埠·一模）2025年上半年，国内生产总值亿元，同比增长，其中亿用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级上·江西上饶·期中）年两会这份数据，振奋人心！中国年超万亿元，同比增量相当于一个中等国家经济总量，连续多年保持世界第二大商品消费市场，世界第一制造业大国，世界第一货物贸易大国地位．把数据万亿元用科学记数法表示为_______． 【变式11-3】（2026·河南周口·一模）据相关消息，中央广播电视总台2026年春节联欢晚会收视数据亮眼，截至2月17日8时，晚会全国电视直播总收视份额达，创下13年来新高，境内全媒体总触达亿次，同比增长．若数据亿用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【题型12 将用科学记数法表示的数还原为原数】 【例12】（2026·安徽滁州·一模）2025年中国工业机器人市场规模将达到元，位居全球第一．数据可表示为（    ） A．9.51亿 B．95.1亿 C．951亿 D．9510亿 【变式12-1】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【变式12-2】（25-26七年级上·河南信阳·期末）2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达用科学记数法表示为米小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（    ）米/小时 A． B．2764800 C．27648000 D．276480000 【变式12-3】（2025·安徽蚌埠·三模）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 【题型13 科学记数法与乘方、乘除法的综合计算】 【例13】我国发射的海洋Ⅰ号气象卫星，进入预定轨道后，若地球运行的速度为米/秒，则运行秒走过的路程是_________米（用科学记数法表示） 【变式13-1】（2026·河南鹤壁·一模）鹤壁市坚持“项目为王”，年实施重点项目“”工程，安排基础设施项目个、产业项目个、总投资达亿元．将亿元用科学记数法表示为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式13-2】（2026·上海崇明·二模）在某次演习中，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米/秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为__________米/秒． 【变式13-3】（25-26七年级上·安徽安庆·期中）据统计，某地区平均每人每天大约产生千克垃圾，垃圾处理厂把所有垃圾压缩做成棱长为米的立方体，每个这样的立方体约重千克． (1)若该地区共有万人口，则该地区一天将产生多少千克垃圾？可做成多少个这样的立方体（用科学记数法表示）？ (2)在（1）的条件下，该地区一天产生的垃圾被压缩后共有多少立方米（用科学记数法表示）？ 考点4 近似数 知识点4 近似数 1. 接近实际数值的数，叫作近似数． 2. 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示． 3. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位．例如（精确到0.01，或叫作精确到百分位）． 【题型14 求一个数的近似数】 【例14】用四舍五入法，把精确到的近似数是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）用四舍五入法把精确到千分位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【变式14-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）2025年10月8日，苏超联赛四分之一决赛在盐城奥体中心体育场举行，本场比赛观众人数为34696人，用四舍五入法将数字34696精确到千位，所得的近似数为________． 【题型15 判断近似数的精确度】 【例15】（25-26八年级上·江苏·期末）近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，用四舍五入法取近似数，数据（精确到）______．近似数精确到______位． 【变式15-1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）下列说法正确的是（   ） A．万精确到百分位 B．万精确到万位 C．精确到个位 D．近似数和的精确度一样 【变式15-2】将一个数用四舍五入法取近似值所得的结果是，这个近似数的精确度是（   ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．万分位 【变式15-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期末）下列说法错误的有______． ①近似数万精确到千位    ②近似数2百万与近似数200万精确度不同 ③近似数与的精确度相同    ④数精确到万位是 【题型16 确定近似数的有效数字】 【例16】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）数字保留两个有效数字记为___________． 【变式16-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）近似数有________个有效数字，精确到______位． 【变式16-2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）近似数0.0070的有效数字个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式16-3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）把精确到百分位得__________，此时有_______位有效数字． 【题型17 由近似数推断准确数的取值范围】 【例17】（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似数是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【变式17-1】（25-26七年级上·安徽安庆·月考）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】由四舍五入得到的近似数83.50．精确到_______位，它表示大于或等于_______，而小于_______的数． 【变式17-3】（25-26七年级上·海南·开学考试）一个三位小数精确到百分位是，下面关于这个三位小数说法错误的是（   ） A．这个三位小数最小是 B．这个三位小数最大是 C．符合条件的三位小数一共有个 D．符合条件的三位小数一共有个 【题型18 近似数与科学记数法的综合运用】 【例18】第三届国际新材料产业大会于2023年11月23日-26日在蚌埠市举办．大会期间，全省共签约项目8个，总投资额达到亿元．其中“亿”用科学记数法（精确到亿位）表示为（    ） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）DeepSeek是中国深度求索公司研发的高性能AI语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域．2026年1月，DeepSeek全球月活跃用户数突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式18-2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）用四舍五入法对1990520取近似值，精确到十万位，结果为__________（用科学记数法表示）． 【变式18-3】（2026·山东济宁·一模）据济宁市旅游局统计，2012年春节约有359525人来济旅游， 将这个旅游人数 (保留三个有效数字)用科学记数法表示为 A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $