1.2 从立体图形到平面图形（第3课时） 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦立体图形的截面问题，系统讲解正方体、圆柱、圆锥、球的截面绘制方法与特性。通过生活中切开秋葵、西瓜等实例导入，衔接前序几何体展开图知识，构建立体到平面转化的学习支架。 其亮点在于结合动手操作（如橡皮泥切正方体）和真题感知，以几何直观和空间观念为核心，通过表格汇总截面规律。学生在实践中提升空间想象与推理意识，教师可借助丰富案例优化教学，增强课堂互动与知识应用。

第一章 丰富的图形世界 第三课时 1.2从立体图形到平面图形 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天，我们将一起踏上一段奇妙的数学之旅，去探索一个非常有趣的话题——从立体图形到平面图形。我们会发现，那些看起来“鼓鼓的”立体图形，背后都隐藏着一个“平平的”小秘密。准备好了吗？让我们一起出发吧！ ‹#› 学习目标 1 2 3 能准确画出棱柱、圆柱、圆锥、球的截面图，掌握不同角度下立体图形截面的基本绘制方法。 在动手操作与观察中，探究并归纳棱柱、圆柱、圆锥、球的截面特性，深化对立体图形结构的认知。 在合作交流中清晰阐述截面探究的思维过程，学会倾听与反思，逐步形成严谨的数学探究意识。 1.7.2013 这节课我们要达成三个小目标。第一，学会画出几种常见立体图形的截面图。第二，通过动手操作，更深入地了解这些截面的特点。第三，也是非常重要的一点，希望大家能积极思考和交流，把自己的想法清晰地表达出来。相信通过这节课的学习，大家会对立体图形有全新的认识！ ‹#› 知识回顾 常见几何体的展开图 圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱 三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱 1.7.2013 在开始新的探索之前，我们先来快速回顾一下老朋友。大家看屏幕上的这些图形，还认识它们吗？对啦！我们有正方体、长方体、圆柱、圆锥等等。这些都是我们非常熟悉的立体图形。正是因为我们对它们这么熟悉，才能更好地进行今天的探索。 ‹#› 导入新课 切开的秋葵 在生活中我们常常需要将一个物体截开，你能举出一些实例吗？ 从以上实物截开，给我们的截面印象 切开的西瓜 锯开的木头 截面 探究点1 截面 截面 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面(section)。 1.7.2013 好了，复习结束，让我们来看一些生活中的例子。切开的秋葵、切开的西瓜、锯开的木头，它们都有一个共同的特点，就是被一个平面切开了。这个切开后暴露出的新的平面，就是我们今天要学习的“截面”。大家能理解什么是截面了吗？ ‹#› 典例分析 探究点1 截面 例1. 如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是（ ） A. 圆 B. 长方形 C. 三角形 D. 梯形 【解析】 由水平面与圆柱的底面垂直，可知水面与圆柱侧面相交形成的线互相平行且垂直于底面直径，因此水面的形状是长方形。 B 1.7.2013 我们来看一个例子。一个装了一半水的圆柱形玻璃杯，水平放置时，水面是什么形状呢？大家想一想，水面是平的，它切开了圆柱，形成的截面是什么？对了，是长方形。所以答案是B。这个例子帮助我们直观地理解了什么是截面。 ‹#› 探究点2 正方体的截面 尝试•思考 如图，用一个平面去截一个正方体，截面是什么形状？能截出一个七边形吗？ 1.7.2013 接下来，我们来挑战一个更有趣的问题。用一个平面去切一个正方体，切出来的截面可能是什么形状呢？大家可以先想象一下。另外，一个更难的问题：我们能不能切出一个七边形呢？带着这些问题，我们开始今天的探究。 ‹#› 探究点2 正方体的截面 尝试·思考 活动：请大家用橡皮泥制作的正方体模型动手切一切，能否切出三角形？试一试！也可尝试不同切法，探索能否切出四边形、五边形甚至六边形。 1.7.2013 现在，请大家拿出准备好的正方体模型，动手切一切，看看能切出什么形状。比如，能不能切出一个三角形？当然可以！只要平面只经过三个面就行。除了三角形，我们还能切出四边形、五边形，甚至六边形。大家可以多尝试几种不同的切法，观察截面的边数与正方体面数的关系，以及切割角度对截面形状的影响。 ‹#› 探究点2 正方体的截面 尝试•思考 结论：正方体仅有6个面，截面最多有6条边（六边形），无法截出七边形。 (2)截面的形状还可能是几边形？ 1.7.2013 大家切出了各种形状，那截面的形状最多可能是几边形呢？我们来思考一下，正方体有几个面？6个。一个平面去切它，最多能和几个面相交？也是6个。交线就是截面的边，所以截面最多有6条边，也就是六边形。因此，我们不可能切出七边形。 ‹#› 探究点2 正方体的截面 尝试·思考 形状 特殊情形 三角形 一般三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 四边形 平行四边形 长方形 正方形 梯形 五边形 任意五边形（无特殊对称情形） 六边形 可以是正六边形（当截面平行于正方体中心截面时） (2)截面的形状还可能是几边形? 1.7.2013 我们来总结一下正方体的截面。它可以是三角形，比如等腰三角形、等边三角形。也可以是四边形，比如平行四边形、长方形、正方形和梯形。当然，还可以是五边形和六边形。这个表格清晰地展示了所有可能性。 ‹#› 典例分析 探究点2 正方体的截面 例2. 如图，用一个平面去截一个正方体，截面形状相同的是 ( ) A. ①②③④　　　　　　　　　　　B. ③与④ C. ①与③④　　　　　　　　　　　D. ①与②，③与④ 答案：D 图示分析： ①②截面为长方形（平行于棱切割）；③④截面为梯形（斜向切割）。 核心规律：截面形状由平面与正方体各面的交线决定，切割角度与方向是关键。 1.7.2013 我们来看一道例题。这里有四个正方体，被不同的平面切割。问题是，哪几个截面的形状是相同的？大家仔细观察一下切割的方向和角度。①和②的切割方式类似，都是沿着平行于棱的方向切，所以截面都是长方形。③和④的切割方式也类似，都是斜着切，所以截面都是梯形。因此，正确答案是D。 ‹#› 探究点3 棱柱、圆柱、圆锥体、球体的截面图 观察•思考 圆柱的截面是什么形状? 截面是长方形（沿高切） 其他截面（斜着切） 1.7.2013 研究完正方体，我们再来看看圆柱。如果我们沿着圆柱的高切下去，截面是什么形状？没错，是长方形。那如果不沿着高，斜着切呢？截面就会变成一个椭圆或者其他形状。所以，切割的角度不同，得到的截面也不同。 ‹#› 探究点3 棱柱、圆柱、圆锥体、球体的截面图 观察•思考 圆锥的截面是什么形状？ 01 平行底面切 截面形状：圆形 当切面与圆锥底面保持平行时，所得到的截面是一个大小不等的圆，圆心始终在圆锥的中心轴线上，半径随切面高度变化。 02 斜向任意切 截面形状：椭圆 当切面倾斜于圆锥底面且不经过顶点时，截面呈现为椭圆形。椭圆的离心率取决于切面的倾斜角度，角度越小椭圆越接近圆。 03 过顶点纵切 截面形状：等腰三角形 当切面经过圆锥的顶点并与底面相交时，截面是一个等腰三角形。其底边为底面圆的弦，两腰则是圆锥的母线，顶角大小随切面位置变化。 1.7.2013 接下来是圆锥。圆锥的截面就更有趣了。如果平行于底面切，截面是一个圆。如果斜着切，截面是一个椭圆。如果沿着顶点切下去，截面就是一个三角形。大家看，不同的切法，得到的图形完全不同。 ‹#› 探究点3 棱柱、圆柱、圆锥体、球体的截面图 观察·思考 柱体截面规律：棱柱截面为多边形；圆柱截面可呈现圆、长方形或椭圆，取决于切割角度。 锥与球截面规律：圆锥截面含圆、三角形或椭圆；球体无论从何角度切割，截面永远是圆。 1.7.2013 我们来总结一下其他几种几何体的截面。棱柱的截面是多边形。圆柱的截面可以是圆、长方形或椭圆。圆锥的截面可以是圆、三角形或椭圆。而最特别的是球，无论你从哪个方向切，它的截面永远都是一个圆。 ‹#› 解： 若截面为圆，原几何体可能是圆柱、圆锥、球体，或是它们的组合体。 若截面为三角形，原几何体可能是正方体、长方体、棱柱、圆锥，或是它们的组合体。 典例分析 探究点3 棱柱、圆柱、圆锥体、球体的截面图 例3. 用一个平面去截一个几何体，若截面形状是圆，原几何体可能是什么？若截面是三角形呢？ 1.7.2013 我们来看一个反向思考的例子。如果告诉你截面是一个圆，你能猜到原来的几何体可能是什么吗？对，可能是圆柱、圆锥或者球。那如果截面是一个三角形呢？那原来的几何体可能就是正方体、长方体、棱柱或者圆锥了。这就是截面的逆向思维。 ‹#› 巩固练习 教材P12随堂练习 1.分别指出图中几何体截面形状的标号。 解：(1)B；(2)C。 2.用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么原来的几何体可能是什么？ 解：原来的几何体可能是正方体、长方体、棱柱、圆柱等。 1.7.2013 理论学习完了，我们来练练手。第一题，请大家根据图示，选出正确的截面形状。第二题是一个开放性问题，截面是长方形，原来的几何体可能是什么？大家可以想一想，哪些立体图形可以切出长方形？ ‹#› 真题感知 1．（24-25七年级·上海·开学考）把长8cm、宽6cm、高4cm的长方体截成两个长方体，表面积之和比原长方体增加了（ ）平方厘米。 A．96 B．48 C．64 D．以上三种都有可能 解1： 沿上下底面（8×6）切，增加两个底面面积：8×6×2 = 96 平方厘米； 解2： 沿前后侧面（8×4）切，增加两个侧面面积：8×4×2 = 64 平方厘米； 解3： 沿左右侧面（6×4）切，增加两个侧面面积：6×4×2 = 48 平方厘米； ∴ 三种截法均可能，答案选 D。 D 1.7.2013 我们来看一道真题。把一个长方体切成两个，表面积会增加。但增加多少呢？这取决于你怎么切。沿着不同的面切，增加的面积是不同的。所以这道题的答案是D，三种情况都有可能。这告诉我们，思考问题要全面。 ‹#› 真题感知 2.（24-25七年级上·广东深圳·期中）物理中的3D打印技术通过读取截面信息，将材料逐层打印粘合制造实体。某兴趣小组读取到截面包含三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出的立体图形是（ ） A. 圆柱　　B. 圆锥　　C. 四棱锥　　D. 正方体 解： A.圆柱的截面多为圆、矩形或椭圆，无法截出三角形与六边形，故此选项错误； B.圆锥的截面为圆、三角形或椭圆，无法截出梯形与六边形，故此选项错误； C.四棱锥可截出三角形、四边形，但无法截出六边形，故此选项错误； D.正方体的截面可呈现三角形（切过三个顶点）、梯形（斜切过四条棱）、六边形（切过六条棱），符合题意，故此选项正确。 D 1.7.2013 这道题结合了3D打印技术，非常有趣。题目说截面信息有三角形、梯形和六边形。我们来分析一下，圆柱、圆锥、四棱锥都无法同时满足这三个条件。只有正方体，既可以切出三角形，也可以切出梯形（一种特殊的四边形），还可以切出六边形。所以答案是D。 ‹#› 真题感知 3. (2025·江苏南京·一模) 玻璃杯内盛有一些水，杯身呈圆柱形，斜放杯子后测得相关数据如图，求杯中水的体积为多少？ 解题思路：将不规则的水体拆分为“下半部分完整圆柱 + 上半部分半圆柱”，利用圆柱体积公式分别计算后求和。 ① 上半部分（半圆柱）：V₁ = ½ × πr²h₁ = ½ × π×4²×4 = 32π (cm³) ② 下半部分（完整圆柱）：V₂ = πr²h₂ = π×4²×6 = 96π (cm³) ③ 总体积求和：V = V₁ + V₂ = 32π + 96π = 128π (cm³) 128π 1.7.2013 最后一道真题是计算题。一个装水的圆柱形玻璃杯被斜放了，求水的体积。直接计算有点困难，但我们可以把水的体积分成两部分来看。上半部分正好是半个小圆柱，下半部分是一个完整的小圆柱。把它们的体积加起来，就能得到水的总体积了。 ‹#› 课堂小结 名 称 截面形状汇总 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 圆 柱 圆、长方形、椭圆（斜切时） 圆 锥 圆、等腰三角形（过顶点）、椭圆 球 任意截面均为：圆 1.7.2013 好了，今天的课就快结束了，我们来总结一下今天的核心内容。这张表格清晰地展示了正方体、圆柱、圆锥和球的各种可能的截面形状。大家一定要记住这些基本的截面情况，这对于我们理解空间图形非常有帮助。 ‹#› 课堂小结 01. 掌握截面绘制技能 能够准确画出棱柱、圆柱、圆锥以及球体的截面图形，理解不同角度切割几何体时截面的形成规律。 02. 深化几何特性认知 通过动手操作与观察，深入认识各类几何体截面的形状特点与变化规律，进一步丰富对立体图形的空间感知，提升空间想象能力。 03. 提升表达与反思能力 在小组交流与分享中，能清晰、有条理地阐述自己的思考过程与探究结论，同时学会倾听他人观点，初步形成主动反思的学习意识。 1.7.2013 回顾一下我们这节课的学习目标，大家都达成了吗？我们学会了画截面图，认识了截面的特性，也锻炼了自己的表达和思维能力。希望大家课后能多多复习，把今天学到的知识巩固下来。 ‹#› 课后练习 （教材P15） 习题1.2 解：（1）三角形；（2）圆； （3）五边形；（4）长方形。 2.图中各几何体的截面分别是什么形状？ 1.7.2013 这是今天的第一个课后练习，请大家完成教材第15页的第2题，判断图中几何体的截面形状。这道题可以帮助大家巩固今天学到的各种截面知识。 ‹#› 课后练习 习题1.2 解：截面的形状可能是三角形、长方形、正方形、梯形、五边形。 6.用平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是什么图形？先想一想，再做一做。 （教材P16） 1.7.2013 第二个课后练习是教材第16页的第6题。这次我们来挑战一个新的几何体——三棱柱。大家先想一想，它的截面可能是什么形状？然后可以动手试一试，看看你的想法是否正确。 ‹#› 课后练习 01 长方体表面积计算 已知一个长方体的长为 8cm，宽为 5cm，高为 2cm，请计算该长方体的表面积。（提示：长方体表面积公式 S = 2(ab + bc + ac)） 02 圆柱侧面积计算 已知一个圆柱的底面周长是 18.84cm，高是 10cm，请计算该圆柱的侧面积。（提示：圆柱侧面积公式 S = Ch，C 为底面周长，h 为高） 1.7.2013 除了教材上的题目，这里还有两道补充练习题。一道是求长方体的表面积，另一道是求圆柱的侧面积。这两道题都和我们今天学习的展开图密切相关，大家一定要认真完成哦。 ‹#› 课后练习 实践任务：立体模型制作与展开 请大家利用卡纸或硬纸板，亲手制作一个正方体和一个圆柱体的立体模型。制作完成后，尝试将它们的表面沿着棱边或接缝完整展开，平铺在纸上，并准确描绘出它们的平面展开图。 🎯核心目标：通过亲手操作，直观感受立体图形向平面图形转化的过程，深入理解立体结构与展开图之间的一一对应关系，从而提升空间想象能力与几何直观素养。 💡小提示：制作时注意保持各边比例一致；画完展开图后，可以尝试再次折叠还原，以此检验展开图的准确性。 1.7.2013 最后一项作业是动手制作。请大家亲手做一个正方体和一个圆柱的模型，然后把它们展开，画出展开图。这个过程能让你更深刻地理解立体图形和平面图形之间的关系。 ‹#› 谢谢观看 探索永无止境，数学点亮生活！ 保持好奇心，在数学的世界里不断发现与创造 让我们带着思考，继续前行 1.7.2013 今天，我们一起把立体图形“变”成了平面图形，探索了它们之间的秘密。数学是不是很有趣？希望大家能保持这份好奇心，继续在数学的世界里探索更多的奥秘！今天的课就到这里，同学们再见！ ‹#› $