第五章 一元一次方程 单元回顾与思考 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元一次方程的概念、解法步骤、实际应用及转化、建模等思想方法，通过知识网格将核心内容与内在逻辑串联，辅以问题引导学生构建完整知识体系，强化知识点间联系。 其亮点在于采用“典例精选-分层拓展-思想提炼”策略，如通过“盈不足”问题对比算术与方程法培养数学建模意识，三阶幻方探究发展抽象能力和创新意识，分层作业设计满足不同需求，助力学生巩固知识提升素养，为教师提供精准复习指导。

第五章 一元一次方程 单元回顾与思考 2024版北师大数学七年级数学上册 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 教学设计的基本环节： 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 核心概念清晰化:准确理解一元一次方程的定义、方程的解及解方程的基本原理. 解法步骤系统化:熟练掌握一元一次方程的标准解法步骤（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1）,能根据方程特点灵活调整步骤顺序，避免常见错误. 应用建模结构化：能识别实际问题中的等量关系将文字描述转化为数学方程，建立“实际问题—数学模型—求解验证”的完整解题链条. 1.运算能力:能快速、准确地解任意形式的一元一次方程,解方程正确率达到 90% 以上,且能通过 “代入检验” 验证解的正确性. 2.建模能力:面对实际问题时，能通过 “审题（找已知量、未知量）— 设未知数（直接设或间接设）— 列代数式（用含未知数的式子表示相关量）— 找等量关系 — 列方程” 的流程，将文字描述转化为一元一次方程模型，尤其能处理 “盈不足”“分段计费” 等稍复杂的实际问题. 3.分析与迁移能力:能对比不同解法（如算术法与方程法）的差异，理解方程法 “设未知数、建等式” 的优势；能将一元一次方程的解法与等量关系思路延续下去. 数学抽象与建模素养 逻辑推理与运算素养 应用意识与创新素养 知识网格 1.方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.用方程解决实际问题，一般要经历哪些过程？ 2.列算式和列方程解决实际问题的区别和联系分别是什么？ 3.在列方程解决实际问题的过程中,你认为最关键的是什么？ 4.解一元一次方程的依据和基本思路是什么？ 5.在解决实际问题的过程中,你怎样判断一个方程的解是否符合要求？请举例说明. 6.梳理本章内容,用适当的方式呈现全章知识结构,并与同伴进行交流. 知识网格 5 典例精选 知识点1：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是？ 去分母、去括号、移项、合并同类型、把系数化为1、检验. 解方程： （1）​𝑥−​=31​； （2）32​−8𝑥=3−21​𝑥； （3）0.5−0.7=6.5−1.3𝑥； （4）​(3𝑥−6)=​ (𝑥−3)； （5）3(𝑥−7)+5(𝑥−4)=15； （6）4𝑥−3(20−𝑥)=−4； （7）​=2−​； （8）​(1−2𝑥)=​(3𝑥+1) 请选择一道能完整展示解方程一般步骤的题目求解. 6 典例精选 知识点1：一元一次方程的解法 2.已知𝑥=5是方程𝑥−8=20+的解,求的值. 因为𝑥=5是方程𝑎𝑥−8=20+𝑎的解,将𝑥=5代入原方程： 𝑎×5−8=20+𝑎 化简左边,得到： 5𝑎−8=20+𝑎 5𝑎−𝑎=20+8 合并同类项： 4=28 两边同时除以4： 𝑎=7 将𝑎=7、𝑥=5代入原方程： 左边：7×5−8=35−8=27 右边：20+7=27 左边=右边,所以𝑎=7是正确的 最终结论:𝑎=7​ 典例精选 知识点2：公式变形与求值 3.在公式 s=​+vt 中,已知 s=100, ​=25,v=10,求t的值. 解：100=25+10t 100−25=10t 75=10t t=​ t=7.5 典例精选 知识点3：一元一次方程的应用 4.儿子今年13岁,父亲今年40岁,是否有哪一年父亲的年龄恰好是 儿子年龄的4倍?为什么? 解:设年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 根据题意得：40−𝑥=4(13−𝑥) 去括号：40−𝑥=52−4𝑥 移项：−𝑥+4𝑥=52−40 合并同类项：3𝑥=12 系数化为1：𝑥=4 验证：4年前儿子年龄为13−4=9岁，父亲年龄为40−4=36岁，36÷9=4，符合题意. 答：4年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍. 典例精选 知识点3：一元一次方程的应用 5.《九章算术》中给出“盈不足术”:把盈余数与不足数相加,和为被除数,把两次每人出的钱数之差作为除数,所得的商即为人数;将人数乘每人出的钱数,然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价.试解释这种算法。 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题 今有共买鸡,人出九,盈一十一；人出六,不足十六.问：人数、鸡价各几何？ 𝑥=​=​=9（人） y=​=​=​=70（钱） 方法一：算术法 典例精选 根据两种出钱方式表示物价： 每人出9钱,盈11钱,则物价y=9𝑥−11 每人出6钱,不足16钱,则物价y=6𝑥+16 列方程并求解人数： 因为物价是固定的,所以可列方程9𝑥−11=6𝑥+16 移项得:9𝑥−6𝑥=16+11 合并同类项得:3𝑥=27 系数化为1得:𝑥=9 计算物价： 把𝑥=9代入y=9𝑥−11,则y=9×9−11=81−11=70（钱） 综上，人数是9人，鸡价是70钱 知识点3：一元一次方程的应用 方法二：一元一次方程法 典例精选 知识点3：一元一次方程的应用 6.把99写成四个数的和,使第一个数加2,第二个数减2,第三个数乘2,第四个数除以2,得到的结果都相等.这四个数分别是多少? 设这四个数经过运算后得到的相等结果为𝑥。 用𝑥表示出这四个数： 第一个数加2等于𝑥，则第一个数为𝑥−2； 第二个数减2等于𝑥，则第二个数为𝑥+2； 第三个数乘2等于𝑥，则第三个数为​； 第四个数除以2等于𝑥，则第四个数为2𝑥。 根据“四个数的和是99”列方程： (𝑥−2)+(𝑥+2)+ ​+2𝑥=99 典例精选 解方程： 去括号后合并同类项：𝑥−2+𝑥+2+​+2𝑥=99 即4𝑥+ ​=99，通分得到28𝑥+𝑥​=99，也就是𝑥​=99。 两边同时乘​，解得𝑥=22. 求出四个数： 第一个数：𝑥−2=22−2=20； 第二个数：𝑥+2=22+2=24； 第三个数：​​=11； 第四个数：2𝑥=2×22=44. 所以这四个数分别是20、24、11、44。 知识点3：一元一次方程的应用 典例精选 知识点3：一元一次方程的应用 7.某商场将某种商品按原价的八折出售,此时商品的利润率是10%.已知这种商品的成本价为1800元,那么这种商品的原价是多少？ 问题1:“八折出售”后卖的钱和原价是什么关系？ 问题串:逐步分析 设商品原价为𝑥元,售价=原价×80%=0.8𝑥 问题2:题目提到“利润率是10%”,已知成本价1800元,那 “利润率10%”意味着什么？利润和成本价有怎样的联系？ 利润=成本价×10% 典例精选 知识点3：一元一次方程的应用 问题3:知道了成本价和利润率，能不能先算出商品的利润是多少？ 1800×10%=180元 问题4:利润算出来后，售价又该怎么求？ 售价=成本价+利润=1800+180=1980元 问题6:根据前面的关系，能列出一个一元一次方程吗？ 0.8𝑥=1980，解得𝑥=2475 巩固拓展 知识点3：一元一次方程的应用 8.甲车从A地开往B地,速度是60km/h;乙车沿同一路线同时从B地开往 A地,速度是90km/h.已知A,B两地相距200km,两车相遇的地方离A地多远？ 问题1:这是一道什么类型的行程问题？ 问题2：两车的速度分别是多少？它们一起走完200km需要多久？ 问题3：设相遇时间为小时，那么甲车走了多少千米？乙车呢？ 相向而行的相遇问题 速度和：km/h 甲车：km，乙车：km 巩固拓展 问题4:根据“总路程=速度和×时间”，你能列出方程吗？ 问题5:相遇点离A地有多远？怎么求？ 用甲车走的路程： 60𝑥+90𝑥=200 解方程： 求相遇点离A地的距离： 甲车行驶的路程为： A ----------------------------- B | | | | 60𝑥 | 90𝑥 | | | | | 相遇点 | 知识点3：一元一次方程的应用 巩固拓展 9.图中的正方形由9个小方格组成.在每个小方格中各填一个数,如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等,那么就称这个图是一个三阶幻方. (1)请将1~9这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方 (2)改变（1）中所构造的三阶幻方中某些数的位置,构造一个新的三阶幻方 (3)在（1）（2）所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有,请你解释其中的道理 (4) 你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试 知识点3：一元一次方程的应用拓展 巩固拓展 8 1 6 3 5 7 4 9 2 4 3 8 9 5 1 2 7 6 9 2 7 4 6 8 5 10 3 (3)1~9的和为45,三阶幻方每行和为45÷3=15;中间数是每行、每列、对角线的公共数,设中间数为��,则4条线（2行+2列+2对角线）的和为4×15=60,而这相当于“所有数和+3𝑥”（中间数被计算4次,多算3次）,即45+3𝑥=60,解得𝑥=5.因此中间数必为5，位置始终不变. 思想方法 1. 模型思想（核心思想） 把实际问题抽象为数学方程模型,通过解方程解决实际问题. 核心是找到问题中的等量关系,将文字描述转化为含未知数的等式 2. 转化与化归思想 解方程的本质是“化繁为简”,将复杂方程逐步转化为最简形式. 具体体现：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，每一步都是将方程向标准形式转化. 3. 数形结合思想 结合数轴或线段图分析实际问题,直观呈现数量关系. 用数轴表示方程的解,或通过图形找到等量关系,降低抽象难度. 4. 分类讨论思想 解决含参数或多情况的实际问题时，按不同条件分类列方程. 当堂检测 1.已知是关于 的一元一次方程，则 ( ) B 3或1 B. 1 C. 3 D. 0 说说你计算的过程是怎样的？ 当堂检测 2.下列方程变形中，正确的是( ) C 𝑎. 方程，移项，得 B. 方程，系数化为1，得 C. 方程，去括号，得 D. 方程，去分母，得 当堂检测 3.解方程： （1） . 解：去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 方程两边都除以4，得 . 当堂检测 （2） . 解：去分母，得 . 去括号，得 . 移项，得 . 合并同类项，得 . 方程两边都除以3，得 . 反思总结 1.通过本节课复习，我是否真正理清了一元一次方程的定义、解法步骤及常见易错点？对于仍模糊的知识点,我计划如何针对性巩固？ 2.在解决实际问题（如行程、工程、利润类题目）时,我是否能快速找到等量关系并列出方程？下一步我该如何提升. 3.通过复习我是否更深刻体会到方程是解决实际问题的工具？当面对新问题时,我是否有信心通过找等量关系、列方程来尝试解决？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本：P159 第1题 二、素养类作业 课本：P160 第11题 三、挑战类作业 课本: P161 第18提 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $