1.2从立体图形到平面图形（第2课时）课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦立体图形与平面图形的转化，核心知识点包括正方体、棱柱、圆柱、圆锥的展开图特征及平面与立体的对应关系。课堂导入通过“温故知新”复习正方体展开图规律，再以三棱柱等生活实例引入新课，构建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于注重动手操作与空间想象结合，通过“隔一相对”等口诀培养推理意识，结合生活实例和真题感知发展应用意识。如推导圆柱侧面展开图长与底面周长的关系，帮助学生建立空间观念，教师可利用结构化资源提升教学效率。

第一章丰富的图形世界 第二课时 1.2从立体图形到平面图形 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天我们将继续探索第一章“丰富的图形世界”，学习第二节“从立体图形到平面图形”的第二课时内容。大家准备好了吗？让我们一起开启今天的几何之旅吧！ ‹#› 学习目标 1 2 3 动手画一画：学会绘制圆柱、圆锥等立体图形的展开图，能清晰辨认出它们的侧面展开图形状。 动脑想一想：通过动手操作锻炼空间想象能力，能判断平面图形是否为立体展开图，也能根据展开图还原出对应的立体图形。 用心体会：发现几何图形变换的趣味，感受数学知识在生活中的实际应用与独特魅力。 1.7.2013 在开始今天的学习之前，我们先来明确一下本节课的学习目标。首先，我们要学会动手画出圆柱、圆锥这些常见立体图形的展开图。其次，通过动手操作，我们要锻炼自己的空间想象能力，能够判断和还原立体图形。最后，希望大家能在学习中发现几何的乐趣，体会数学与生活的紧密联系。 ‹#› 温故知新：正方体的秘密 记忆唤醒 · 展开图 大家还记得正方体展开后的样子吗？六个大小相同的正方形，通过边与边相连平铺成一个平面，它的轮廓在你脑海中清晰吗？ 探索特征 · 找规律 它有什么特别之处？展开后，原本相对的面在平面图中会如何分布？这其中藏着一个关键的位置规律，你发现了吗？ 形态百变 · 多模样 展开图的形状只有一种吗？其实不然，通过不同的展开方式，正方体可以变幻出11种不同的基础平面形态，每一种都别具一格。 🤔 课堂思考：带着这些问题，让我们重新走进正方体的几何世界，一起验证那些被我们遗忘的规律，揭开展开图的神秘面纱！ 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下老朋友——正方体。大家还记得正方体的展开图有什么特征吗？它的形状是不是只有一种呢？带着这些问题，我们来快速回顾一下。 ‹#› 正方体展开图的小窍门 01 找相对面 核心口诀：隔一相对，不共棱面 在展开图中，只要两个正方形之间间隔了一个正方形，它们在折叠后就是相对的面。这是判断相对面最直观的方法，可直接用于排除错误选项。 02 找相邻面 核心口诀：隔二相邻，直角相连 若两个正方形之间间隔两个正方形，或它们的边构成直角关系，则为相邻面。相邻面在折叠后会共享一条公共边，是还原正方体空间结构的关键依据。 解题锦囊：遇到复杂展开图时，先利用“隔一相对”原则锁定对立面排除干扰，再通过“直角/隔二”验证相邻面关系，两步即可快速还原立体结构！ 1.7.2013 这里有两个小窍门帮助大家快速识别正方体展开图中的面。第一，找相对面，记住“间一个”原则，隔着一个正方形的两个面就是相对的。第二，找相邻面，记住“间两个”或“成直角”的原则，这样的两个面就是相邻的。掌握了这两个窍门，正方体展开图的问题就迎刃而解了。 ‹#› 知识回顾 下面这些图形（图1—6），哪些是正方体的展开图？ 图1 图2 图3 图4 图5 图6 是 是 是 是 不是 不是 火眼金睛 1.7.2013 现在，考验大家眼力的时候到了！这里有六个图形，请大家快速判断一下，哪些是正方体的展开图，哪些不是？请仔细观察，运用我们刚刚复习的小窍门。 ‹#› 挑战升级！ 这是一个正方体的展开图，已知E是前面，F是右面，D是上面。请你发挥空间想象力，根据这些线索，推理出另外三个面A、B、C在正方体中分别对应的位置。 B C D A E F 知识回顾 练一练 A：后面 E：前面 F：右面 C：左面 D：上面 B：下面 1.7.2013 好的，基础练习结束，我们来挑战一个更难的！在这个展开图中，我们已经知道了前面、右面和上面分别是哪个面。现在，请大家发挥空间想象力，判断一下剩下的A、B、C三个面分别在正方体的什么位置呢？ ‹#› 导入新课 生活中的立体图形 把三棱柱展开会得到什么平面图形？ 底面 侧棱 侧面 核心知识点：三棱柱由两个三角形底面和三个长方形侧面围成 1.7.2013 复习结束，我们进入今天的新课。大家看屏幕上的这些图片，漂亮的礼盒，还有诱人的巧克力，它们的形状都是三棱柱。三棱柱在生活中很常见。那大家有没有想过，如果把一个三棱柱展开，会得到一个什么样的平面图形呢？这就是我们今天要探究的第一个问题。 ‹#› 新知探究 探究点1 棱柱的展开图 三棱柱 五棱柱 四棱柱 六棱柱 动手试一试：沿棱剪开，想象展开形状 动手画一画展开图，和同桌交流你的发现与设想吧！ 核心特征： 2个全等多边形(上下底面) + 数个长方形(侧面)拼接而成 1.7.2013 我们来进行一个动手活动。请大家观察屏幕上的三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱。如果我们沿着它们的棱剪开，会得到什么样的展开图呢？大家可以先在脑海里想象一下，或者动手画一画，然后和同桌讨论一下。其实，所有棱柱的展开图都有一个共同的特点，就是由两个相同的多边形底面和几个长方形侧面组成。 ‹#› 新知探究 探究点 1 三棱柱的变身 三棱柱 展开 特征：三长两三角 展开形态解析：三棱柱的展开图是立体到平面的“变身”。最常见的结构为三个长方形横向并排（构成侧面），在这组长方形的上方和下方，分别拼接一个全等的三角形（作为上下底面）。这种结构清晰展现了棱柱的面与面之间的连接关系。 1.7.2013 我们先聚焦在三棱柱上。三棱柱的展开图其实有很多种不同的样子，就像孙悟空会七十二变一样。屏幕上展示了其中的几种。大家观察一下，最常见的一种展开图是不是三个长方形并排，然后上下各有一个三角形？这就是它的基本结构。 ‹#› 新知探究 探究点1 棱柱的展开图 五棱柱 展开 六棱柱 展开 棱柱展开后的特征： 1.都有上下两个底面，且形状、大小完全相同。 2.侧面都是平行四边形（通常是长方形）。 3.侧面的个数，等于底面图形的边数。 4.所有侧棱的长度都相等。 总结： 1.7.2013 我们再来看一下五棱柱和六棱柱的展开过程。通过观察这些不同的棱柱，我们可以总结出它们展开图的四个共同特征。第一，上下底面形状大小都相同。第二，侧面都是平行四边形。第三，侧面的个数等于底面的边数。第四，所有侧棱的长度都相等。这四点是所有棱柱的共性，大家一定要记住。 ‹#› 观察•思考 (1) 小判断：观察下方的展开图，哪些能折叠成完整的棱柱？先独立思考，再动手折一折来验证你的猜想！ (2) 小修改：如果图形“不合格”，试着移动或增减一个面，把它改成能围成棱柱的展开图，你有几种改法？ 关键：底面需在侧面两侧且全等 要点：侧面数量=底面边数 1.7.2013 现在，我们来做一个有趣的判断。这里有四个图形，请大家判断一下，哪些能折成一个棱柱，哪些不能？大家可以先思考，然后可以动手画下来折一折。对于那些不能围成棱柱的图形，我们又该如何修改，才能让它变得“合格”呢？ ‹#› 我们学到了什么经验？ 课堂回顾：动手操作后的发现 在刚才将立体图形展开、又将平面图形折叠的过程中，你观察到了面与面之间怎样的联系？那些看似零散的图形，是如何通过折叠“还原”出完整的立体模样的？ 01 看体想图：立体 → 平面 面对一个立体图形，尝试在脑海中进行“虚拟拆解”，想象它展开平铺后的平面图案，重点关注各个面的形状、数量以及它们之间的连接顺序。 02 看图想体：平面 → 立体 看到平面展开图时，利用空间想象力进行“逆向折叠”，将分散的图形在脑海中拼接组合，还原出三维立体的空间形态，建立起清晰的空间直观感。 💡 核心心法：打通“二维平面”与“三维立体”的思维通道，是掌握几何奥秘的关键！ 1.7.2013 经过刚才一系列的动手操作和思考，大家有什么心得体会吗？其实，展开与折叠的核心，就是培养我们的空间想象能力。我们要做到“看图想体，看体想图”，也就是看到立体图形，能想象出它的展开图；看到展开图，也能在脑海中还原出它的立体样子。这是一种非常重要的数学能力。 ‹#› 典例分析 例1. 把下面这个纸片沿着虚线折叠，可以围成一个什么样的几何体呢？ A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【分析】： 我们来数一数展开图的面：它由三个长方形和两个三角形组成。根据立体图形的特征，有两个三角形底面和三个长方形侧面的几何体，正是三棱柱，因此正确答案为D。 D 1.7.2013 理论学习之后，我们来看一个例题。请看屏幕上的这个展开图，把它折叠起来会变成什么几何体呢？大家看选项，四棱锥、四棱柱、三棱锥还是三棱柱？我们来分析一下，这个展开图有两个三角形和三个长方形，符合三棱柱的特征，所以正确答案是D。 ‹#› 操作•思考 探究点2 圆柱的“外衣” 动手探索：取一个无上下底面的圆柱模型，沿着它的任意一条高剪开并铺平。仔细观察：展开后得到的是什么平面图形？它的边与圆柱的各部分有什么联系？先大胆猜想，再动手验证！ 💡 核心结论： 圆柱的侧面展开图是一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 1.7.2013 好的，棱柱我们已经研究完了。接下来，我们来看看另一种常见的立体图形——圆柱。大家想象一下，如果我们把一个圆柱的侧面沿着一条高剪开再展开，会得到什么图形呢？没错，是一个长方形。这个长方形的长其实就是圆柱底面的周长，宽就是圆柱的高。 ‹#› 操作•思考 探究点2 圆柱、圆锥的展开图 同样地，我们把一个没有底面的圆锥的侧面沿母线展开，会得到什么图形呢？先结合生活中的蛋筒、圣诞帽等物品大胆猜想，再动手操作验证你的想法。 结论：圆锥的侧面展开图是扇形。 1.7.2013 看完了圆柱，我们再来看看它的“亲戚”——圆锥。圆锥的侧面展开又会是什么图形呢？大家可以想象一下我们平时吃的蛋筒冰淇淋的外壳。没错，圆锥的侧面展开图是一个扇形。这个扇形的弧长就等于圆锥底面的周长。 ‹#› 操作•思考 探究点2 圆柱、圆锥的展开图 例2．如图是某几何体的展开图，该几何体是什么？ A．长方体　B．三棱柱　C．圆锥　D．圆柱 解：观察展开图，它由两个圆形和一个长方形组成。 根据几何体展开图特征，圆柱的侧面展开是矩形，底面是两个圆，故该几何体是圆柱。 D 1.7.2013 我们再来看一个例题巩固一下。屏幕上这个展开图，由两个圆和一个长方形组成，根据我们刚刚学的知识，这很明显就是圆柱的展开图。所以答案选D。大家都做对了吗？ ‹#› 大显身手 认一认：这些平面图形是哪些立体图形的“外衣”？请写出对应立体图形的名称。 ①________②________③________④________ 圆柱 圆锥 六棱柱 长方体 挑战：若正方体展开图中每个小正方形边长为4cm，求其表面积和体积。 答：表面积96cm²，体积64cm³ 解： 1.7.2013 现在是大家大显身手的时候了！这里有四个展开图，请大家快速说出它们分别对应的立体图形是什么。这是对我们前面所学知识的一个综合考察。 ‹#› 💡 图形分析：从展开图的构成（一个长方形 + 两个全等的圆形）可判断，该立体图形为圆柱。其中长方形的一边是圆柱的高，另一边是圆柱底面的周长。 📐 解题步骤： 1. 设圆柱底面半径为 r，高为 h。已知底面周长 C=8π cm，高 h=2 cm。 2. 由周长公式 C=2πr，得 r = C÷2π = 8π÷2π =4 cm。 3. 代入圆柱体积公式 V=πr²h： V = π × 4² × 2 = π × 16 × 2 =32π (立方厘米) ✅ 答案：该立体图形的体积为 32π 立方厘米。 2. 算一算：下图是一个圆柱的表面展开图，长方形长为8π cm，宽为2 cm，求体积？ 挑战计算 展开图 1.7.2013 接下来是一个挑战计算的题目。这个展开图对应的立体图形，它的体积是多少呢？大家需要先判断出它是什么立体图形，然后找到相关的数据，再代入体积公式进行计算。 ‹#› 深入探索 立体几何 · 提升 探究：三棱柱的棱面特征与展开图策略 ▍题目条件 已知直三棱柱的高为 7 cm，底面是边长为 5 cm 的等边三角形。请解决以下问题： ① 数出该三棱柱的棱数与面数；② 补全其表面展开图；③ 求展开时最少剪棱数及剪棱长度的最大总和。 💡 思维切入点 从棱柱的“上下底面全等+侧面平行”结构入手；展开图需保留面的连接关系；剪棱问题转化为“保留必要的棱以维持整体连接”，求最值则需优先选择最长棱。 解析与结论 01 基础结构解析 棱数：上下底面各3条棱 + 3条侧棱 =9条；面数：2个三角形底面 + 3个矩形侧面 =5个。 补全展开图：需在现有部分旁补全一个等边三角形（底面）和一个矩形（侧面），形成连续的平面图形。 02 剪棱策略与最值 • 最少剪棱：只需剪开3条棱（断开部分侧棱与底面的连接，保持图形不散落）。 • 最大总长：优先剪最长的高（7cm），总和为 7+7+7+5+5 =31 cm。 1.7.2013 我们再来看一个深入探索的题目。这里有一个具体的三棱柱，题目分成了三个小问题，分别考察了棱和面的数量、展开图的补全，以及剪开棱的策略。这道题综合性很强，需要大家仔细思考，一步步解决。 ‹#› 巩固练习 教材P11随堂练习 1. 下列图形分别是哪种几何体表面的展开图？先想一想，再折一折。 解：(1) 长方体； (2) 五棱柱 2. 图中的两个图形经过折叠能否围成棱柱？先想一想，再折一折。 解：(1) 能围成三棱柱； (2) 不能围成棱柱 1.7.2013 好了，新知识和例题都讲完了，我们来做几道随堂练习，检验一下大家的掌握情况。这两道题都来自教材，请大家独立完成，然后我们一起来核对答案。 ‹#› 真题感知 1．（2025·江苏淮安·二模）将直棱柱展开，下列示意图中不可能是其表面展开图的是（ ） A． B． C． D． B 解析：该几何体为直三棱柱，其表面展开图的核心特征是两个三角形底面需分别位于长方形侧面的两侧，不能出现在同一侧。观察选项可知，B选项中两个三角形底面出现在了长方形的同一侧，违背了展开图的结构逻辑，因此不可能是它的表面展开图。 1.7.2013 接下来，我们来看一道来自模拟考试的真题。这道题要求我们找出不可能的展开图。解题的关键在于理解棱柱展开图的结构，两个三角形的底面必须分布在长方形侧面的两侧，而不能在同一侧。所以，B选项是错误的。 ‹#› 2．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图是一个直三棱柱的展开图，其中三个面被标示为甲、乙、丙。将此展开图折成直三棱柱后，下列叙述正确的是（） 真题感知 A．甲与乙平行，甲与丙垂直 B．甲与乙平行，甲与丙平行 C．甲与乙垂直，甲与丙垂直 D．甲与乙垂直，甲与丙平行 A 解：折叠后甲与乙为相对面，故互相平行；甲与丙为相邻面，相交成棱，故互相垂直。因此正确答案为A。 1.7.2013 我们再来看一道期中真题。这道题考察的是展开图折叠后，各个面之间的位置关系。解题的关键是判断面与面之间是相对还是相邻。甲和乙是相对面，所以平行；甲和丙是相邻面，所以垂直。因此，正确答案是A。 ‹#› 知识小管家 常见几何体展开图汇总 01 正方体 特征：6个面均为正方形，12条棱长度相等 展开：侧面展开图为长方形（或正方形），由6个正方形拼接，相对面不相邻。 02 长方体 特征：相对的面完全相同，棱分长、宽、高三组 展开：侧面展开图为长方形，由6个长方形组成，对面大小一致。 03 五棱柱 底面：2个全等的正五边形 侧面：5个完全相同的长方形 展开：侧面展开为长方形，由5个矩形并排拼接。 04 圆柱 底面：2个大小相同的圆形 侧面：1个光滑的曲面 展开：侧面沿高剪开是长方形（长=底面周长）。 05 圆锥 底面：1个圆形 侧面：1个曲面（扇形的一部分） 展开：侧面展开是一个扇形（弧长=底面周长）。 💡 核心记忆口诀：棱柱侧面展长方，圆柱侧面也一样；圆锥侧面是扇形，底面形状定名称。掌握展开与折叠，空间想象不用慌！ 1.7.2013 课程接近尾声，我们来系统地梳理一下今天学习的知识。这张表格汇总了我们今天接触到的所有常见几何体的展开图信息，包括它们的底面、侧面形状等。大家可以对照这个表格，把今天的知识点串联起来，形成一个完整的知识体系。 ‹#› 课堂小结 01 知识新解：学会绘制圆柱、圆锥的展开图，能够精准识别并区分它们的侧面展开图特征，理清平面与立体的对应关系。 02 能力进阶：通过观察与空间想象，能准确判断图形是否为几何体的展开图，还能依据展开图还原出对应的立体模型，提升空间思维能力。 03 感悟收获：深刻感受到数学与现实生活的紧密联结，体会几何图形变换的奇妙魅力，发现数学在生活场景中的独特美感与应用价值。 1.7.2013 最后，让我们一起回顾一下今天的收获。通过本节课的学习，我们不仅学会了如何画和识别展开图，更重要的是，我们的空间想象能力得到了锻炼。希望大家能感受到图形变换的奇妙，发现数学在生活中的美。 ‹#› 课后练习 习题 1.2 1. (P15) 哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？先想一想，再动手折一折。 5. (P16) 观察图中的两个平面图形，经过折叠能否围成一个棱柱？尝试动手验证。 课本 P15 - P16 参考答案： 1. 三棱柱可展开为图(1)；圆柱可展开为图(2)；六棱柱可展开为图(3)；圆锥可展开为图(4)。 5. 两个平面图形经过折叠后，均能成功围成对应的棱柱。 1.7.2013 今天的课就到这里。课后请大家完成教材习题1.2的第1题和第5题，这有助于大家巩固今天所学的知识。希望大家课后多加练习，熟练掌握展开与折叠的技巧。同学们，下课！ ‹#› $