精品解析：浙江省绍兴市越城区2025学年第二学期期末学业质量诊断卷 八年级 数学卷

越城区2025学年第二学期期末学业质量诊断卷 八年级 数学卷 温馨提示： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足三个条件：根指数是；被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：A．，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意， B．的被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意， C．，含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意， D．符合最简二次根式的条件，是最简二次根式，符合题意． 2. 国产人工智能大模型DeepSeek不断迭代进化，其技术实力始终是全球AI领域的关注焦点．以下四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合． 【详解】根据中心对称图形的定义，A选项、B选项、D选项的图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形不重合，C选项的图形绕着中心点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合． 3. 某小组6名学生的体育测试成绩（满分分）依次是：，，，，，，则它的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再根据数据个数的奇偶性计算中位数即可． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，， ∵这组数据共有个，个数为偶数， ∴中位数为中间两个数的平均数，即， ∴这组数据的中位数是． 4. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 5. 如图，在中，的平分线交于点．若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据角平分线的定义得出，进而得出，根据等角对等边得出，即可求出，利用平行四边形的周长公式即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长是． 6. 关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ） A. 两实数根之和为1 B. 两实数根之积为1 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 7. 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 8. 《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和竿长各是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为尺，则下列方程不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论：当设门宽为时，竹竿长为，则门高为；当设竿长为时，门宽为，门高为；当设门高为时，竹竿长为，则门宽为；运用勾股定理的知识列式即可求解． 【详解】解：设门的宽、高和竿长其中一个为尺， 当设门宽为时，竹竿长为，则门高为， ∵将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门，且门的四个角均为直角， ∴，故A选项正确，不符合题意； 当设竿长为时，门宽为，则门高为， ∴，故D选项正确，不符合题意； 当设门高为时，竹竿长为，则门宽为， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据B选项，结合图示得到，表示竹竿长为，表示门的高为， ∴B选项错误，符合题意 ． 9. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F．若，，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，题意可得，，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，利用勾股定理求出，得到的值；再次利用直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，求出，根据，求出，即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的边长是． 10. 如图，在中，，，，点是边上一个动点（点不与点，重合），以为边作一个，且过点，则以下说法中：①当时，；②当时，；③的面积始终不变；④在点与点重合的情形下，随着点运动，线段的取值范围是．正确的说法有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质即可判断①；过点作于点，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可判断②；根据平行四边形的面积公式即可判断③；根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短来确定线段的取值范围即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，故说法①正确； 如图，过点作于点， ∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故说法②错误； 如上图，连接， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴以为底且边上的高为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴和的底边都是且高相等，设为， ∴， ∴， ∴的面积始终不变，故说法③正确； 当点与点重合时，如图，设交于点，连接、， ∵是平行四边形， ∴即，， 当时，取得最小值， ∵，，，即与之间的距离为， ∴取得最小值为， 此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点是边上一个动点（点不与点，重合），且， ∴，即， ∴，故说法④错误， 综上所述，正确的说法有个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵ 代数式 有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 12. 已知一组数据的离差平方和为100，将这组数据分成两组，这两组数据的组内离差平方和为78，则这两组数据的组间离差平方和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组内离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组间离差平方和． 【详解】解： ∴这两组数据的组间离差平方和为22． 13. 用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 【答案】三角形三个内角都小于 【解析】 【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．据此解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设三角形三个内角都小于． 14. 年是“体重管理年”三年行动收官之年，系列活动持续点燃全民健身热潮．越越从点出发，沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身（如图），当到达五边形各顶点时调整方向需要转过一个角，那么他跑完一圈返回出发点时，转过的这些角度之和是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据身体每次转过的角度为五边形的一个外角，再求外角和即可． 【详解】解：∵身体每次转过的角度为五边形的一个外角， ∴他每跑完一圈时，身体转过的角度之和为五边形的外角和， ∴转过的这些角度之和是． 15. 如图，在四边形中，对角线交于点，，，点，分别是，的中点，连结，若点是对角线上的一个动点，则的周长的最小值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】取的中点E，连接，由三角形中位线定理得到，则可证明，由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，根据，当E、P、N三点共线时，有最小值，最小值为5，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取的中点E，连接， ∵点E、M、N分别是的中点， ∴分别是，的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴； 又∵， ∴， ∴， 由线段中点的定义可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当E、P、N三点共线时，有最小值，最小值为5， ∴的周长的最小值为． 16. 如图，在中，，，，点是边所在直线上一动点，连结，将沿折叠后，点的对应点为点，若点恰好落在直线上，则的长度为_______． 【答案】4或12 【解析】 【分析】分两种情况：①点在上，②点在的延长线上，过点作的垂线，利用勾股定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：①如图，当点在上时，过点作，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②如图，当点在的延长线上时，过点作于点， 同理可得：，， ∴在中，， ∴； 综上，的长度为4或12． 【点睛】本题的难点在于分两种情况讨论，做到不遗漏． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算，二次根式的乘除混合运算．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减混合运算，二次根式的乘除混合运算是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可； （2）先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 开方，得， 解得，． 【小问2详解】 解：， 方程变形为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． 19. 作图题：如图，在方格纸中，只用没有刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图1中画出以点为对称中心的． （2）在图2中画出的中线． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，并延长，结合格点图得到格点，使得，同理找到格点，使得，再连接即可得； （2）结合格点图找到格点，连接，使得四边形是平行四边形，再连接，交于点，则即为所求． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 20. 某校八年级甲、乙、丙三个班进行数学测验，各班成绩的箱线图如图所示．下表是三个班成绩的五个关键数据： 班级 最小值 最大值 甲 63 75 79 85 96 乙 53 68 79 85 100 丙 62 77 82 88 96 （1）根据图表，可得丙班至少有25%的同学的成绩大于或等于分． （2）通过计算说明甲、乙、丙三个班中哪个班中间50%的同学成绩最集中？ （3）小明说：“甲班和乙班的中位数相同，上四分位数也都相同，所以两班成绩的总体水平一样．”你同意他的说法吗？请结合图表数据说明理由． 【答案】（1）88 （2）甲班中间50%的同学成绩最集中 （3）不同意， 最小值不同：甲班最低63分，乙班最低53分，乙班低分区间学生更多； 下四分位数差异大：甲班，乙班，乙班有25%学生成绩低于68，甲班仅25%低于75; 最高分不同：乙班最高分100，甲班96，但乙班成绩离散程度更大，低分拖低整体水平； 综上，仅中位数、上四分位数相同不能说明两班总体水平一致，故不同意小明说法． 【解析】 【分析】（1）箱线图中为上四分位数，代表75%的同学成绩小于等于该数值，剩余至少25%同学成绩大于或等于该数值； （2）中间50%同学成绩对应四分位距：四分位距，四分位距越小，中间50%数据越集中； （3）中位数、上四分位数仅代表部分分位点，整体成绩分布、下限、离散程度不同，总体水平存在差异． 【小问1详解】 解：查表丙班，因此丙班至少有25%的同学成绩大于或等于88分． 【小问2详解】 解：甲班四分位距：， 乙班四分位距：， 丙班四分位距：， 比较：，甲班四分位距最小． 所以甲班中间50%的同学成绩最集中． 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，，为的中点，于点，交于点，连结，．求证： （1）． （2）四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵，为的中点， ∴在中，， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一即可得证； （2）先得出，再得出，根据平行四边形和菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 证明：略． 22. 某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 【答案】（1） （2） 该公司有名或名员工参加观影 【解析】 【分析】（1）根据人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元，列式求解即可； （2）设该公司有名员工参加观影，得到人均票价为元，且，再根据共支付给电影院电影票费用1008元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元， ∴组织25人观影时，元， ∵， ∴人均需支付票价为元； 【小问2详解】 解：观影人数不超过20人，人均票价为50元，则支付总费用为元， ∵， ∴观影人数超过20人， 设该公司有名员工参加观影， ∴ 人均票价为元，且， 解得， ∵共支付给电影院电影票费用1008元， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴该公司有名或名员工参加观影． 23. 【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． （1）当时，求这两条对角线的长． （2）若该根对四边形是矩形，求对角线的长． （3）若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】（1）两条对角线的长分别为和 （2）对角线的长为 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）把代入方程，得到具体一元二次方程，解方程求出两个正根，即为对角线长度； （2）矩形对角线相等，说明一元二次方程有两个相等实数根，即判别式，先求出，再解方程得到对角线长度； （3）菱形对角线互相垂直平分，设对角线为，则半对角线与菱形边长构成直角三角形，满足勾股定理：；结合韦达定理：，，再利用完全平方变形求解，最后检验且根为正数． 【小问1详解】 解将代入方程： ， 化简： ， 因式分解： ， 解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求， 两条对角线长分别为和． 【小问2详解】 解：由矩形对角线相等， 则方程有两个相等实数根，． ， 令： ， ， ， 解得（满足）， 把代入原方程： ， ， ， ， 矩形对角线的长为6． 【小问3详解】 解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理： ， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理： ， 两边同乘4：， 由完全平方公式，代入： ， ， ， 解得， 检验：，代入原方程： ， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求． 的值为． 24. 如图1，四边形为正方形，将边绕点顺时针旋转得到，平分交于点，连结并延长交延长线于点． （1）①当时，则的度数是 ． ②求的度数． （2）如图2，连结，求证：． 【答案】（1）①；② （2）证明：如图，过点作，交延长线于点，过点作于点， 由（1）②已得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， 由（1）②已得：， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①先得出和的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； ②先得出和的度数，进而可得的度数，再求出的度数，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （2）过点作，交延长线于点，过点作于点，先得出，再得出，则，进而可得，利用勾股定理可得，然后得出，据此即可得证． 【小问1详解】 解：①∵四边形为正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴． ②∵四边形为正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 越城区2025学年第二学期期末学业质量诊断卷 八年级 数学卷 温馨提示： 1．本试题卷共6页，有三个大题，24个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效． 3．答题前，认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 国产人工智能大模型DeepSeek不断迭代进化，其技术实力始终是全球AI领域的关注焦点．以下四款常用的人工智能大模型的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某小组6名学生的体育测试成绩（满分分）依次是：，，，，，，则它的中位数是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的平分线交于点．若，，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（ ） A. 两实数根之和为1 B. 两实数根之积为1 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和竿长各是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为尺，则下列方程不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F．若，，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点是边上一个动点（点不与点，重合），以为边作一个，且过点，则以下说法中：①当时，；②当时，；③的面积始终不变；④在点与点重合的情形下，随着点运动，线段的取值范围是．正确的说法有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是______． 12. 已知一组数据的离差平方和为100，将这组数据分成两组，这两组数据的组内离差平方和为78，则这两组数据的组间离差平方和为_______． 13. 用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 14. 年是“体重管理年”三年行动收官之年，系列活动持续点燃全民健身热潮．越越从点出发，沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身（如图），当到达五边形各顶点时调整方向需要转过一个角，那么他跑完一圈返回出发点时，转过的这些角度之和是_______度． 15. 如图，在四边形中，对角线交于点，，，点，分别是，的中点，连结，若点是对角线上的一个动点，则的周长的最小值是_______． 16. 如图，在中，，，，点是边所在直线上一动点，连结，将沿折叠后，点的对应点为点，若点恰好落在直线上，则的长度为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 作图题：如图，在方格纸中，只用没有刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹． （1）在图1中画出以点为对称中心的． （2）在图2中画出的中线． 20. 某校八年级甲、乙、丙三个班进行数学测验，各班成绩的箱线图如图所示．下表是三个班成绩的五个关键数据： 班级 最小值 最大值 甲 63 75 79 85 96 乙 53 68 79 85 100 丙 62 77 82 88 96 （1）根据图表，可得丙班至少有25%的同学的成绩大于或等于分． （2）通过计算说明甲、乙、丙三个班中哪个班中间50%的同学成绩最集中？ （3）小明说：“甲班和乙班的中位数相同，上四分位数也都相同，所以两班成绩的总体水平一样．”你同意他的说法吗？请结合图表数据说明理由． 21. 如图，在中，，为的中点，于点，交于点，连结，．求证： （1）． （2）四边形是菱形． 22. 某电影院为吸引团体观影，推出如下收费标准： 如果观影人数不超过20人，人均票价为50元； 如果人数超过20人，每增加1人，人均票价降低2元，但人均票价不得低于28元． （1）如果某公司组织25人观影，那么人均需支付电影票 元； （2）现某公司组织员工观影，共支付给电影院电影票费用1008元，请问该公司有多少名员工参加观影？ 23. 【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． （1）当时，求这两条对角线的长． （2）若该根对四边形是矩形，求对角线的长． （3）若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 24. 如图1，四边形为正方形，将边绕点顺时针旋转得到，平分交于点，连结并延长交延长线于点． （1）①当时，则的度数是 ． ②求的度数． （2）如图2，连结，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $