精品解析：广东省东莞市2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试题

2024—2025学年度第二学期教学质量检查 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算． 【详解】， 故选：B． 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断向量组中两个向量是否共线． 【详解】由已知是平面内的一个基底， 则若共线，则存在实数，使得，即，与是基底矛盾，因此不共线， 若共线，则存在实数，，所以，与是基底矛盾，因此不共线， 因为，所以不共线，共线， 因此D不能作为基底， 故选：D． 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 【答案】C 【解析】 【分析】列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况， 事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误， 由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误； 因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确. 故选：C. 4. 在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数与复平面内的点的对应关系确定的坐标，即可确定其对应的复数. 【详解】因为复数，在复平面内对应的点为，， 即，， 所以， 则对应复数为． 故选：A． 5. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由圆台侧面积求得母线长，再求得高后，由体积公式计算． 【详解】记圆台上下底半径分别为，母线长为，高为， 则侧面积为，， 所以高为， 体积， 故选：B． 6. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面间位置关系判断. 【详解】对于A，，且，可能与平行或在内，同样可能在平面内，A错； 对于B，，可能在内，，则可能在内，可能与相交，B错； 对于C，，且，则，又，则，C正确； 对于D，，且，可能相交，可能平行，也可能异面，D错； 故选：C。 7. 甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为．在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式计算. 【详解】在两轮活动中答对3道题是目，则总共只能错一题， 概率为， 故选：A. 8. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求解． 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 已知随机事件与，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对立事件、独立事件等概率公式求解后判断. 【详解】对A，，，A错； 对B，与相互独立，则，B正确； 对C，若，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：BCD. 10. 下列有关向量与复数的结论正确的有（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 若非零复数满足，则 C. 若非零向量满足，则 D. 若非零复数满足，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量数量积定义及运算判断AC，根据复数的运算法则判断BD. 【详解】对于A，，则可能，不能得出，A错； 对于B，非零复数满足，则，B正确； 对于C，非零向量满足，则，即，所以，C正确； 对于D，例如，则，但，D错. 故选：BC. 11. 在直三棱柱中，，则下列结论正确的有（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 该三棱柱可完全放入体积为的球中 C. 表面积为的球可以完全放入该三棱柱中 D. 若动点满足，则动点在侧面形成的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】把平面和平面沿摊平，由平面几何知识求解判断A，求出三棱柱的外接球半径判断B，求出的内切圆半径与球的半径比较可判断C，利用球的性质求得弧长（轨迹长度）判断D． 【详解】 对A，把平面和平面沿摊平，如下图，则为的最小值，A正确； 对B，体积为的球的半径为，由得， 底面是直角三角形，两直角边的长都是2，设分别是中点，是的中点，则是三棱柱的外接球的球心，外接球半径为，而， 因此该三棱柱不可完全放入体积为的球中，B错； 对C，表面积为的球的半径为，由得(三角形ABC的内切圆半径)，因此该球可以完全放入该三棱柱中，C正确； 对D，动点在侧面形成的轨迹是以为球心，为半径的球面被侧面截得的圆弧，由选项B知是该圆弧所在圆的圆心，， 因此，从而，又， 所以圆弧的长度为，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为__________（单位：分）． 【答案】92 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解． 【详解】6名同学的成绩按从小到大顺序排列为：83，85，87，90，92，93， ， 所以第75百分位数为第5个数：92. 故答案为：92. 13. 在长方形中，，为的中点，为边上靠近的三等分点，与交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式计算． 【详解】在长方形中，， 由已知． 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 14. 已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为__________；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】水面恰好经过三个孔时，直接作出截面，求剩余三棱柱的体积即可；当水面只过时，作出截面，剩余部分为三棱台，设，求处三棱台体积的最小值即可. 【详解】设为中点， 因为都是中点，所以共线， ，即四点共面，即水面为平面， 剩余三棱柱，体积为， 则装水最大体积为， 当水面只过时，过作直线与交于点（在点下方）， 与交于点，水面交于， 平面平面，平面平面， 平面平面，， 所以剩余部分为三棱台，设， 又为中点，，所以， 又， 所以， 当时取等，所以取得最小值，此时点在点B处，点E在点处， 剩余部分为三棱锥，台体体积公式仍适用， 所以此时可装水的最大体积为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理化简边角关系，解出tanB的值，从而得到答案; （2）利用余弦定理解出a的值，再用正弦面积公式求出答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，因为，所以， 所以，即，因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，得， 解得或（舍去），所以． 16. 某班级举办“以赛促学，挑战自我”数学竞赛活动，活动后将参赛的40名学生成绩分成5组：①，②，③，④，⑤．通过统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，已知①组、②组的频率之和为，①组和⑤组的频率相同． （1）估计此次考试成绩的众数、平均数； （2）已知②组学生成绩的平均数和方差分别为64和50，④组学生成绩的平均数和方差分别为84和70，据此计算②组和④组所有学生成绩的方差． 参考公式：，其中为总样本平均数． 【答案】（1）众数的估计值为75，平均数的估计值为73 （2）②组和④组所有学生成绩的方差为140． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图众数及平均数定义计算求解； （2）应用分层抽样平均数及方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以考试成绩的众数的估计值为75， 平均数的估计值为． 【小问2详解】 记②组、④组的平均数与方差分别为， 则，由题意得②组、④组分别有14人、6人， 所以②组、④组学生成绩的平均数为， 所以②组、④组学生成绩的方差为 ， 所以②组和④组所有学生成绩的方差为140． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【小问1详解】 如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 18. 现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． （1）当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 【答案】（1）①公平，理由见解析；②答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）①用列举法写出样本空间，然后由古典概型概率公式计算两者获胜的概率是否相等即可判断；②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，即可确认输赢，由列举法写出样本空间计算概率后可得； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以，构造事件，然后计算概率检验. 【小问1详解】 ①当时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间，所以， 记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括，所以， 由古典概型得 同理“游戏结果小于5”的概率也是， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的 ②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配， 由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，假设再进行2次“点数游戏”，则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间（甲 胜，甲胜），（甲 胜，乙胜），（乙胜，甲 胜），（乙胜，乙胜），所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 由古典概型得， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金． 【小问2详解】 当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以， 构造事件， 则， 由古典概型得， 所以，满足题意． 19. 如图一，在矩形中，．将沿折起，得到三棱锥． （1）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离； （2）当二面角的大小为时，求； （3）如图二，在三棱锥中，已知，其中、、．若二面角的大小为，试利用的三角函数值表示，请写出你的结论，并给出证明． 【答案】（1） （2） （3）结论：，证明见解析 【解析】 【分析】（1）当三棱锥的体积最大时，即点到平面的距离最大，此时平面平面，然后利用求得点面距； （2）在矩形中作的对应线段，延长的交于，可得，然后利用余弦定理求解； （3）方法一：过上一点作交于点，作交于点，连接，则即二面角平面角，然后设，在三棱锥中利用余弦定理求解证明，方法二：在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理由余弦定理得，再化简即可. 【小问1详解】 因为， 所以当三棱锥的体积最大时，即点到平面的距离最大， 此时平面平面，如图，过作于，连接， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为在矩形中，， 所以在中，， 所以，故， 所以， 故，所以， 所以， 所以， 所以的面积， 设点到平面的距离为， 则由，得， 所以． 【小问2详解】 如图，在矩形中作的对应线段，延长的交于， 在，由，，所以， 如图，在三棱锥中， 由，所以为二面角的平面角，即， 在中，， 在中，． 【小问3详解】 结论：． 证明：如图，过上一点作交于点，作交于点， 连接，则即二面角的平面角， 方法一：设，则在中，得， 同理在中，得 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得 方法二：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② ②①，得， 则， 即， 两边同除以，得， 所以， 所以，即，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期教学质量检查 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（ ） A. 互斥 B. 相互对立 C. 相互独立 D. 相等 4. 在复平面内，O为坐标原点，复数，对应的向量分别是，，则对应的复数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆台上底面半径为1，下底面半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 7. 甲、乙两人组成“莞队”参加答题活动，每轮活动甲、乙各答一道题目，已知甲每轮答对题目的概率为，乙每轮答对题目的概率为．在每轮活动中，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“莞队”在两轮活动中答对3道题目的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 已知随机事件与，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列有关向量与复数结论正确的有（ ） A. 若非零向量满足，则 B. 若非零复数满足，则 C. 若非零向量满足，则 D. 若非零复数满足，则 11. 在直三棱柱中，，则下列结论正确的有（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 该三棱柱可完全放入体积为球中 C. 表面积为的球可以完全放入该三棱柱中 D. 若动点满足，则动点在侧面形成的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 从某中学抽取6名同学，他们的数学成绩如下：87，85，83，90，92，93（单位：分），则这6名同学数学成绩的第75百分位数为__________（单位：分）． 13. 在长方形中，，为的中点，为边上靠近的三等分点，与交于点，则__________． 14. 已知正四棱柱中，，在的中点各有一个孔，．若在此四棱柱内装水，当水面恰好经过三个孔时，可装水的最大体积为__________；若此四棱柱可以任意放置，可装水的最大体积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 某班级举办“以赛促学，挑战自我”数学竞赛活动，活动后将参赛40名学生成绩分成5组：①，②，③，④，⑤．通过统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，已知①组、②组的频率之和为，①组和⑤组的频率相同． （1）估计此次考试成绩的众数、平均数； （2）已知②组学生成绩的平均数和方差分别为64和50，④组学生成绩的平均数和方差分别为84和70，据此计算②组和④组所有学生成绩的方差． 参考公式：，其中为总样本平均数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． （1）当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 19. 如图一，矩形中，．将沿折起，得到三棱锥． （1）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离； （2）当二面角的大小为时，求； （3）如图二，在三棱锥中，已知，其中、、．若二面角的大小为，试利用的三角函数值表示，请写出你的结论，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $