1.2 从立体图形到平面图形（第1课时） 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

这是一份初中数学开学课件，共25页，聚焦“从立体图形到平面图形”，以正方体展开图为核心。包含知识回顾、动手剪正方体活动、11种展开图分类归纳、相对面判断及例题练习，构建从立体到平面转化的学习支架。 资料注重核心素养培养，通过“给正方体脱衣服”动手活动发展空间观念，用“一四一、一三二”等口诀帮助推理分类规律，结合“同行隔一个”判断相对面培养模型意识。真题演练和避坑指南提升应用能力，助力学生空间想象与动手能力，为教师提供层次分明的教学方案。 七年级学生处于小学到初中过渡阶段，空间观念尚未成熟，抽象思维正在发展。这份资料通过直观操作与规律归纳，能帮助学生逐步建立立体与平面的联系，适应初中几何学习，为后续空间图形知识打下基础。

第一章 丰富的图形世界 第一课时 1.2 从立体图形到平面图形 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。我们已经进入了一个充满想象力的新世界——‘丰富的图形世界’。今天，我们将一起探索一个非常有趣的魔法：如何把一个方方正正的立体图形，变成一张平平的平面图。准备好了吗？让我们一起开启今天的奇妙旅程吧！ ‹#› 学习目标 1 2 3 通过动手展开与折叠正方体的实践活动，直观认识正方体的展开图，深入感受其展开形式的多样性与几何趣味性。 掌握正方体的11种标准展开图并学会分类归纳，能准确识别展开图、判断其中相对的面，解决相关空间位置问题。 在探究过程中锻炼空间想象能力与动手操作能力，体会立体与平面图形的转化关系，激发对几何学习的兴趣。 1.7.2013 这节课我们要完成几个小任务，就像游戏闯关一样！大家看，我们的目标是：第一，我们要亲手把一个正方体‘拆开’，看看它摊平了会是什么样子。第二，我们要认识正方体所有可能的‘摊平’样子，一共有11种哦，我们还要学会给它们分分类。第三，也是最酷的，我们要能看着一张平面图，就立刻说出原来的正方体上，哪两个面是相对的‘好朋友’。最后，通过这节课，我们每个人的‘空间大脑’都会变得更厉害！大家有信心完成这些挑战吗？ ‹#› ● 面的奥秘：6个面都是大小相同的正方形，就像骰子的六个面，方方正正。 ● 棱的骨架：12条棱是正方体的“骨架”，支撑起立体结构，每条棱长度完全一样。 ● 顶点的交汇：8个尖尖的顶点，是三条棱相交的地方，稳固地连接着整个正方体。 正方体的特征 全相等 全相同 知识回顾 1.7.2013 在开始新魔法之前，我们先来跟老朋友‘正方体’打个招呼。谁能告诉老师，正方体长什么样？它有什么特点？（等待学生回答）说得太棒了！正方体有6个方方正正的面，就像一个骰子，每个面都一样大。它还有12条棱，就像它的骨架，每根骨架都一样长。最后，它还有8个尖尖的顶点。记住这些特征，对我们接下来的学习至关重要哦！ ‹#› 新知初探 什么是正方体的展开图？ 定义解析：将正方体的表面沿棱剪开，摊平后得到的没有重叠的平面图形，就是正方体的展开图。它是立体图形向平面图形的转化！ 01 沿棱剪开 必须沿着正方体的棱进行裁剪，不能破坏任何一个面的完整性，这是展开图的基本前提。 02 展成平面 剪开后要将所有面完全铺平，处于同一个平面内，且各个面之间不能出现重叠或遮挡的情况。 03 边边相连 展开后，原本在正方体中相邻的面，至少保留一条公共边相连，不能是六个完全独立的正方形。 💡 核心记忆法：“一四一、一三二，一在同侧任意移；二二二、阶梯路，三三三、面对面。” 掌握这些规律，快速识别展开图！ 1.7.2013 今天我们要学习一个新名词——‘展开图’。听起来有点复杂？其实很简单！想象一下，我们有一个用硬纸板做的正方体盒子，现在我们要沿着它的棱把它剪开，然后把它完完全全地摊平在桌子上。这个摊平后的图形，就是正方体的展开图啦！大家注意这几个关键词：我们必须沿着‘棱’剪，不能把面剪坏；展开后必须是一个‘平面’，不能有重叠；而且，原来挨在一起的面，展开后至少要有一条边是‘相连’的，不能完全分开哦。 ‹#› 导入新课 动手试一试：给你的正方体“脱衣服”！ 小挑战： 谁能剪出最特别的展开图？ 🛠️ 小组活动进行时 1. 取出准备好的正方体模型或纸盒； 2. 沿着棱小心剪开，将其展成一个平面图形； 3. 尝试不同的剪法，与组员比比谁的图形更独特。 🤔 课堂互动时刻 • 你是怎么剪的？有什么小技巧吗？ • 你得到的图形和同桌的一样吗？哪里不同？ • 大胆猜测：正方体的展开图一共有多少种？ 1.7.2013 理论说完了，现在轮到大家大显身手了！请每个小组拿出你们的正方体模型。我们来玩一个‘给正方体脱衣服’的游戏。请大家小心地沿着棱剪开，把它变成一张平面图。看看你能得到什么样的图形？剪完后，和小组里的同学比一比，看看谁的‘衣服款式’最特别！开始行动吧！（学生活动期间巡视指导）好了，时间到！谁愿意来展示一下你的作品？哇，大家的想象力真丰富！看来同一个正方体，居然能展开成这么多不同的样子。那到底有多少种呢？让我们一起去探索吧！ ‹#› 新知探究 探究点1 正方体的展开图 思考：一个正方体能展开成多少种不同的平面图形？ 答案揭晓： 11种 不多不少，正好凑成一个大家族！ 这11种展开图形态各异，但并非杂乱无章。数学家们根据正方形的排列规律，将它们划分为四大类。记住这些分类，你就能一眼认出哪些图形能折成正方体啦！ 01 主流阵型 (9种) •“1-4-1”型 (6种)：中间一排4个，上下各1个，是最常见的类型。 •“2-3-1”型 (3种)：中间3个，上方2个，下方1个，需注意对齐方式。 02 特殊阵型 (2种) •“2-2-2”型 (1种)：像阶梯一样，每层2个，共3层，非常对称。 •“3-3”型 (1种)：两排各3个，只有一行错开一格，最容易记混。 1.7.2013 刚才大家剪出了各种各样的图形，那你们知道吗，一个正方体总共只有11种不同的展开图！就像一个大家族，不多不少，正好11个成员。是不是很神奇？这11种图形各有特点，为了方便记忆，数学家们还把它们分成了几大类。接下来，我们就来认识一下这个大家庭里的每一位成员！ ‹#› ✨ 核心思路：按“行数+每行方块数”分类 正方体的11种展开图看似杂乱，实则暗藏规律。我们根据展开后正方形的排列行数与每行数量，将它们归纳为四大经典类型，让记忆更轻松！ ❓ 互动猜想：这些数字组合代表什么含义？ 小提示：试着观察每一种展开图中，横向排列的正方形个数，就能破解数字密码！ 分类秘籍：11种展开图分组 2-2-2 共11种 分组记忆 1.7.2013 面对这11个图形，是不是有点眼花缭乱？别担心，我们有分类秘籍！数学家们根据展开图的结构，把它们分成了四个小组，分别是‘1-4-1’型、‘2-3-1’型、‘3-3’型和‘2-2-2’型。大家看到这些数字组合，是不是很好奇它们代表什么？这其实是一个非常巧妙的记忆方法，我们马上来揭晓！ ‹#› 新知探究 探究点1 正方体展开图 共11种基本类型 立体原型 6个面两两相对 01 核心特征：“1-4-1”型结构 展开图呈“中”字变形结构：中间一行横向排列4个正方形作为核心层，上方和下方各有1个正方形（可位于核心层的任意一侧），上下两个正方形的位置可左右移动，形成多种变体。 典型形态 上下各1个， 中间连4个 02 数量统计：共6种 这是正方体展开图中数量最多的一类。通过改变上下两个正方形在中间4个正方形上的左右位置，可衍生出6种不同的合法展开形式。 03 快速记忆口诀 “中间四连方，上下各一随意放； 六样变化不用慌，认准结构好辨认。” 1.7.2013 我们先来看第一大家族——‘1-4-1’型。大家看，这个名字是不是很形象？‘4’代表中间有一排4个正方形，‘1’代表上面有1个，下面也有1个。就像一个‘中’字变形了一样。这种类型是最常见的，一共有6种不同的样子。大家仔细观察，上面的那个‘1’和下面的那个‘1’可以在中间‘4’的哪个位置呢？ ‹#› 新知探究 探究点2 正方体展开图 “2-3-1”型解析 🏛️ 家族核心特征 结构上呈现“中间稳、上下配”： ① 中间一行固定排列3个正方形（核心躯干）； ② 上方有2个正方形并排相连（不可分离）； ③ 下方悬挂1个正方形（独立存在）。 形态 A：左偏式 上2居左，下1跟从 形态 B：居中式 上2居中，下1对中 形态 C：右偏式 上2居右，下1对齐 💡 快速记忆口诀：“二三走中间，上下各一边，二要手拉手，一孤单单站”。此类型共3种情况，区别仅在于上下方小正方形相对于中间“3连块”的位置偏移。 1.7.2013 接下来是第二大家族——‘2-3-1’型。这个也很好记！中间是3个正方形，上面是2个正方形‘手拉手’，下面是1个正方形。注意哦，上面的2个必须是并排的，不能分开。这种类型有3种。大家看，上面的‘2’和下面的‘1’可以在中间‘3’的不同位置，形成了不同的样子。 ‹#› 新知探究 第三家族 3-3型展开图 什么是“3-3”型？ 正方体展开图中的独特结构 形似“楼梯”的经典排列 ▌ 结构特点解析 由上下两行组成，每行整齐排列3个正方形；两行之间仅通过一个正方形相连，呈“台阶式”左右错开，无重叠无“田”字结构。 01 家族成员数量 该类型是正方体展开图中的“独苗”，仅有1种基本形态，没有任何变形或变体，是最容易识别的类型之一。 02 直观形态联想 整体视觉效果像一个向上的“楼梯”或“台阶”，上下两行互不平行对齐，仅靠一个方块连接，辨识度极高。 独一无二 在11种正方体展开图中 它是唯一的“3-3”结构代表 ✨ 趣味记忆口诀：“三三错开一线牵，楼梯形状很好辨；独此一种无分号，正方体展开记心间！” 1.7.2013 第三大家族非常特别，叫做‘3-3’型。顾名思义，它就是由两行组成，每行都是3个正方形。但是注意看，这两行不是完全对齐的，它们像台阶一样错开，只靠一个正方形连接。这种类型非常独特，只有1种。大家记住它的样子了吗？像不像一个楼梯？ ‹#› 新知探究 第四家族 2-2-2型 什么是“2-2-2”型展开图？ 它是正方体展开图的第四大家族，结构独特，由三行两列组成，像台阶一样层层递进，是考试中常见的基础考点。 01 结构特点 整体由三行构成，每行整齐排列2个正方形。上下行之间相互错开，不形成对齐的列，视觉上呈现出明显的“台阶式”错落感。 02 数量特征 在正方体的11种标准展开图中，“2-2-2”型是结构最对称的类型之一，仅有1种唯一的标准形式，没有其他变体。 03 快速识别 记忆口诀：“二三错开，步步登高”。看到三行两列且行与行之间相互错开的排列，即可判定为“2-2-2”型展开图。 1.7.2013 最后一个家族是‘2-2-2’型。它由三行组成，每行都是2个正方形，像一个三层的小台阶，一层一层往上走。这种类型也只有1种。大家看，它是不是很有规律感？ ‹#› 新知巩固 小试牛刀 展开图辨析 例1：下列图形中，哪些是正方体的展开图？ B． D． A． C． 解析：A、出现“田”字格结构，无法折成正方体，排除； B、排布方式不符合11种标准类型，无法折成正方体，排除； C、属于“1-4-1”型标准展开图，可以折成正方体，符合题意； D、出现“凹”字形结构，存在重叠面，无法折成正方体，排除。 C 1.7.2013 好了，认识了所有家族成员，我们来做个小练习，看看大家是不是火眼金睛！请看屏幕上的这几个图形，哪些才是真正的正方体展开图呢？请大家仔细观察，运用我们刚刚学的分类方法来判断。谁来说说你的答案？并告诉大家你是怎么判断的？非常好！我们发现，有些图形虽然看起来像，但它们是‘假冒伪劣’的。比如出现‘田’字格的，或者有‘凹’字形的，都不可能折成正方体。大家一定要记住这些‘陷阱’哦！ ‹#› 探究点2 从平面展开到立体还原 尝试•思考 给出一个正方体的展开图，你能在脑海中想象出它折叠后的立体样子吗？这就像一场空间“反向魔法”，试着先在脑海中构建出正方体的结构，再动手验证你的猜想吧！ 4 3 2 1 5 6 解题的核心关键，是精准锁定展开图中“相对的面”！ 若两个正方形中间隔着一个正方形，它们就是折叠后相对的面；掌握这个规律，就能快速破解折叠谜题。 1.7.2013 我们已经学会了把立体的正方体展开，现在我们来挑战反向魔法——把一张展开图折叠回正方体！这听起来更难了，对不对？别担心，这个魔法的关键在于找到‘相对的面’。在展开图里，哪两个面是隔着一个正方形的‘好朋友’，折叠后它们就是相对的。掌握了这个技巧，折叠就变得简单啦！ ‹#› 典例分析 挑战升级：例2 —— 正方体展开图折叠后，A、B是否为最远顶点？ 题目：如图是一个正方体的表面展开图，其中标注了顶点A和顶点B。若将该展开图沿虚线折叠还原为正方体，判断点A和点B是否为正方体上相距最远的两个顶点？ 思路解析：还原正方体，锁定相对面关系 结论：折叠后点A与点B位于正方体相对的两个面的对角顶点上，因此二者是正方体中相距最远的两个顶点。 2 1.7.2013 来看这道更有挑战性的题目！图上有一个展开图，上面标了A点和B点。问题是，把它折成正方体后，A点和B点是不是离得最远的两个顶点呢？我们该怎么思考呢？第一步，大家先在脑子里把这个图折起来。第二步，找到A点和B点分别在哪个面上。第三步，看看这两个面是什么关系。如果它们是相对的面，那它们上面的顶点肯定离得最远啦！现在，大家觉得A和B是不是最远的呢？ ‹#› 💡 思考时刻：跳出正方体的框架，生活中常见的立体图形展开后会变成什么样子？这是平面与立体的奇妙对话！ 📦 长方体：展开图由6个长方形组成，相对的两个面大小、形状完全一致，是正方体展开图的“灵活版”。 🥤 圆柱体：侧面展开是一个长方形，上下各拼接一个完全相同的圆形，长方形的长等于底面圆的周长。 🍦 圆锥体：侧面展开是一个扇形，底面是一个圆形，扇形的弧长恰好等于底面圆形的周长。 举一反三：不止是正方体 拓展探究 1.7.2013 我们今天主要研究了正方体，但其实很多立体图形都可以展开。大家想一想，我们常见的长方体盒子，它的展开图会是什么样？对啦，就是6个长方形。那我们用的圆柱形水杯呢？它的展开图是一个长方形和两个圆形。还有圆锥呢？是一个扇形和一个圆形。数学的世界是不是很奇妙？从立体到平面，再从平面到立体，这其中藏着无穷的奥秘！ ‹#› 典例分析 终极挑战：例3 —— 解密正方体展开图相对面 (1) 面“我”的对面是哪个面？ (2) 若“爱”在前面，“数”在左面，上面是哪个面？ 💡 解题核心口诀 同行隔一个，异行隔一列； 先定基准面，折叠想邻面。 【解析与答案】 (1) 根据“同行隔一个”规律，“我”与“数”为相对面； (2) 以“爱”为前、“数”为左折叠，上方的面是“世”。 1.7.2013 这道题是我们今天的终极挑战！一个写着‘我爱数学世界’的正方体展开图。问题有两个，第一个很简单，‘我’的对面是谁？大家还记得我们找相对面的口诀吗？‘同行隔一个，异行隔一列’。看看‘我’在哪一行？它旁边隔一个是谁？对啦！第二个问题有点复杂。如果‘爱’在前面，‘数’在左面，那上面是哪个字呢？我们可以先把‘爱’想象成正对着我们，然后把‘数’折到左边，这时候我们的头上方，也就是上面，会是哪个字呢？大家动手画一画，或者用模型试一试！ ‹#› 拓展提升 一个正方体的棱长为2cm，将其按“1-4-1”型方式展开成平面图形，如图所示。求得到的展开图的周长是多少厘米？ 01 分析边长 展开图的周长由正方体的棱组成，每条棱的长度均为2cm。关键是数出展开图外围包含的棱的总数量。 02 数棱计数 观察“1-4-1”型展开图的外围轮廓，逐个数出所有外露的棱边，总计包含14条正方体的棱。 展开前 展开中 展开后 03 计算结果 周长 = 棱的数量 × 棱长，代入数据：14 × 2 = 28（厘米）。 答：展开图的周长是28厘米。 结果：28cm 28 1.7.2013 学了这么多，我们来解决一个实际问题。一个棱长是2厘米的正方体，按图上的方式展开，得到的这个平面图形的周长是多少呢？求周长，就是把所有外围的边长相加。我们可以先数一数，这个展开图的周长是由多少条原来正方体的棱组成的。大家一起来数：1、2、3...数出来一共有多少条？那么周长就是条数乘以每条棱的长度2厘米。是不是很简单？ ‹#› 巩固练习 课堂·实战演练 巩固练习：火眼金睛（一）—— 判断正误 01. 基础概念辨析 正方体的展开图一定是由6个正方形组成的。 ✅ 正确（正方体有6个面，展开后必为6个正方形） 02. 逻辑陷阱识别 所有由6个正方形组成的图形，都是正方体的展开图。 ❎ 错误（如“田字格”无法折叠成封闭正方体） 💡 核心考点总结：必要条件 ≠ 充分条件 正方体展开图的判断需满足两个层次：首先，必须由6个全等的正方形组成（必要条件）；其次，这6个正方形的排列必须符合“11种基本类型”（充分条件）。生活中常见的反例包括“田字结构”“凹字结构”以及“一线超过四个正方形”的情况，这些都无法折叠成封闭的正方体。 1.7.2013 我们来做两道判断题，巩固一下今天的知识。第一题：正方体的展开图一定是由6个正方形组成的。这句话对不对？对的！因为正方体本身就有6个面嘛。第二题：所有由6个正方形组成的图形都是正方体的展开图。这句话对吗？不对！比如我们之前看到的‘田’字格，虽然也是6个正方形，但它就折不起来。所以这句话是错误的。大家一定要注意区别哦！ ‹#› 巩固练习 课堂闯关 · 判断题 巩固练习：火眼金睛（二） 03. 概念辨析：“1-4-1”型展开图中，上下两个“1”只能在中间“4”的两端。 ❌ 答案：错误（×）解析：上方的“1”可位于中间“4”的任意一个正方形上方，不局限于两端位置。 04. 特征判断：若展开图中出现“凹”字形结构，则一定不是正方体展开图。 ✅ 答案：正确（√）解析：“凹”字形会导致折叠时出现面的重叠，不符合正方体展开图的构成逻辑。 💡 快速记忆口诀：“一线不过四，田凹应弃之”。即一条直线上的正方形不超过4个，出现“田”字或“凹”字结构的直接排除，可快速判断！ 1.7.2013 继续挑战！第三题：‘1-4-1’型展开图中，上下两个‘1’只能在中间‘4’的两端。这句话对吗？不对！上面的‘1’可以在中间‘4’的任何一个正方形的上方，不一定非要在两端。第四题：如果一个展开图中出现‘凹’字形，它一定不是正方体的展开图。这句话对吗？对的！因为有‘凹’进去的部分，折叠的时候就会重叠，所以肯定不是。大家记住这两个判断技巧了吗？ ‹#› 真题感知 （2025·山东济宁·二模改编）如图是一个正方体的展开图，若正方体相对面上的两个数字互为相反数，则 a+b+c 的值为（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. 0 D 解析：由正方体展开图的“相间、Z端是对面”规律，可知a与-1相对，b与-2相对，c与3相对。 因为相对面数字互为相反数，故 a=1，b=2，c=-3。 计算：a+b+c = 1 + 2 + (-3) = 0，因此选 D。 1.7.2013 理论学完了，我们来看看真实的考试题目是什么样的。这是一道某年某地的考试题，大家看，它就是考察我们今天学的分类方法和相对面的知识。大家快速判断一下，哪个是正确答案？选A的同学请举手？选B的呢？... 好，我们一起来分析一下。根据相对面互为相反数，我们可以得出a, b, c的值，最后计算得到结果。大家都做对了吗？ ‹#› （24-25七年级上·全国·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（ C ） 真题感知 B． D． A． C． 解：A选项中两个长方形所在面互为相对面，折叠后无法相邻，不符合要求； B选项若三角形面为正面，其中一个长方形面会出现在左侧面，与原正方体的面的位置关系不符； C选项经过折叠后，各图案的相对位置与原正方体完全一致，符合题意； D选项中三角形面与一个长方形面互为相对面，无法同时出现在相邻位置，不符合题意。 C 1.7.2013 再来一道！这道题考察的是带有图案的正方体展开图。我们需要仔细观察图案之间的相对位置关系。比如，三角形和两个长方形的位置关系是怎样的？通过排除法，我们可以发现A、B、D选项中图案的相对位置都不对，只有C选项折叠后能得到题目中的正方体。非常好！看来大家已经掌握了这个核心技巧。 ‹#› 正方体的 展开与折叠 核心要点： 11种展开图 折叠关键： 找相对面 同行隔一，异行隔列 ① 1-4-1 型（共6种） ② 2-3-1 型（共3种） ③ 3-3型 / 2-2-2型（各1种） 应用：快速判对错 解题：空间想象+还原 课堂小结 牢记规律 → 提升空间思维 规 律 思 维 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天的知识地图。我们从‘展开’和‘折叠’两个方向探索了正方体的秘密。我们知道了展开图有11种，并学会了分类；我们还掌握了折叠时找相对面的方法。这张地图就是我们今天的全部收获，大家都记在心里了吗？ ‹#› 课堂小结 展开图分类：正方体展开图共11种，可归纳为“1-4-1”“2-3-1”“3-3”“2-2-2”四大基础类型，这是解题的基础。 相对面速判：掌握“同行隔一个，异行隔一列”的口诀，能快速精准锁定展开图中正方体的相对面位置。 避坑指南：若展开图中出现“田”字格或“凹”字形结构，该图形一定无法折成正方体，需注意规避。 能力提升：展开与折叠是互逆的空间变换过程，通过动手操作与观察思考，能有效锻炼空间想象能力与几何抽象思维。 1.7.2013 最后，我们把今天最重要的几个核心要点再强调一遍。第一，记住11种展开图和它们的分类。第二，牢牢掌握找相对面的口诀。第三，警惕‘田’字格和‘凹’字形这两个‘陷阱’。最重要的是，通过今天的学习，我们的空间想象能力都得到了锻炼和提升！为自己的进步鼓掌！ ‹#› 课后作业：继续探索 1 2 3 动手做：回家取一张正方形纸，亲手折出一个正方体，并尝试画出它的展开图，在实践中感受立体图形与平面展开图的对应关系。 想一想：开动脑筋思考，除了课堂学到的方法，还有没有其他快速判断一个图形是否为正方体展开图的小技巧？试着总结下来。 练一练：完成教材第32页的练习题，通过习题巩固正方体展开图的特征与判断方法，加深对知识的理解和运用。 1.7.2013 今天的课就到这里，但我们的探索还没有结束。老师给大家留了几个小作业。第一，请大家回家亲手做一个正方体，并画出它的展开图，加深理解。第二，请大家开动脑筋想一想，有没有别的判断小技巧。第三，别忘了完成课本上的练习题来巩固今天的知识。我们下节课再见！ ‹#› 谢谢观看 下课！ 愿大家眼中有光，绘出精彩 1.7.2013 同学们辛苦了！今天的图形世界之旅就到这里，希望大家都有所收获。下课！ ‹#› $