广东梅州市2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 以新能源汽车销量、导航路径算法等现实情境为载体，融合向量、复数、立体几何等核心知识，通过动态问题与统计分析考查数学建模、数据意识及逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量概念、复数运算、统计量|基础概念与现实情境结合，如第4题折线图分析销量| |多选题|3/15|立体几何线面关系、复数性质|多角度考查空间观念，如第10题正方体截面判断| |填空题|3/15|概率计算、复数方程、三棱锥二面角|基础运算与空间想象结合，第14题二面角求解| |解答题|5/77|统计应用、解三角形、立体几何、动态问题、导航算法|综合性强，第19题以导航系统为背景，考查最短路径算法，体现创新应用|

高 一 数 学（2026.7） 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上． 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3. 作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．下列量中：力、密度、长度、速度，是向量的有 A．力、密度 B．密度、长度 C．力、速度 D．长度、速度 2．设复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知三条直线，，，两个平面，，则下列条件中，是的充分条件的为 A．， B．， C．，，且 D．，，且 4．某品牌新能源汽车统计了2026年前5个月销量（单位：万辆），得到了如图所示的折线图，则下列说法错误的是 A．这5个月销量数据的中位数为2.4（万辆） B．这5个月销量的极差为1.2（万辆） C．前3个月销量的方差比后3个月销量的方差大 D．各月与上个月相比，三月份的增长率与二月份的相等 5. 已知点，，若点是线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为 A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 6. 记的内角、、的对边分别为、、，若，则是 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 7. 在一个盒子中有个除颜色不同外、质地和形状均相同的球，其中个红球、个蓝球，从中随机地取出个球，则取出的球为个红球和个蓝球的概率为 A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 8. 一圆台的上底面直径为，下底面直径为，在圆台内放置的一个最大球体，该球恰与圆台的上下底面和侧面均相切，则该球的表面积为 A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9. 如图，在梯形中，，，，则 A.　　　　　 B. C. 　　　 D. 10. 如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正 确的是 A. B. 直线平面 C. D. 平面截正方体所得截面是一个正六边形 11. 下列结论正确的是 A. B. 若，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 方程有两个虚根，它们的实部都为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．小光、小明各投篮1次，已知小光投篮命中的概率为，小明投篮命中的概率为，则两人中恰有一人投篮命中的概率为            ． 13关于x的方程（其中i为虚数单位）的实数根            ． 14． 如图，一个三棱锥，已知底面是一个等腰直角 三角形，，，侧面是一个等边三角形， 二面角为，则            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某县区举办了“中央苏区，红色梅州”的知识竞赛活动．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩作为样本进行统计分析，将成绩进行整理后，按 分为5组，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求图中a的值；             （2）在这100名学生中，采用分层随机抽样的方法从内的学生中抽取28名学生进行调查，求在内被抽取的人数．             16.（15分）在△中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求角的大小； （2）若，且△为钝角三角形，求边长的取值范围. 17.（15分）如图所示，在正三棱柱中，，是线段的中点，，分别是棱，上的点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线到平面的距离. 18.（17分）如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上运动（含端点处），. （1）当为的中点时，求的长； （2）求的取值范围. 19.（17分）在现代导航系统中（如高德地图、百度地图），当用户输入起点和目的地时，系统会推荐“路程最短”“时间最短”“高速优先”等多条路径．那么，你知道这些路径是怎么得出来的吗？ 道路网可抽象为一个赋权连通图，顶点表示路口，边表示路段，边的权值表示该路段通行所需要的时间（分钟）．下图是某城市的局部道路网的赋权连通图，现假设起点为，目的地为. 在导航中，我们常用一种逐步确定最短时间的方法，规则如下： Step1：一开始，只有起点的“已知最短时间”为，其余顶点的“已知最短时间”暂记为。 Step2：每一轮，从所有还没有被确定为最终值的顶点中，选中当前“已知最短时间”最小的顶点，并将其时间确定为最终时间（后面则不再改变）。 Step3：然后，通过顶点更新它的相邻点的“已知最短时间”： 　　　　新时间，其中表示顶点到相邻点的时间 如果新时间小于的当前已知的时间，则更新它；如果新时间大于或等于的当前已知的时间，则不需更新.（可参考表格中第轮和第轮） Step4：重复和，直到所有顶点的最终时间都被确定. （1）按照上述规则，完成第轮和第轮的表格； （2）按照上述规则，求当顶点被选中时，其最终时间；同时能否确定从到的最短时间就是它被选中的那个值？为什么？请结合规则说明理由. 轮次 选中 /路径 /路径 /路径 /路径 /路径 初始 — 第轮 第轮 第轮 第轮 第轮 第轮 （3）由于受到路口红绿灯的影响，在每个路口处，只有两条路的话，不设红绿灯；每增加一条路，则等待红绿灯时间（含反应时间）增加分钟，求从到的所有路径中的最短时间及相应路径？（不用说明理由） 学科网（北京）股份有限公司 $