广东省深圳市深圳科学高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 深圳科学高中 2024-2025学年第二学期期末考试试题 科目：高一数学 考试时长：120 分钟 卷面总分：150 分 命题人：胡靖 审题人：郭琳芳 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知集合  3 2{ 8 8} 6 0A x x B x x x        Z∣ ， ∣ ，则 A B I A． 3, 1,0,1  B． 1,2,3 C． 1,0,1 D． 1,0,1,2 2．设 xR，向量 ( ,1)a x  ， (4, )b x  ，则“ 2x  ”是“ / /a b  ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数    12 2, 0,4f x x x x     ，则  f x 的最小值为 A．4 B．6 C． 2 2 D． 2 2 2 4．下列四个函数中，以 π为最小正周期，且在区间 π0, 2       上为增函数的是 A． siny x B． cos2y x C． tany x D． sin 2 xy  5．一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为 1cm和 5cm，高为 10cm（器皿厚度 忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为 5cm， 则溶液体积为 A． 3245πcm B． 3 245π cm 3 C． 3490πcm D． 3 490π  cm 3 6．四名同学 A，B，C，D各掷骰子 5次，分别记录自己每次骰子出现的点数. 根据四名同 学的如下统计结果，则可以判断出一定．．没．有．出现点数 6的是 A．平均数为 2，中位数为 1 B．中位数为 3，众数为 2 C．中位数为 3，极差为 4 D．平均数为 2，方差为 2.4 7．早在 1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离. 对该测量 过程进行简化后，得到如下平面示意图，设 O为地心，C为月球表面上一点，A，B为圆O 上不同的两点，地球半径OA的长记为 R，经测量， 2 AOB   ， 5 12 CAB    ， 3 CBA    ，则地月距离OC用 R可以表示为 试卷第 2页，共 4页 A． 4 3R B． 4 3R C． 7R D． ( 3 1)R 8．在正四棱锥 P ABCD 中， , 2PF FD PE EB      ，设平面 AEF与直线 PC交于点 ,G PG GC   ，则 （ ） A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 2 3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知复数 z满足 i34)i21(  z ，其中 i为虚数单位，则下列说法正确的有 A． z的虚部为 1 B． i2z C． 5|| z D． z在复平面内对应的点位于第四象限 10．一个袋子中有大小和质地相同的 4个球，其中有 2个红色球（标号为 1和 2），2个白色 球（标号为 3和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2个球．设事件 A“两个球颜色不同”， B  “两个球标号的和为奇数”，C  “两个球标号都不小于 2”，则下列说法正确的有 A．A与 B互斥 B．A与 C相互独立 C．      P AB P AC P A  D．        P ABC P A P B P C 11．如图，两个边长均为 1的正方形 ABCD与正方形 ABEF所在的平面互相垂直. 点M ，N 分别是对角线 AC， BF上的动点，且CM ，BN的长度相等，记 (0 2)CM BN a a    ， 点 P是线段MN上的一点.下列结论正确的是 A． 2MN a  B．MN的最小值是 2 2 C．三棱锥C PBE 与三棱锥 B MCE 的体积相等 D．若点 B，C， E， F 在同一个球的球面上，则该球的体积是 3π 2 试卷第 3页，共 4页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．某高中高一年级有学生 1440人，高二年级有学生 1600人，高三年级有学生 1760人. 现用按比例分配的分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取 n人了解他们的学习情况，已 知在高二年级抽取了 100人，则 n  . 13．已知函数   2 2 , 0 log , 0 x x f x x x      ，若    1 2f a f   ，则 a  ． 14．已知点 P为等腰三角形 ABC外接圆 M 上的一个动点， 2 4AC BC  ，则 PB PC   的取 值范围为 . 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，点 E为 1BB 的中点． (1)求平面 11AADD 与平面 AED1 的夹角的余弦值； (2)求点 B到平面 AED1 的距离． 16．（15分）已知函数 ( ) 3 ( 2) 3 ( )x xf x k x    R 为奇函数． (1)求实数 k的值，判断函数 )(xf 的单调性（无需证明），并求不等式 0)1()23(  xfxf 的解集； (2)若对  2, 1x    ，不等式   3 6xf x m   恒成立，求实数 m的取值范围． 17．（15分）已知 a，b，c分别为 ABC 三个内角 A，B，C的对边，满足 cos 3 sina C a C b c   . (1)求 A； (2)若 ABC 的周长为 20，面积为10 3，求 a. 18.（17分）由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共 2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在 1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则 视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有 2次连续解锁机会，第二 位解锁人也有 2次连续解锁机会，第一位用完 2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则 替换为下一位解锁人解锁； 试卷第 4页，共 4页 ③若 2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局. 现根据以往 100次的测试，分别获得如下甲、乙解开 1道密码锁所需时间的频率分布直方图， 其中 0.7a b . （1）求 a、b的值，并求出甲解开 1道密码锁的时间在 1分钟以内的频率； （2）以甲、乙解开 1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙 2人每次是 否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： (i)若 2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过 3次就进入下一关的概率； (ii)你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关？试通过计算说明理由. 19．（17分）如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ACD 是边长为 2 3的等边三角形， 1 3, 3 BB AB ACB    ，棱 AD的中点为 F ． (1)求证： AD 平面 1 1AA B B； (2)现在将矩形 1 1BCC B 以边 1BB 所在直线为旋转轴， 逆时针旋转 0 2 π       至矩形 1 1BEE B ，解答下列问题： (i)在旋转过程中，是否存在，使得直线 1FE 与直线CD所成角的余弦值为 10 4 ？若存在， 求出满足条件的；若不存在，请说明理由； (ii)在旋转过程中，求直线 1FE 与平面 1 1BB E E所成角的正弦值的最大值.