精品解析：安徽省亳州市涡阳县 2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级检测·数学下册期末检测卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 3排5号用有序数对表示，则4排2号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有序数对的表示方法即可获得答案． 【详解】解：3排5号用有序数对表示， 则4排2号可以表示为． 【点睛】本题主要考查了有序数对的表示方法，理解并掌握有序数对概念是解题关键． 2. 已知为平面内任意整点（横纵坐标均为整数），且满足，则满足条件的P点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】用n表示m，分n=0和n≠0进行讨论即可求出满足条件的P点个数． 【详解】解：, , , , 当时，，符合题意， 当时，分子分母同时除以n可得：， ∵m是整数， ∴是4的因数， 当，解得 n=-2； 当，解得 n=-4； 当，解得 n=4； 当，解得 n=-1； 当，解得 n=- ，不符合n是整数； 当，解得 n=- ，不符合n是整数； ∴满足条件的P点有5个 故选D． 【点睛】本题考查了整点，用一个字母表示另一个字母，分类讨论是解答本题的关键． 3. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可． 【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 4. 以下列长度（单位：cm）为三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 、、 C. 2、3、4 D. 4、5、6 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，较小的两边的平方等于较大的边的平方，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A．，因此1、2、3为三边不能构成三角形，故本选项错误； B． ，能构成直角三角形，故本选项正确； C． ，不能构成直角三角形，故本选项错误； D． ，不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】解：A：，括号里面的被开方数不同，不能相加；故A错误，不符合题意； B：=；应该用前面一个括号的每一项分别乘以后面一个括号的每一项；故B错误，不符合题意； C：，用平方差公式进行计算即可；故C正确，符合题意； D：，用平方差公式进行计算即可，故D错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则和运算顺序以及平方差公式和完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 6. 如果关于x的一元二次方程ax+bx+1=0的一个解是x=1，则代数式a+b的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将x=1代入ax+bx+1=0即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax+bx+1=0的一个解是x=1， ∴a+b+1=0， ∴a+b=−1， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解的含义． 7. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 8. 如图，在中，点分别是的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若四边形是菱形，则是等边三角形 D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解． 【详解】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ， ∴四边形ADEF是平行四边形 故A正确， 若∠B+∠C=90°，则∠A=90° ∴四边形ADEF是矩形， 故B正确， 若四边形ADEF是菱形，则AD=AF， ∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形 故C不一定正确 若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠A=90° ∴AB=AC，∠A=90° ∴△ABC是等腰直角三角形 故D正确 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 9. 某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（ ） A. 36.5元 B. 30.5元 C. 27.5元 D. 22.5元 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价． 【详解】解：这天销售的四种商品的平均单价是： 10×10%+20×15%+30×55%+50×20%＝30.5（元）， 故选：B． 【点睛】本题考查了加权平均数的求法，是简单题型，根据各单价分别乘以所占百分比即可获得平均单价． 10. 合肥市某校为了解九年级男生的“引体向上”水平，随机抽取30名男生进行“引体向上”测试，成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，这组数的众数和中位数分别是 （ ） 次数 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 3 6 ☐ 7 5 3 ☐ 2 A. 众数是6，中位数是6 B. 众数是7，中位数是6 C. 众数是6，中位数是6.5 D. 众数是2，中位数是6 【答案】A 【解析】 【分析】先求出被遮盖数据的总人数，再分别根据定义确定众数和中位数即可． 【详解】解：∵总人数为，已知人数和为， ∴两个被遮盖的人数和为. 设引体向上5次的人数为，9次的人数为，则， 可得，. ∵引体向上6次的人数为，，即6次出现次数最多， ∴众数为. ∵30个数据从小到大排列，中位数为第15和第16个数据的平均数， 累计前两组人数和为，累计到5次最多为，因此第15，16个数据都为， ∴中位数为. 因此众数是，中位数是． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²-7＝2且a-3≠0， ∴a＝±3且a≠3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12. 用两块面积为的小正方形地砖拼成一块大正方形地砖，则这块大正方形地砖的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，从而可求大正方形的边长． 【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：5+5＝10（dm2）， 则大正方形的边长为：dm． 故答案为：dm． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是明确拼成的大正方形的面积等于个小正方形的面积之和． 13. 抽查20名同学每分钟脉搏跳动次数，获得如下数据（单位：次）： 81，73，77，79，80，78，85，80，68，90，80，89，82，81，84，72，83，77，79，75．则落在72.5~77.5这一组别（次）的频率是______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据题意先对这组数据分组，然后求出落在72.5~77.5这一组别（次）的频数，从而得出频率． 【详解】解：∵这组数据的最大值是90，最小值是68， ∴最大值与最小值的差是90－68=22， ∵22÷5=4.4， ∴这组数据分成5组，分别为67.5~72.5，72.5~77.5，77.5~82.5，82.5~87.5，87.5~92.5， ∴每一组的频数分别为2，4，9，3，2， ∴落在72.5~77.5这一组别（次）的频率为 = ； 故答案为：． 【点睛】本题考查频率与频数的关系：频率=频数÷数据总数 ，能够准确地对这组数据分组是解题的关键． 14. 如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F． （1）EF的长为_____． （2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为_____． 【答案】 ①. 3 ②. 2或或 【解析】 【分析】（1）先判定△ADE等腰三角形可得DE=AE=6,同理可得FE=BC=6,最后根据线段的和差解答即可； （2）分点E、F在线段CD上和在CD的延长线上两种情况解答即可． 【详解】解：（1）∵在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6 ∴BC=AD=6,CD=AB=9，AB//CD ∵∠DAB的平分线AE ∴∠DAE=∠EAB ∵AB//CD ∴∠DEA=∠DAB ∴∠DEA=∠DAE ∴DE=AD=6 同理：CF=BC=6 ∴EF=CF+DE-CD=6+6-9=3 故答案为3． （2）分两种情况： ①当E、F在CD上时 a.如图3：当E在F的左侧时 同（1）得：AD＝DE， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD＝DE＝EF＝CF， ∴AB=3DE ∴； b.如图4：当E在F的右侧时 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝FE＝CE， ∴AD=2DF，AB=3DF ∴； ②如图5所示：点E、F在线段CD延长线上时 同（1）得：AD＝DE＝CF， ∵DF＝DC＝CE ∴AB=CD ∴＝2． 综上所述，的值为2或或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想，灵活运用平行线四边形的性质和分类讨论思想成为解答本题的关键 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 16. LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？ 【答案】当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过人的头顶点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝90°， 由题意可知，CD＝BE＝1.5m，AB＝4.5m， 在Rt△ACE中，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3，AC＝5， 由勾股定理，得， ∴CE＝4（m）． ∴当人走到离门4 m的地方，该灯刚好点亮． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 【答案】（1）86.5，87； （2）126； （3）解：，理由如下： ∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人 ∴排名第5的学生的成绩中最高成绩， ∴ ∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人 ∴排名第5的学生的成绩 ∴． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的概念求解即可； （2）根据样本估计总体的方法求解即可； （3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可． 【小问1详解】 ∵一共抽取20名学生 ∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数 ∴第10名学生和第11名学生成绩分别为86，87 ∴； 抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多 ∴众数； 【小问2详解】 （人） ∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系：xOy中有A，B，C三点的坐标分别为（，， （1）在平面直角坐标系中描出A，B，C三点； （2）点A与点B关于直线l成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 【答案】（1）如图，A，B，C三点即为所求； （2）如图，直线l即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据三点的坐标描点； （2）利用网格的特点，作直线的垂直平分线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”． （1）判断点，是否为“好点”，并说明理由； （2）若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由． 【答案】（1） 解：点为“好点”，理由如下， 当时，，，得，， 则，，所以， 所以是“好点”； 当，，得，， 则，，所以， 所以不是“好点”； （2） 解：点在第三象限，理由如下： ∵点是“好点”， ∴，， ∴，， 代入，得， ∴，， ∴，故点在第三象限． 【解析】 【分析】（1）根据、点坐标，代入中，求出和的值，然后代入检验等号是否成立即可； （2）直接利用“好点”的定义得出的值进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握题目中“好点”的定义是解题关键． 20. 已知：如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点． （1）若DE=2，则BC= ；若∠ACB=70°，则∠AED= °； （2）连接CD和BE交于点O，求证：CO=2DO． 【答案】（1）4，70 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是三角形的中位线， ∴BC=2DE=4，DEBC， ∴∠AED=∠ACB=70°， 故答案为：4，70； 【小问2详解】 取BO、CO中点G、H，分别连接DG，GH，EH； 则GHBC，GH=BC， ∵DEBC，DE=EC， ∴DEGH，DE=GH， ∴四边形DGHE为平行四边形， ∴DO=OH=HC， 即CO=2DO． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【小问1详解】 证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设边上的高为x， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 七、（本题满分12分） 22. 若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． （1）一元二次方程的两根为，则_____ ； （2）已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】（1）， （2）①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【解析】 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； 【小问2详解】 ①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 八、（本题满分14分） 23. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵在正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级检测·数学下册期末检测卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 3排5号用有序数对表示，则4排2号可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为平面内任意整点（横纵坐标均为整数），且满足，则满足条件的P点有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列长度（单位：cm）为三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 、、 C. 2、3、4 D. 4、5、6 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的一元二次方程ax+bx+1=0的一个解是x=1，则代数式a+b的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 7. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 8. 如图，在中，点分别是的中点，则下列四个判断中不一定正确的是（） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若四边形是菱形，则是等边三角形 D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形 9. 某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（ ） A. 36.5元 B. 30.5元 C. 27.5元 D. 22.5元 10. 合肥市某校为了解九年级男生的“引体向上”水平，随机抽取30名男生进行“引体向上”测试，成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，这组数的众数和中位数分别是 （ ） 次数 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 3 6 ☐ 7 5 3 ☐ 2 A. 众数是6，中位数是6 B. 众数是7，中位数是6 C. 众数是6，中位数是6.5 D. 众数是2，中位数是6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则______． 12. 用两块面积为的小正方形地砖拼成一块大正方形地砖，则这块大正方形地砖的长为________． 13. 抽查20名同学每分钟脉搏跳动次数，获得如下数据（单位：次）： 81，73，77，79，80，78，85，80，68，90，80，89，82，81，84，72，83，77，79，75．则落在72.5~77.5这一组别（次）的频率是______． 14. 如图，在▱ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F． （1）EF的长为_____． （2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程： 16. LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： b．七年级学生的成绩在这一组的是： 80 82 84 85 86 87 87 87 87 87 89 c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 七年级 84.2 m n 八年级 84.6 87.5 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m，n的值； （2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______； （3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系：xOy中有A，B，C三点的坐标分别为（，， （1）在平面直角坐标系中描出A，B，C三点； （2）点A与点B关于直线l成轴对称，请在平面直角坐标系中画出直线l． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”． （1）判断点，是否为“好点”，并说明理由； （2）若点是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由． 20. 已知：如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点． （1）若DE=2，则BC= ；若∠ACB=70°，则∠AED= °； （2）连接CD和BE交于点O，求证：CO=2DO． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得， 则边上的高为_______； （3）如图4，在中，是边上的高，，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． （1）一元二次方程的两根为，则_____ ； （2）已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $