精品解析：江西上饶市广信区2025-2026学年度第二学期期末绿色评价八年级数学试题卷

2025-2026学年度第二学期期末绿色评价 八年级数学试题卷 考试时长：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵最简二次根式满足：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且，，， ∴是最简二次根式；其余选项都不符合最简二次根式的条件． 2.  几何学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形，下列给出的四组边长数据，能够构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理求解，只需验证三角形中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：选项A：∵，∴不能构成直角三角形； 选项B：∵，∴可以构成直角三角形； 选项C：∵，∴不能构成直角三角形； 选项D：∵，∴不能构成直角三角形； 故选：B. 3. 函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列各点中，不在这个函数图象上的是（ ） x 10 y 1 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据表格中与的对应值，找出函数规律，得到函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，再逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：由表格数据可得：，，， 故该函数图象上的点满足， A、，因此该点不在这个函数图象上，故符合题意； B、，该点在这个函数图象上，故不符合题意； C、，该点在这个函数图象上，故不符合题意； D、，该点在这个函数图象上，故不符合题意． 4. 学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线，菱形的判定解答即可； 【详解】解：连接， 因为矩形操场的四条边中点各立一个篮球架， ，， 故， 故四边形是菱形； 5. “幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（ ） A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 6. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键． 根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决． 【详解】A、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； B、直线中，，，中，，，、的取值一致，故本选项符合题意； C、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，中，，，的取值相矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 计算：＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键． 8. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴． 9. 已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据离差平方和的分解规则，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和，已知总离差平方和与组内离差平方和，作差即可得到组间离差平方和. 【详解】解：. 10. 如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，据此根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∴． 11. 如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点横坐标代入，即可得交点坐标，再根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解答． 【详解】解：由图可知，交点的横坐标为1， 将代入得，， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为． 12. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】或4或 【解析】 【分析】连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；当时，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以，当时，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或. 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 14. 在中，，，，求和的长． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：在中，，，，  ， 由勾股定理得：． 15. 如图，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用推出，结合已知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明是平行四边形； （）利用第（）题的平行四边形性质，得到对边相等，再将四条边长度相加计算出周长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长为：． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 【答案】（1） 射线即为所作； （2） 直线即为所作． 【解析】 【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）取格点，过点和点作直线即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分， 【小问2详解】 如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位， ∴，， ，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，且， 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 一次函数的图象过，两点． （1）求函数的表达式． （2）试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）在函数的图象上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【小问1详解】 解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； 【小问2详解】 解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 四、（本大题共3 小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，，然后利用完全平方公式将原式变形求解即可； （2）将原式变形，再将，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴ 19. 为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米． （1）工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度． （2）若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？ 【答案】（1）的长为5米； （2）铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积，即可解决问题． 【小问1详解】 解：，米，米， （米， 即线段的长为5米； 【小问2详解】 解：，米，米，米， ， 是直角三角形，且， （平方米）， （元， 答：铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元． 20. 甲、乙两人从A地骑自行车出发，沿相同的路线前往B地，甲先出发，两人都到达了B地．甲、乙两人距A地的距离与甲所用时间之间的函数图象如图所示． （1）A，B两地相距________，乙比甲晚出发________，甲在中途停留了________； （2）求乙距A地的距离与所用时间之间的函数关系式； （3）乙在距A地________处追上甲，此时甲行驶了________． 【答案】（1），， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据图象数据即可得到答案； （2）根据待定系数法求解即可； （3）根据图象可得乙在距地处追上甲，令，求解即可 【小问1详解】 解：由图象可知，两地距离为； 甲在出发，乙在出发，因此乙晚出发； 甲在到路程不变，中途停留． 【小问2详解】 解：设乙的函数关系式为， 由图可知乙过点和， 代入得： ， 解得：，， 因此函数关系式为． 【小问3详解】 解：由图象可知，乙在距地处追上甲， 令，则，解得：， 故此时甲行驶了． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88 90 87 86 89 88 90 87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_________，_________． （2）求出统计表中c的值． （3）利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【答案】（1）82；87 （2）统计表中c的值为86.45分 （3） 解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 【解析】 【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b； （2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c； （3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议． 【小问1详解】 解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， 【小问2详解】 解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． 【小问3详解】 略 22. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元． （1）求A，B两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 （2）购进A配件100件，B配件200件，能让本次销售的利润达到最大，且最大利润为11000元 【解析】 【分析】（1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进40件配件和100件配件需支出成本16000元；购进30件配件和30件配件需支出成本9300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的2倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【小问1详解】 解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； 【小问2详解】 解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的2倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件200件． 六、（本大题共一题，共12分） 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题，演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： （1）【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果______，那么______． （2）【任务2】推理建模：请补充完成任1中逆命题的推理过程． 已知：如图①，在中，，______． 求证：______． 证明：延长到点D，使，连接． （请完成剩余过程） （3）【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图②，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图③，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上．再把这个正方形展平，连接． 第3步：如图④，延长交于点Q．连接． 数学思考： （1）图③中的______； （2）图③中的是什么特殊的三角形？请说明理由； （3）图④中，若正方形的边长为，求的值． 【答案】（1）在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半；这条直角边所对的锐角等于 （2）；，证明见解析 （3）（1）；（2）是等边三角形，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据逆命题的定义解答即可； （2）先根据逆命题补全已知和求证，延长到点D，使，连接．然后根据已知条件证明是等边三角形可得，最后根据三角形内角和定理即可证明结论； （3）（1）先说明是等边三角形，即，再结合正方形的性质可得，再利用平行线的性质以及角的和差即可解答；（2）是等边三角形，理由见（1）；（3）由折叠的性质可知，，，，．再证明可得，然后通过含直角三角形的性质、勾股定理可得 ，；再利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半；这条直角边所对的锐角等于． 【小问2详解】 解：已知：如图①，在中，，． 求证：． 证明：延长到点D，使，连接． ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：（1）由作图过程可知：垂直平分， ∴， ∵将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上．再把这个正方形展平，连接． ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由见（1）； （3）由折叠的性质可知，，，， ． ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，, ∴，解得： ∴，， 由折叠的性质知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末绿色评价 八年级数学试题卷 考试时长：120 分钟 满分：120 分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（　 　） A. B. C. D. 2.  几何学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形，下列给出的四组边长数据，能够构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则下列各点中，不在这个函数图象上的是（ ） x 10 y 1 A. B. C. D. 4. 学校矩形操场的四条边中点各立一个篮球架，现在用绳子把四个篮球架连起来，平面示意图如图所示．则绳子围成的四边形的形状一定是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 5. “幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（ ） A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 8 6. 已知直线与直线在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 计算：＝______． 8. 在菱形中，对角线，，则菱形的面积为______． 9. 已知一组数据的离差平方和为25，将该组数据分成两组后，组内离差平方和为15，则组间离差平方和为__________． 10. 如图，点E在边长为13的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积是______． 11. 如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为_____． 12. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 在中，，，，求和的长． 15. 如图，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求四边形的周长． 16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 17. 一次函数的图象过，两点． （1）求函数的表达式． （2）试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 四、（本大题共3 小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 19. 为推进绿色低碳社区建设，全州县老年活动中心准备在屋顶安装太 阳能光伏板．如图所示为屋顶四边形的示意图，其中为需要加固的支撑架，已知，米，米，米，米． （1）工程师需要计算支撑架的长度以准备材料，请通过计算说明的具体长度． （2）若光伏板铺设成本为150元/平方米，则铺设整个屋顶的光伏板需花费多少元？ 20. 甲、乙两人从A地骑自行车出发，沿相同的路线前往B地，甲先出发，两人都到达了B地．甲、乙两人距A地的距离与甲所用时间之间的函数图象如图所示． （1）A，B两地相距________，乙比甲晚出发________，甲在中途停留了________； （2）求乙距A地的距离与所用时间之间的函数关系式； （3）乙在距A地________处追上甲，此时甲行驶了________． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88 90 87 86 89 88 90 87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_________，_________． （2）求出统计表中c的值． （3）利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 22. 当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元． （1）求A，B两种配件的进货单价； （2）若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 六、（本大题共一题，共12分） 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题，演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： （1）【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”． 请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果______，那么______． （2）【任务2】推理建模：请补充完成任1中逆命题的推理过程． 已知：如图①，在中，，______． 求证：______． 证明：延长到点D，使，连接． （请完成剩余过程） （3）【任务3】模型应用： 动手操作： 第1步：如图②，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图③，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上．再把这个正方形展平，连接． 第3步：如图④，延长交于点Q．连接． 数学思考： （1）图③中的______； （2）图③中的是什么特殊的三角形？请说明理由； （3）图④中，若正方形的边长为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $