精品解析：江西省上饶市广信区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年度第二学期期末质量评价 八年级数学试卷 说明：1．本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，能作为直角三角形三边长的是（    ） A 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1，2 D. 4，6，7 3. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 4. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 在九年级组织的班级篮球比赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中的得分情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的得分方差更小，所以更稳定 B. 甲的平均得分更高 C. 乙得分的众数比甲高 D. 如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大 6. 如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为．若与的对应关系如图所示，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 计算：＝_______． 8. 某招聘考试分笔试和面试两部分，最后按笔试成绩的60%、面试成绩的40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩85分，面试成绩90分，则小明的总成绩是 _____分． 9. 将正比例函数y=﹣2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是_____． 10. 若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 _____． 11. 《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是__________尺.（1丈尺） 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. （1）计算：； （2）化简：． 14. 如果一组数据2，3，3，5，x的平均数为4． （1）求x的值； （2）求这组数据的众数． 15. 已知函数是关于一次函数． （1）求的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）的值随的值的增大而___________（填“增大”或“减小”） 16. 已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）琳琳家离药店的距离为________km； （2）琳琳邮寄物品用了________min； （3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 17. 如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． （1）在图1中作出一个面积等于4的矩形； （2）在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使，求的面积． 19. 【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 （2）如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 下表是某公司员工月收入的资料． 职位 总经理 财务总监 部门经理 技术人员 前台 保安 保洁 人数 1 1 2 10 2 3 1 月收入/元 40000 30000 6000 5000 3500 3000 2000 （1）这家公司员工月收入平均数是7500元，中位数是 和众数是 ； （2）在（1）中的平均数，中位数和众数哪些统计量能反映该公司全体员工收入水平？说明理由； （3）为了避免技术人员流失，该公司决定给他们每人每月加薪元至公司员工月收入的平均数，求的值． 22. 已知直线分别与轴、轴交于点，点，点为这条直线上的点，轴于点，轴于点． （1）①将下表中的空格填写完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 4 4 4 4 ②根据表格中的数据，下列判断正确的是 ． A． ，B． ，C．． （2）当点在第一象限时，解答下列问题： ①求证：矩形的周长是一个定值，并求这个定值； ②设矩形的面积为，求证：． （3）当点在第四象限时，直接写出，满足等式关系． 六、解答题(本大题共12分) 23. 如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接． （1）发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是 ． （2）探究问题：如图2当点F落在边延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． （3）拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末质量评价 八年级数学试卷 说明：1．本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意； B、被开方数含分母，故B不符合题意； C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意； D、被开方数是小数，故D不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数，能作为直角三角形三边长的是（    ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1，2 D. 4，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】A． ，， ， 以2，3，4为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； B． ，， ， 以3，4，5边能构成直角三角形，故该选项符合题意； C． ，， ， 以1，1，2为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； D． ，， ， 以4，6，7为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：D． 3. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（　　） A. 30米 B. 32米 C. 36米 D. 48米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴是的中位线， ∴， ∵米， ∴米， ∴A、B两点间的距离为32米． 故选：B 4. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限， 所以， 所以一次函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出k的取值范围． 5. 在九年级组织的班级篮球比赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中的得分情况如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲的得分方差更小，所以更稳定 B. 甲的平均得分更高 C. 乙得分的众数比甲高 D. 如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，众数，方差等知识，根据方差的定义列式计算可判断选项A；根据平均数的定义列式计算可判断选项B；根据众数的定义可判断选项C；根据统计图两人的得分走势比较可判断选项D，进而可得答案． 【详解】解：甲近六场比赛的平均得分是：（分）； 乙近六场比赛的平均得分是：（分）， ∵， ∴乙的平均得分更高， 故选项B说法错误，符合题意； 甲学生近六场得分的方差：； 乙学生近六场得分的方差：， ∴甲的得分方差更小，所以更稳定， 故选项A说法正确，不符合题意； 甲近六场得分中，28分出现的次数最多，故众数是； 乙近六场得分中，32分出现的次数最多，故众数是32， 则乙得分的众数比甲高， 故选项C说法正确，不符合题意； 根据统计图中得分的走势，乙同学的成绩越来越好，得高分的可能性大， ∴如果再比赛一场，乙的得分比甲高的可能性更大， 故选项D说法正确，不符合题意， 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，连接，动点从点出发，沿运动．设点的运动路程为，的面积为．若与的对应关系如图所示，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、从函数图象中获取信息，由矩形的性质结合勾股定理得出，根据当点在上运动且到达点时求出的值，再根据当点在上运动时，的面积不变，到达点处时，点的运动路程为，即可得出的值，从而得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 当点在上运动且到达点时，， ∴， 当点在上运动时，的面积不变，到达点处时，点的运动路程为， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 计算：＝_______． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：． 8. 某招聘考试分笔试和面试两部分，最后按笔试成绩的60%、面试成绩的40%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩85分，面试成绩90分，则小明的总成绩是 _____分． 【答案】87 【解析】 【分析】根据笔试和面试所占的权重以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：小明的总成绩为85×60%＋90×40%＝87（分）， 故答案为：87． 【点睛】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数． 9. 将正比例函数y=﹣2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是_____． 【答案】y=-2x+3 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的规律即可得出结论． 【详解】解：正比例函数y=-2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是：y=-2x+3， 故答案为y=-2x+3． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键． 10. 若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 _____． 【答案】24 【解析】 【分析】先求出菱形的边长，根据勾股定理再求得另一对角线的长，根据面积公式求出面积． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5， ∵四边形ABCD菱形， ∴AC⊥BD，且OA＝OC，OB＝OD＝4， 在直角三角形ABO中， 由勾股定理得，AO＝3， ∴AC＝6， ∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形面积的计算方法，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解决问题的关键． 11. 《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是__________尺.（1丈尺） 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺， ∴竹梢到折断处的长度为尺， 依题意得：， 解得：， ∴折断处离地面8尺． 故答案为：8． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为__________. 【答案】，或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 对点的位置及直角顶点进行分类讨论即可. 【详解】解：由题知，设点， 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A右侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为，或. 故答案：，或. 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了二次根式的加法和乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14. 如果一组数据2，3，3，5，x的平均数为4． （1）求x的值； （2）求这组数据的众数． 【答案】（1） （2）众数是3 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式进行计算即可； （2）根据众数的定义进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵2，3，3，5，x的平均数为4， ∴； 【小问2详解】 解：当时，这组数据是2，3，3，5，7， 其中3出现了2次，是出现次数最多的， ∴这组数据的众数是3． 【点睛】本题主要考查了平均数和众数，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式和众数的定义． 15. 已知函数是关于的一次函数． （1）求的值； （2）在如图中画出该函数图象； （3）的值随的值的增大而___________（填“增大”或“减小”） 【答案】（1）0 （2）见解析 （3）减小 【解析】 【分析】根据一次函数的定义，可得答案； 找出与轴、轴交点坐标，连线即可； 根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由是关于的一次函数，得 ， 解得， 即函数解析式为， 【小问2详解】 ， 当时，，当时，， 过和画一条直线即可， 【小问3详解】 ， 的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，条件是：、为常数，，自变量次数为，也考查了一次函数的增减性，解决此题的关键是正确求出m的值． 16. 已知琳琳家、药店、邮局在同一直线上，琳琳从家出发，跑步去药店买了酒精和口罩，又步行到邮局把物品寄出，然后走回家．琳琳离家的距离y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示，请根据图象解决下列问题： （1）琳琳家离药店距离为________km； （2）琳琳邮寄物品用了________min； （3）求琳琳从邮局走回家的速度是多少？ 【答案】（1）2.5； （2）20； （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （1）因为琳琳从家直接到药店，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为药店离琳琳家的距离； （2）观察函数图象的横坐标，可得琳琳在邮局停留的时间； （3）根据“速度=路程÷时间”即可得出步行的速度； 【小问1详解】 由图象可知，琳琳家离药店的距离为， 故答案为：2.5； 【小问2详解】 由图象可知，琳琳邮寄物品用了：（分钟）， 故答案为：20； 【小问3详解】 从邮局步行回家的路程为，时间为，所以速度为：． 17. 如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． （1）在图1中作出一个面积等于4的矩形； （2）在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，由正六边形的性质可得、、、、、是全等的等边三角形，四边形、是全等的菱形，得，，进而求解即可； （2）如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M，根据正六边形的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，从而可证四边形是菱形，设，则，可得，求得，利用菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接、， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∴，四边形、是全等的菱形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形，； 【小问2详解】 解：如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即四边形是面积为4的菱形． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及正六边形的性质、矩形的判定定理、勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使，求的面积． 【答案】（1）， （2）或12 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标； （2）由点A，B的坐标可得出的长，结合可得出点P的坐标，进而可得出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 【小问1详解】 在中，当时，；当时，． ∴，． 【小问2详解】 ∵，， ∴，． ∵， ∴． 当时，， ∴． 当时，， ∴． 综上所述，或12 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；（2）利用三角形的面积计算公式，求出的面积． 19. 【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 （2）如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）根据平行四边形的判定和性质定理得到，，由（1）可知，，，则可得出答案． 【小问1详解】 证明：平分， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了亿（含预售及海外票房），商家推出了两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同，购进6件种娃娃和4件种娃娃一共需要元．且种娃娃售价为元/个，种娃娃售价为元/个． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过元的资金购进、两种娃娃共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； （2）当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元； （2）根据题意，可以得到利润与购进A种娃娃数量的函数关系，然后根据该商家计划用不超过元的资金购进A、B两种娃娃共个，可以求得购进A种娃娃数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得： 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这个娃娃全部售完获得的总利润为w元，则， 即． ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进个A种娃娃，个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是元． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 下表是某公司员工月收入的资料． 职位 总经理 财务总监 部门经理 技术人员 前台 保安 保洁 人数 1 1 2 10 2 3 1 月收入/元 40000 30000 6000 5000 3500 3000 2000 （1）这家公司员工月收入的平均数是7500元，中位数是 和众数是 ； （2）在（1）中的平均数，中位数和众数哪些统计量能反映该公司全体员工收入水平？说明理由； （3）为了避免技术人员流失，该公司决定给他们每人每月加薪元至公司员工月收入的平均数，求的值． 【答案】（1）5000元，5000元；（2）中位数或众数，见解析；（3）5000元 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、众数及平均数的意义求解即可； （3）将技术人员工资与这家公司员工月收入的平均数比较即可得出答案． 【详解】解：（1）∵一共有1＋1＋2＋10＋2＋3＋1＝20（人）， ∴这组数据的中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为5000、5000， ∴中位数是＝5000（元）， ∵数据5000出现次数最多， ∴这组数据的众数为5000元， 故答案为：5000元，5000元； （2）中位数和众数能反映该公司全体员工收入水平，该公司员工月收入的平均数为7500，在这20名员工中只有2名员工的收入在7500元以上，有18名员工的收入在7500元以下，因此用平均数不能反映所有员工的收入水平，中位数和众数为5000元能反映多数员工的收入水平． （3）由题意列方程：， 解得元. ∴技术人员需要加薪5000元． 【点睛】此题考查了众数、中位数，用到的知识点是众数、中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数，众数即出现次数最多的数据． 22. 已知直线分别与轴、轴交于点，点，点为这条直线上的点，轴于点，轴于点． （1）①将下表中的空格填写完整： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 4 4 4 4 ②根据表格中的数据，下列判断正确的是 ． A． ，B． ，C．． （2）当点在第一象限时，解答下列问题： ①求证：矩形的周长是一个定值，并求这个定值； ②设矩形的面积为，求证：． （3）当点在第四象限时，直接写出，满足的等式关系． 【答案】（1）①4，4，4，4，4；②A、B、C；（2）①矩形的周长是一个定值，周长为8；②见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）①把表中对应的值相加即可完成； ②根据数据的平均数和方差计算公式计算即可； （2）①设点Q的坐标为，由点Q在第一象限，则，，从而可求得矩形OPQR的周长，且可知周长为定值； ②计算4－S，并判断其符号即可； （3）设点Q的坐标为，由点Q在第四象限，则，，则的关系． 【详解】（1）①填表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ②，故A正确； ∴，故B正确； ∵ ∴ 故C正确； 故答案为：A、B、C （2）①设， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴矩形的周长是一个定值，周长为8； ②∵ ∴． （3）设点Q的坐标为， ∵点Q在第四象限， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了数据的平均数、方差，点在直线上的坐标特征，图形的面积与周长，各象限点的坐标特点等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．同时要注意，点的坐标与点到两坐标轴的距离既有联系又有区别． 六、解答题(本大题共12分) 23. 如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接． （1）发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是 ． （2）探究问题：如图2当点F落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． （3）拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积． 【答案】（1） （2）（1）中结论仍然成立，理由见解析 （3）5或13 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，证明四边形是正方形得到，进而证明，即可得到 （2）仿照（2）求解即可； （3）分点E在线段上和在线段的延长线上两种情况利用勾股定理求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解；（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图当点E在线段上时， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴； 如图所示，当点E在延长线上时，过点E分别作直线，直线的垂线，垂足分别为H、G 同理可得四边形是正方形， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为5或13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$