2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修一--1.1.2集合的基本关系新授课讲义

1.1.2集合的基本关系 题型一集合关系的判定 例一判定下列集合的关系 1.A={0},B={0,1,2} 2.A={xx为平行四边形，B={xx为矩形 3.A={(0,1)},B={(0,1),1,0),(1,1)} 4.A=(1,4),B=(0,+0) 解折：：AGB2BA31B4GB 练习 一.用适当的符号填空 1. 00;/0}0:0fxx2-x+1=0} 2.—r-3x+2=0}.1,2}xx2-3x+2=0 3.若集合ASB,BcC,则AC 4.设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C 合，则AB,BC 5.A=xx=2k-l,k∈zB={x=2k+l,k∈z 解折：1.g2:29☐3.C☐499☐5.A=B 二.（多选）下列选项错误的是(AD) A.{I}∈{0,1,2} B.{1,-3}={-3,1} C.{0,1,2}c{1,0,2} D.☑∈{0} 三.若A=r=,则下列说法正确的是(D) A{O☑}∈AB.{I=AC.{-1,I}sAD.{0sA 题型二子集，真子集个数问题 例二设集合A=x∈N-1Kx<2则A的真子集的个数是(D 是全体平行四边形组成的集 ) A.8 B.7 C.4 D.3 练习 一.集合{1,2,3，a,b}的非空真子集个数为30 6 A={x∈Z -∈N 二.设集合 2+ ,则集合A的真子集个数为(D) A.7 B.8 C.16 D.15 三.已知集合A=r=a,使集合A的子集个数D的a的值为(C) A.-2 B.4C.0 D以上答案都不是 四.已知集合A=2,34,B={r=mm,m∈4，m∈A,m≠m川，则集合B的非空真子集的个数为《B ) A.3 B.6 C.7 D.8 4,5}cMs{1,2,3,4,5} 五.满足条件 的集合M的个数是(C) A.5 B.6 C.7 D.8 题型三集合相等 例三已知a,b为实数，集合A={2,a.b},B={2,a2,b2},且A=B,则a+b=(B) A.0 B.1 C.2 D.3 解析： 由题意知 a=a2 或/a=b2 解得=0成a= a=0 (b=a2' 或 a=1 b=b2 b=1b=01b=01b=1' 其中 a=0a= 不符合集合元素的互牲，舍，所以 =0a=1 或 b=01b= =1b=0 练习 b 1.设a,b∈R,若集合{1，a+b,a}={0,2,b,则a207+b27= 解析： b=1 a+b=0' 则a=-l,经验证符合题意；若 b-1由于a0, a a+b=0 则方程组无解综上可知，a=-1,b=1,故a2027+b2027=0 2 2.已知集合A={-1,0},B={xx2+ax+b=0},若A=B,则a°=() A.2 B.1 C.0 D.-1 解析： 由题可知，方程2+ax+b=0的两根为-1和0，所以根据韦达定理得 0-1=-a 0×(-1D=b 解得a=1,b=0,所以a=1. 3.已知集合A={a,1)B={0,a+1},若A=B,则实数a=() A.0 B.1 C.0或1 D.2 由题可知， a=0 解得a=0.故选4 解析： 1=a+1 题型四由集合的包含关系求参数 例四设集合A={xx2+4x=0,B={xx2+2(a+1)x+a2-1=0. (1)若BsA,求实数a的取值范围： (2)若A≤B,求实数a的取值范围： 解析：①)当B=0时，x2+2(a+1)x+a2-1=0无解，即△=4(a+1)2-4(a2-1) =8a+8<0,解得a<-1:当B={-4或B={0时，x2+2(a+1)x+a2-1=0有 两个相等的实数根，坠=0，所以a=-1,此时B={0;,符合条件；当B={-4,0) 时，-4和0是方程2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根，则 △=8a+8>0 4+0=-2(a+1),解得a=1.综上所述，a≤-1或a=1 -4×0=a2-1 (2)A≤B,∴.B={-4,0由(1)知a=1 练习 1.设集合A={1,2,B={xax-2=0,若BsA,则由实数a组成的集合为() A.{0,1} B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 解析：当a=0时，B=O,满足BcA:当A≠0时，B=,:BCA a :2=1或2=2，解得a=2或a=1,由实数a组成的集合为0，l,2,故选D a 3 2.已知集合A={x2<x<5},B={xm-2≤x≤2m-1}. (1)若m=5,求B: (2)若B=☑，求实数m的取值集合； (3)若B中有3个整数，求实数m的取值集合； (4)若AsB,求实数m的取值集合； (⑤)若B∈A,求实数m的取值集合。 解析：①)当m=5时，则m-2=3,2m-1=9,故集合B={x3≤x≤9： (2)若B=☑，则集合B中没有元素，故m-2>2m-1,解得m<-1,因此实数m的取值集合 为{mm<-l; (2)由题意需满足B为非空集合，则m-2≤2m-1,即m≥-1，B的 区间长度为2m-1)-(m-2)=m+1,恰好包括三个整数解，区间 长度需满足2≤m+1<4,即≤m<3, 当m=1时，B={x-1≤x≤1，B中有三个整数-1,0，l,符合题意： 当1<m<2时，-1<m-2<0,1<2m-1<3,B中要想有三个整数，只能 是0,1,2，故2≤2m-1<3,则1.5≤m<2 当m=2时，B={x0≤x≤3，B中有四个整数0,1,2,3，不合题意； 当2<m<3时，0<m-2<1,3<2m-1<5,B中要想有三个整数，只能 是1,2,3，故3<2m-1<4,则2<m<2.5; 综上所述，实数n的取值集合为mm=1或1.5≤m<2或2<m<2.5} m-2≤2 (4)由A≤B可知，B为非空集合且B必须完全覆盖A,则有 2m-1≥5 m-2≤2m-1 解得3≤m≤4，因此实数m的取值集合为m3≤m≤4： (5)若BcA,则需要分两种情况讨论： 当B=⑦时，则有m-2>2m-1,解得m<-1; m-2>2 当B≠☑时，需要A必须完全覆盖B,需满足 2m-1<5,该不等式组无解： m-2≤2m-1 综上，实数m的取值集合mm<-l} 3.已知集合A={-l,4,B={xx2+ax+b=0},C={xmx-1=0}. (I)若A=B,求a,b; (2)若CsA,求m的取值集合。 4 解析：(1)由题意，-1和4是方程x2+ax+b=0的两个实数根，所以 {46解狗8子 b=-4 (2)当m=0时，C=☑，满足C三A 当m≠0时，C=凸} m 当C={-1时，1=-1，m=-5 1=4,m= 1 当C={4时， m 4 故m的取值集合-10》 4.已知集合A={xx2-3x+2=0},B={x(a-1)x2+2x-3a-1=0} )若B中恰有一个元素，求实数a的取值构成的集合； (2)若B∈A,求实数a的取值范围 解析：(1)对于(a-1)x2+2x-3a-1=0,当a-1=0,即a=1时，方程2x-4=0 则x=2,此时B={2,满足题意； 当a≠1时，(a-1)x2+2x-3a-1=0为关于x的一元二次方程，由题意知， 该方程有两个相等的实数根，所以处=4-4(a-1)(-3a-1)=4a(3a-2)=0 2 壁得a=0或a三综上，实数a的取值构成的集合为0，旺 3 (2)由题意可知，A={1,2} 若B∈A,则分以下几种情况讨论： a-1≠0 ①当B=时，则， =4a(3-2)<0解得0<a< 3 ②当B中只有一个元素时，由()知 当a=1时，x=2,所以B={2,满足B∈A, 当a=0时，x2-2x+1=0,解得x=1,所以B={,满足B≤A; 当a=2时，x-6r+9=0,解得x=3,所以B=3,不满足B≤A,舍 ③当集合B中由两个元素时，因B∈A,所以A=B, 即B={1,2,即关于x的方程(a-1)x2+2x-3a-1=0的两根分别为，2， 32 所以 无解： 2= a-1 综上所述，实数的取值范围是a0≤a<2或a=. 5 课后作业 1.已知集合U=1,2,3,则的所有子集中的元素之和为( A.6 B.12 C.18 D.24 解析：集合U=1,2,3的子集有：☑，{1，{2，{3，{1,2，{1,3，{2,3，{1,2,3}.故选D 2.已知集合A={x-1<x<2,B={x0<x<1},则() 4.A>B B.ACB C.BCA D.A=B 解析：D 3已知集合4==2neZ,8=经neZ,则（） A.A=B B.ACB C.AB D.A,B没有包含关系 解析：B 4.集合A={x∈N3<x2<17的子集个数为() A.2 B.4 C.6 D.8 解析：A=2,3,4,则子集为2=8故选：D 5若集合A={2,a,a2},B={2,4,且BsA,则a的值为() A.4 B.2或4 C.-2或4 D.±2或4 6 答案：C 解析：因为集合A={2,a,a2},B={2,4,且B≤A,所以a=4或a2=4 解得a=4或a=2或a=-2,当a=4时，A={2,4,16,符合题意； 当a=2时，集合4中不满足元素的互异性舍： 当a=-2时，A={2,-2,4,符合题意 综上所述，a的值为4或-2， 6.已知集合A={x-1<x<a,B={xx≤2a-,且AcB,则a的取值范围是() A.(-1,1] B.(1,+o) C.[1,+o∞) D.(-0,-1]U[1,+∞) 答案：D 解析：集合A={x-1<x<a,B={xx≤2a-1}, 当a≤-1时，A=⑦，满足A∈B: 当A≠O时，由A三B,得 a>-1 2a-1≥ ,解得a≥l, 所以a的取值范围是(o,-1]U[l,+oo) 7.已知集合M满足{1,2}∈Mc{1,2,5,6,7,则符合条件的集合M的个数有 答案7 解析：由题可知集M中必有元1,2，且5,6,7中至少含有0个，至多含有两个，所以符合 条件得M由{1,2,1,2,5，{1,2,6，{1,2,7}，{1,2,5,6，{1,2,5,7}，{1,2,6,7}，共7个 8.已知集合A={xa≤x≤a2-2},B={xx<1},若A中只有一个元素，且A∈B,则a= 答案：-1 解析：因为集合4={xa≤x≤a2-2中只有1个元素，所a=a2-2,解得a=2或a=-1, 当a=2时，A={2},不满足AcB;当a=-1时，A={-1,满足ASB,综上a=-1 9.若集合A={xax+2=0}没有真子集，则实数= 答案0 解析：设集合4的元素个数为，则集合A的真子集个数2-1=0，则x=0,即集合A为空集 所以方程ax+2=0无解，则a=0, 10.设集合A={xax2-2x-3=0},已知3∈A. (I)求集合A; (2)写出集合4的所有子集； (3)设集合B={xx2-mx+m+3=O},若BsA,求实数m的取值范围 7 答案：①)A=-1,3(2)见解析6[-2,6 解析：①因为3∈A,所以将x=3代入方程ax2-2x-3=0,可得9a-6-3=0, 解得a=1.将a=1代入方程ax2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,所以集合A={-l,3} (2)☑，{-1}，{3}，{1,3} (3)当B=②时，对于方2-mx+m+3=0,其判别式A=m2-4(m+3)<0,解得2<m<6,此时满足B≤A: 当B≠O时，若B∈A,则B={-1}或B={3}或B={-1,3}, 若B={-1,则方程2-mx+m+3=0有且仅有一个根=-1，所以 △=m2-4(m+3)=0,解得m=-2 1+m+m+3=0 若B=3,则方程2-mx+m+3=0有且仅有一个根=3，所以 △=m2-4(m+3)= 9-3m+m+3=0 ,解得m=6 若B={-1,3,则-1和3是方程x2-mx+m+3=0的两个根，根据韦达理可得 33此方程无解 综上，实数m的取值范围周-2,6] 11.己知集合A={xx2+2(a-1)x+a2-1=0},B={xx2-4x=0}. a的值： (I)若0∈A,求实数a的值： (2)若A∈B,求实数a的取值范围 解析：①)由A={xx2+2(a-1)x+a2-1=0,0∈A,代入可得a2-1=0,解得a=±1； (2)由x2-4x=0,可得B={0,4,因为A∈B,当A=☑时，△=4(a-1)2-4(a2-1)<0, 解得a>1符合题意： △=4(2-2a=0 当A={0时， a2-1=0 ,解得a=1符合题意： △=4(2-2a)=0 当A={4时， a=1 16+8a-1)+a'-1=0解得 不成立： a=-1或a=-7 △=4(2-2a)>0 当A={0,4时，0+4=-2(a-1),解得a=-1,符合题意 0×4=a2-1 综上，实数a的取值范围为ala≥l或a=-} 81.1.2集合的基本关系 题型一集合关系的判定 例一判定下列集合的关系 1.A={0},B={0,1,2} 2.A={xx为平行四边形，B={xx为矩形 3.A={(0,1)},B={(0,1),(1,0),(1,1)} 4.A=(1,4),B=(0,+0) 练习 一.用适当的符号填空 1. 0☑：/0}☑：☑{xx2-x+1=0} 2.—x-3x+2=0}.{1,2}{x2-3x+2=0 3.若集合AcB,B∈C,则AC 4.设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C 合，则AB,BC 5.A={x=2k-L,k∈zB={xx=2k+l,k∈z 二.（多选）下列选项错误的是( A.{1}∈{0,1,2} B.{L,-3}={-3,1} C.{0,1,2}≤{1,0,2 D.☑∈{0} 三.若A=r=,则下列说法正确的是( ) A.CA B.1=A C.-1,1CA D.0CA 题型二子集，真子集个数问题 例二设集合A=x∈N-1Kx<2,则A的真子集的个数是 是全体平行四边形组成的集 ) A.8 B.7 C.4 D.3 练习 一.集合1,2,3，a,b}的非空真子集个数为 6 A={x∈Z ∈N} 二.设集合 2+x ,则集合A的真子集个数为() A.7 B.8 C.16 D.15 三.已知集合A=r'=a,使集合A的子集个数的a的值为() A.-2 B.4C.0 D以上答案都不是 四.已知集合A=23,4,B=r=mn,m∈A,m∈A,m≠m心，则集合B的非空真子集的个数为( ) A.3 B.6 C.7 D.8 五.满足条件4,5SMc123,45 的集合M的个数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 题型三集合相等 例三已知a,b为实数，集合A={2,a.b},B={2,a2,b2},且A=B,则a+b=() A.0 B.1 C.2 D.3 练习 1.设a,b∈R,若集合1，a+h,a={0,2,b},则a7+b2= a 2.己知集合A={-1,0},B={xx2+ax+b=0},若A=B,则a°=() A.2 B.1 C.0 D.-1 3.己知集合A={a,1,B={0,a+1},若A=B,则实数a=() A.0 B.1 C.0或1 D.2 题型四由集合的包含关系求参数 2 例四设集合A={xx2+4x=0},B={xx2+2(a+1)x+a2-1=0} (I)若B∈A,求实数a的取值范围； (2)若A≤B,求实数a的取值范围： 练习 1.设集合A={L,2,B={xax-2=0},若BsA,则由实数a组成的集合为() A.{0,1}B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 2.已知集合A={x2<x<5},B={xm-2≤x≤2m-1}. (1)若m=5,求B; (2)若B=☑，求实数m的取值集合： (3)若B中有3个整数，求实数n的取值集合： (4)若AsB,求实数m的取值集合： (S)若B三A,求实数m的取值集合。 3.已知集合A={-l,4},B={xx2+ax+b=0},C={xmx-1=0}. (I)若A=B,求a,b; (2)若C≤A,求m的取值集合。 3 4.已知集合A={xx2-3x+2=0},B={x(a-1)x2+2x-3a-1=0} (I)若B中恰有一个元素，求实数a的取值构成的集合： (2)若B三A,求实数a的取值范围 课后作业 1.已知集合U=1,2,3,则的所有子集中的元素之和为() A.6 B.12 C.18 D.24 2.已知集合A={x-1<x<2},B={x0<x<1},则() 4.A>B B.ACB C.BCA D.A=B 3已知集合M==2me2,8=经meZ,则（） A.A=B B.A∈B C.AB D.A,B没有包含关系 4.集合A={x∈N3<x2<17的子集个数为() A.2 B.4 C.6 D.8 5若集合A={2,a,a2},B={2,4},且BsA,则a的值为() A.4 B.2或4 C.-2或4 D.±2或4 6.己知集合A={x-1<x<a,B={xx≤2a-1},且A∈B,则a的取值范围是() A.(-1,1] B.(1,+0) C.[1,+o) D.(-0,-1]U[1,+∞) 7.已知集合M满足{1,2}SMc{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M的个数有 个 8.已知集合A={xa≤x≤a2-2},B={xx<1},若A中只有一个元素，且AsB,则a= 9.若集合A={xax+2=0}没有真子集，则实数= 10.设集合A={xax2-2x-3=0},己知3∈A. (I)求集合A: (2)写出集合A的所有子集； (3)设集合B={xx2-mx+m+3=0;,若BSA,求实数m的取值范围 11.已知集合A={xx2+2(a-1)x+a2-1=0},B={xx2-4x=0} a的值； (1)若0∈A,求实数a的值； (2)若A∈B,求实数a的取值范围 5