1.1.3 第2课时 补集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学中补集这一核心知识点，先通过太阳系行星分类问题引入全集概念，明确全集是相对概念，再系统讲解补集的文字描述、符号表示和图形语言，梳理补集与全集的关系及A∪∁UA=U等运算性质，构建集合运算的完整知识体系。 资料以情境创设激发学习兴趣，如用行星例子引导学生从数学眼光观察现实问题，通过维恩图和数轴分析培养数学思维中的数形结合能力，例题与分层作业设计帮助学生用数学语言准确表达集合关系。课中助力教师高效授课，课后学生可借助资料回顾知识、完成练习，有效查漏补缺。

第2课时　补集 学习任务 1．了解全集的含义及其符号表示．(直观想象) 2．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．(数学抽象) 3．会用维恩图、数轴进行集合的基本运算．(数学运算) 太阳系有8颗行星，即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星．原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中，被划为矮行星，并命名为小行星134 340号，从太阳系九大行星中被除名．在这8颗行星中，如果我们把名字中含有“王”的行星除去，还有几颗行星？如果我们用集合的眼光来看，上述问题可以转化为：若把太阳系的行星的集合作为U，把名字中含有“王”的行星的集合作为A，把名字中不含有“王”的行星的集合作为B，那么集合B中有几个元素？集合A，B，U之间有怎样的关系呢？ 知识点1　全集 1．定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集． 2．记法：全集通常记作 U． 全集一定是实数集R吗？ [提示]　全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 知识点2　补集 1．补集 文字语言 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集． 2．补集的运算性质 条件 给定全集U及其任意一个子集A 结论 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅； ∁U(∁UA)＝A [拓展]　由全集与补集的概念及维恩图，我们还可以得到补集的如下性质： (1)A⊆B⇔∁UB⊆∁UA． (2)A＝B⇔∁UA＝∁UB． (3)∁UU＝∅． (4)∁U∅＝U． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个集合的补集一定含有元素． (　　) (2)集合∁ZN与集合∁ZN＋相等． (　　) (3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．设全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{x∈Z|1<x<4}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{0，1，2，3}　 B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5} D　[∵B＝{x∈Z|1<x<4}，∴B＝{2，3}． ∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}． ∵全集U＝{0，1，2，3，4，5}， ∴∁U(A∪B)＝{0，4，5}． 故选D．] 3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________． {x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．] 类型1　补集的运算 【例1】　【链接教材P19例5】 (1)已知A＝{0，1，2}，∁UA＝{－3，－2，－1}，∁UB＝{－3，－2，0}，用列举法写出集合B． (2)若全集U＝{x|－3≤x≤3，x∈R}，A＝{x|－3≤x≤0或1<x≤2}，求∁UA． [解]　(1)因为A＝{0，1，2}， ∁UA＝{－3，－2，－1}， 所以U＝A∪(∁UA)＝{－3，－2，－1，0，1，2}． 又因为∁UB＝{－3，－2，0}， 所以B＝{－1，1，2}． (2)由补集的定义可知∁UA表示的集合为图中阴影部分所示，即∁UA＝{x|0<x≤1或2<x≤3}． 【教材原题P19例5】 例5　已知A＝(－1，＋∞)，B＝(－∞，2]，求∁RA，∁RB． [解]　在数轴上表示出A和B，如图1－1－12所示． 由图可知∁RA＝(－∞，－1]，∁RB＝(2，＋∞)． 　求集合的补集的方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助维恩图求解． (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴分析求解． [跟进训练] 1．(1)已知全集U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，求集合B． (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，求∁UA． (3)设全集U＝{2，3，x}，A＝{5}，∁UA＝{2，y}，求x，y的值． [解]　(1)(法一)因为A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， 所以U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， 所以B＝{2，3，5，7}． (法二)借助维恩图，如图所示． 由图可知B＝{2，3，5，7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． (3)因为A⊆U，所以5∈U，所以x＝5，所以U＝{2，3，5}，因为y∈∁UA，所以y∈U，且y∉A，即y≠5． 所以y＝2或y＝3． 又由∁UA中元素的互异性知y≠2，所以y＝3．综上知x＝5，y＝3． 类型2　集合交、并、补集的综合运算 【例2】　(源自北师大版教材)设全集U＝R，A＝{x|x<5}，B＝{x|x>3}，求： (1)∁R(A∩B)；(2)∁R(A∪B)； (3)(∁RA)∩(∁RB)；(4)(∁RA)∪(∁RB)． [解]　(1)在数轴上表示出集合A，B(图①)，则A∩B＝{x|x<5}∩{x|x>3}＝{x|3<x<5}，所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}． 图① (2)由图①可知A∪B＝{x|x<5}∪{x|x>3}＝R，所以∁R(A∪B)＝∅． (3)在数轴上表示出集合∁RA，∁RB(如图②)，即∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x≤3}，所以(∁RA)∩(∁RB)＝{x|x≥5}∩{x|x≤3}＝∅． 图② (4)由图②可知(∁RA)∪(∁RB)＝{x|x≥5}∪{x|x≤3}＝{x|x≤3或x≥5}． 　1．求集合交、并、补运算的方法 2．运算规律 (1)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． (2)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)． [跟进训练] 2．(1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3}　　　　 B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} (2)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁RB)＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|1≤x<2} D．{x|x<2} (1)D　(2)B　[(1)由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}， 所以∁U(A∪B)＝{－2，0}．故选D． (2)因为A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x>1}，所以∁RB＝{x|x≤1}，所以A∩(∁RB)＝{x|－1≤x≤1}．] 类型3　与补集有关的参数值的求解 【例3】　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． [解]　(法一：直接法)由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，结合数轴(如图)， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． (法二：集合间的关系)由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A， 又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴(如图)，得－m≤－2，即m≥2． 所以m的取值范围是{m|m≥2}． [母题探究] 1．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ [解]　由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，又(∁UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4．所以m的取值范围为(－∞，－4]． 2．(变条件)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围是什么？ [解]　由已知得A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2， 解得m≥2． 所以m的取值范围为[2，＋∞)． 　1．由集合的补集求解参数的方法 2．含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决． [跟进训练] 3．已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|m<x<m＋9}，若(∁RA)∩B＝B，求实数m的取值范围． [解]　∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}， 由(∁RA)∩B＝B，得B⊆∁RA， 所以m＋9≤－2或m≥3， 解得m≤－11或m≥3， 故m的取值范围是(－∞，－11]∪[3，＋∞)． 1．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁UP等于(　　) A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1} C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1} A　[因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．] 2．设全集U＝{－3，－2，0，2，3}，A＝{－3，3}，B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A．{－3，2，3}　　 B．{－3，－2，0，2} C．{3} D．{－2，0} D　[题图中阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B)． ∵A＝{－3，3}，B＝{x|(x－3)(x－2)＝0}＝{2，3}，∴A∪B＝{－3，2，3}， 又全集U＝{－3，－2，0，2，3}， ∴题图中阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B)＝{－2，0}．] 3．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________． (－∞，0)∪[1，＋∞)　[因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．] 4．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________． {x|x<1或x≥2}　[∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}， ∴N＝{x|x≤0或x≥2}， ∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．求集合补集的前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？ [提示]　求集合的补集前提是必须明确全集．同一集合在不同全集下的补集不同． 2．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？ [提示]　数形结合．求补集时忽视全集，求参数时忽视端点的取舍． 课时分层作业(五)　补集 一、选择题 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤2x＋1＜9}，则∁UA等于(　　) A．{x|x＜0或x＞4} B．{x|x≤0或x＞4} C．{x|x≤0或x≥4} D．{x|x＜0或x≥4} D　[因为U＝R，A＝{x|0≤x＜4}，所以∁UA＝{x|x＜0或x≥4}．] 2．如图，阴影部分表示的集合是(　　) A．A∩(∁UB) B．(∁UA)∩B C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B) A　[由维恩图可知，阴影部分在集合B外，同时在集合A内，应是A∩(∁UB)．] 3．已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} D　[因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}， 则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}． 故选D．] 4．已知U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1，3，5}，则m等于(　　) A．1 B．3 C．4 D．5 C　[由已知m∈U，且m∉∁UA，故m＝2或4． 又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2， 故m＝4．故选C．] 5．(多选)设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，则(　　) A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 AC　[选项A：由题意，A∩B＝{0，1}，正确；选项B：∁UB＝{2，4}，不正确；选项C：A∪B＝{0，1，3，4}，正确；选项D：集合A的真子集个数为23－1＝7，不正确．] 二、填空题 6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若∁UA⊆B，则实数m的取值范围是________． {m|m<1}　[∵∁UA＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}， ∴由∁UA⊆B可知m<1．] 7．设全集为R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则k的取值范围是________． (0，3)　[全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}， 所以∁UA＝{x|1<x<3}，又集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅， 所以1<k<3或1<k＋1<3， 解得0<k<3． 所以k的取值范围是(0，3)．] 8．已知全集U＝{3，a2－3a－2，2}，A＝{3，|a－1|}，∁UA＝{－2}，则实数a的值为________． 3　[因为A∪(∁UA)＝U，所以{3，－2，|a－1|}＝{3，a2－3a－2，2}，从而 解得a＝3．] 三、解答题 9．已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B． [解]　(法一：直接法)由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}， ∴(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}， (∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． (法二：维恩图法)画出维恩图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}，(∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． 10．(多选)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4<x<6}，集合B＝{x|2≤x<5}，则(　　) A．∁UA＝{x|x<1或3<x<4或x>6} B．∁UB＝{x|x<2或x≥5} C．A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6} D．(∁UA)∪B＝{x|x<1或2<x<5或x>6} BC　[利用数轴表示出A和B，如图， 则∁UA＝{x|x<1或3<x≤4或x≥6}，故A错误；∁UB＝{x|x<2或x≥5}，故B正确；A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2或5≤x<6}，故C正确；(∁UA)∪B＝{x|x<1或2≤x<5或x≥6}，故D错误．故选BC．] 11．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤1} B．{a|a<1} C．{a|a≥2} D．{a|a>2} C　[由于A∪(∁RB)＝R，则B⊆A，可知a≥2．故选C．] 12．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{4}，则A∪B＝(　　) A．{2，3，4} B．{2，3} C．{2，4} D．{3，4} A　[由(∁UA)∩B＝{2}，得2∈B，则22－5×2＋q＝0，得q＝6，所以B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}． 同理，由(∁UB)∩A＝{4}，得4∈A，则42＋4p＋12＝0，得p＝－7，所以A＝{x|x2－7x＋12＝0}＝{3，4}． 故A∪B＝{2，3，4}．] 13．设集合U为全集，对集合X，Y，定义运算X*Y＝∁U(X∩Y)，若全集U＝R，X＝{x|1≤x≤3}，Y＝{x|2<x<4}，则X*Y＝________． {x|x≤2或x>3}　[由条件可知X∩Y＝{x|2<x≤3}，所以X*Y＝∁U(X∩Y)＝{x|x≤2或x>3}．] 14．在①B⊆(∁RA)，②(∁RA)∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若问题中的实数a不存在，请说明理由． 已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，是否存在实数a，使得________？ [解]　若选①．∁RA＝{x|x<1或x>4}，由B⊆(∁RA)得， 当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2； 当B≠∅时，或 解得a≥3． 综上，存在实数a，使得B⊆(∁RA)，且a的取值范围为(－∞，2]∪[3，＋∞)． 若选②．∁RA＝{x|x<1或x>4}，由(∁RA)∪B＝R，得B≠∅，所以此方程组无解， 所以不存在实数a，使得(∁RA)∪B＝R． 若选③．由A∩B＝B可知B⊆A． 当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2； 当B≠∅时，解得2<a≤． 综上，存在实数a，使得A∩B＝B，且a的取值范围为． 15．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的值． [解]　由已知，得A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A． 因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0， 所以B≠∅． 所以B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}． ①若B＝{－1}，则判别式Δ＝0，即(m－1)2＝0，故m＝1； ②若B＝{－2}，则应有 所以无解； ③若B＝{－1，－2}，则应有 所以即m＝2． 经检验，知m＝1，m＝2均符合条件，所以m＝1或2． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $