1.1.3 第1课时 交集与并集-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦集合的交集与并集运算，通过实际问题引入概念，系统梳理运算性质，结合维恩图、数轴直观表达，构建“概念抽象-性质探究-运算应用”的学习支架，衔接集合关系与后续数学运算。 以班级学生读书号实例培养数学抽象，用图示工具发展直观想象，分类型例题（含参数讨论）提升数学运算。课中助力教师分层教学，课后分层作业帮助学生巩固知识，查漏补缺，强化核心素养。

1.1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 学习任务 1．理解交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(数学抽象、数学运算) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，感受图示对理解抽象概念的作用．(直观想象) 某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的学生读过新书a，学号是3的倍数的学生读过新书b． 问题　(1)同时读了a，b两本书的学生有哪些？ (2)至少读过一本书的学生有哪些？ 知识点1　交集 1．若两集合没有公共元素，则两集合的交集是什么？ [提示]　若两集合没有公共元素，则两集合的交集是空集，不能说A与B没有交集． 2．若两个集合A，B的交集是空集，则两集合有什么特征？ [提示]　若两个集合A，B的交集是空集，则两集合至少有一个是空集或者两集合虽不是空集，但是两集合没有公共元素． 知识点2　并集 3．集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ [提示]　不一定．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 知识点3　并集与交集的运算性质 并集的运算性质 交集的运算性质 A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝A A∪∅＝∅∪A＝A A∩∅＝∅∩A＝∅ 如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立 如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A∪B＝A∪C，则B＝C． (　　) (2)若A∩B＝∅，则A，B均为空集． (　　) (3)A，B中分别有3个元素，则A∪B中必有6个元素． (　　) (4)若x∈A∩B，则x∈A∪B． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．] 3．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} C　[由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}．] 类型1　交集的运算 【例1】　【链接教材P16例1】 (1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　) A．5 B．4　　　　 C．3 D．2 (2)若A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x>a}，求A∩B． (1)D　[∵8＝3×2＋2，14＝3×4＋2， ∴8∈A，14∈A， ∴A∩B＝{8，14}，故选D．] (2)[解]　如图所示， 当a<－2时，A∩B＝A＝{x|－2≤x≤3}； 当－2≤a<3时，A∩B＝{x|a<x≤3}； 当a≥3时，A∩B＝∅． 【教材原题P16例1】 例1　求下列每对集合的交集： (1)A＝{1，－3}，B＝{－1，－3}； (2)C＝{1，3，5，7}，D＝{2，4，6，8}； (3)E＝(1，3]，F＝[－2，2)． [解]　(1)因为A和B的公共元素只有－3，所以A∩B＝{－3}． (2)因为C和D没有公共元素，所以C∩D＝∅． (3)在数轴上表示出区间E和F，如图1－1－8所示． 由图可知 E∩F＝(1，2)． 　求两个集合的交集的两种方法 (1)定义法：对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)数形结合法：对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍，常用端点值代入验证． [跟进训练] 1．(1)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝(　　) A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} (2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　) A．(－1，2] B．(2，＋∞) C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)B　(2)D　[(1)因为P＝{0，1，2}， M＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}， 所以P∩M＝{0，1，2}． (2)因为A∩B≠∅， 所以集合A，B有公共元素， 在数轴上表示出两个集合， 如图所示，易知a>－1．] 类型2　并集的运算 【例2】　(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} (2)(源自湘教版教材)求下列集合的并集： ①A＝(1，3)，B＝[2，5]； ②C＝[0，1]，D＝{x|x2<1}． (1)D　[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}， N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}， 故M∪N＝{－2，0，2}， 故选D．] (2)[解]　①A∪B＝(1，3)∪[2，5]＝(1，5]． ②C∪D＝[0，1]∪{x|x2<1}＝[0，1]∪(－1，1)＝(－1，1]． 　求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助维恩图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法给出，另一个用列举法给出：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． [跟进训练] 2．(1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝(　　) A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6} (2)若集合A＝(－∞，－1)，B＝(－2，2)，则A∪B＝________． (1)D　(2)(－∞，2)　[(1)A∪B＝{1，2，4，6}，故选D． (2)画出数轴如图所示， 故A∪B＝(－∞，2)． ] 类型3　集合交、并运算的性质及综合应用 【例3】　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝A，求a的取值范围． [思路导引]　由于A∩B＝A，所以A⊆B．结合数轴分A＝∅与A≠∅两种情况分别求解． [解]　因为A∩B＝A，所以A⊆B． (1)若A＝∅，则2a>a＋3，所以a>3． (2)若A≠∅，如图所示， 则有或 解得a<－4或<a≤3． 综上所述，a的取值范围是． [母题探究] (变条件)把本例条件“A∩B＝A”换成“A∩B＝∅”，如何求解？ [解]　A∩B＝∅，A＝{x|2a≤x≤a＋3}． (1)若A＝∅，有2a>a＋3，所以a>3． (2)若A≠∅，如图所示． 则有解得－≤a≤2． 综上所述，a的取值范围是． 　1．在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况，切不可漏掉． 2．集合运算常用的性质 (1)A∪B＝B⇔A⊆B； (2)A∩B＝A⇔A⊆B； (3)A∩B＝A∪B⇔A＝B． [跟进训练] 3．若集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，求满足条件的实数x的值． [解]　因为A∪B＝A，所以B⊆A， 所以x2＝x或x2＝3， 解得x＝0或x＝1或x＝±， 经检验，x＝0，x＝±符合要求． 1．若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A．{x|0≤x＜2}　 B． C．{x|3≤x＜16} D． D　[M＝{x|0≤x＜16}，N＝，故M∩N＝，故选D．] 2．(教材P21习题1－1BT1(3)改编)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则(A∩B)∪C＝(　　) A．{0}　　　　　 B．{0，1，3，5} C．{0，1，2，4} D．{0，2，3，4} C　[因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}， 则(A∩B)∪C＝{0，1，2，4}．] 3．设集合A＝{x|－3<x<π，x∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则A∩B的元素个数为________． 3　[因为集合A＝{x|－3<x<π，x∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以集合A中的元素为－2，－1，0，1，2，3，而集合B中的元素为奇数，所以A∩B＝{－1，1，3}，A∩B的元素个数为3．] 4．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________． [－3，－1)　[由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示， 则解得－3≤a<－1．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．对交集概念你是怎样理解的？ [提示]　(1)A∩B仍是一个集合，A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素，同时A与B的公共元素都属于A∩B． (2)“且”字的意义：A∩B中的元素既属于A，又属于B． (3)两个集合A与B没有公共元素不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 2．对并集概念你是怎样理解的？ [提示]　(1)A∪B仍是一个集合，A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成． (2)“或”字的意义：并集中的“或”与生活中的“或”字含义不同，生活中的“或”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定互相排斥． “x∈A或x∈B”包括三种情况，如图所示． x∈A，且x∉B　x∈A，且x∈B　x∉A，且x∈B (3)求集合A与B的并集时，公共元素只能算一次(元素的互异性)． 3．本节课求参数时常见的解题误区是什么？ [提示]　由交集、并集的关系求解参数时漏掉对空集的讨论产生错误． 课时分层作业(四)　交集与并集 一、选择题 1．已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0}　　 B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} A　[因为A＝{x|－<2，所以A∩B＝{－1，0}． 故选A．] 2．已知集合A＝{1，3，5，7，14}，B＝{x|3<x≤15}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[A∩B＝{5，7，14}，故选B．] 3．已知集合M＝{0，4}，N＝{x|0<x<5}，则M∪N＝(　　) A．{4} B．{x|0≤x<5} C．{x|0<x<4} D．{x|0<x<4}∪{5} B　[由题意结合并集的定义可得M∪N＝{x|0≤x<5}．故选B．] 4．已知集合A＝{1，3}，B＝{1，2，m}，若A∩B＝{1，3}，则A∪B＝(　　) A．{1，2}　 B．{1，3} C．{1，2，3}　 D．{2，3} C　[∵A∩B＝{1，3}，∴3∈B，∴m＝3，∴B＝{1，2，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．故选C．] 5．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋b}，且A∩B＝{(2，5)}，则(　　) A．a＝3，b＝2 B．a＝2，b＝3 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3 B　[∵A∩B＝{(2，5)}， ∴解得a＝2，b＝3，故选B．] 二、填空题 6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________． {1，3}　[A∩B＝{1，2，3}∩{y|y＝2x－1，x∈A} ＝{1，2，3}∩{1，3，5}＝{1，3}．] 7．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________． R　{x|－1<x≤1或4≤x<5}　[借助数轴可知， A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． ] 8．设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围是________． (－∞，2]　[由M∪N＝M得N⊆M， 当N＝∅时，2t＋1≤2－t，即t≤， 此时M∪N＝M成立； 当N≠∅时，借助数轴可得 解得<t≤2． 综上可知，实数t的取值范围是(－∞，2]．] 三、解答题 9．(源自苏教版教材)学校举办了排球赛，高一(1)班45名同学中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛，班上有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中，高一(1)班共有多少名同学没有参加过比赛？ [解]　设U＝{x|x为高一(1)班的同学}，A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为排球赛和田径赛都参加的同学}． 画出Venn图， 可知没有参加过比赛的同学有 45－(12＋20－6)＝19(名)． 所以这个班共有19名同学没有参加过比赛． 10．(多选)已知集合M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，则M可能是(　　) A．{a1，a2} B．{a1，a2，a3} C．{a1，a2，a4} D．{a1，a2，a3，a4} AC　[分析可知，集合M中必含有元素a1，a2，且不含元素a3，故选AC．] 11．设集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{0，1，2，3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是(　　) A．7　　　B．10 C．32　　　D．25 B　[因为A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}， 所以A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1，2，3}． 由x∈A∩B，可知x可取0，1； 由y∈A∪B，可知y可取－1，0，1，2，3． 所以元素(x，y)的所有结果如表所示： (x，y) y －1 0 1 2 3 X 0 (0，－1) (0，0) (0，1) (0，2) (0，3) 1 (1，－1) (1，0) (1，1) (1，2) (1，3) 所以A*B中的元素共有10个．故选B．] 12．设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围为________． (－∞，9]　[由A⊆(A∩B)，得A⊆B． 当A＝∅时，得2a＋1>3a－5，解得a<6； 当A≠∅时，得解得6≤a≤9． 综上，使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围是(－∞，9]．] 13．某网店统计了连续三天售出商品种类的情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品最少有________种． 16　29　[由题意，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种． 第二天售出但第一天未售出的商品有13－3＝10种，所以前两天共售出的商品有19＋10＝29种；根据第二天售出13种商品，第三天售出18种商品，后两天都售出的商品有4种，得第三天售出但第二天未售出的商品有18－4＝14种，当这14种商品都在第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天未售出的商品时，三天售出的商品种数最少有29种．] 14．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}． (1)若A∩B＝A∪B，求a的值； (2)若∅⊆(A∩B)，A∩C＝∅，求a的值． [解]　由已知得B＝{2，3}，C＝{2，－4}． (1)由于A∩B＝A∪B，所以A＝B，于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由根与系数的关系，得解得a＝5，经检验，符合题意，从而a的值为5． (2)由于∅⊆(A∩B)，所以2或3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．又A∩C＝∅，所以2，－4都不是方程x2－ax＋a2－19＝0的解．所以3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，则有9－3a＋a2－19＝0，所以a＝－2或a＝5．当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}与2∉A矛盾，所以a＝5舍去．当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意，所以a的值为－2． 15．已知集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋a2＝0}，B＝{x|x2－x＝0}，是否存在实数a，使A，B同时满足下列三个条件：①A≠B；②A∪B＝B；③∅⊆(A∩B)？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． [解]　假设存在实数a使A，B满足题设条件，易知B＝{0，1}． 因为A∪B＝B，所以A⊆B，即A＝B或A⊆B． 由条件①A≠B，知A⊆B． 又∅⊆(A∩B)，所以A≠∅，即A＝{0}或{1}． 当A＝{0}时，将x＝0代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0， 得a2＝0，解得a＝0． 经检验，当a＝0时，A＝{0，3}，与A＝{0}矛盾，舍去． 当A＝{1}时，将x＝1代入方程x2－(a＋3)x＋a2＝0， 得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2． 经检验，当a＝－1时，A＝{1}，符合题意； 当a＝2时，A＝{1，4}，与A＝{1}矛盾，舍去． 综上所述，存在实数a＝－1，使得A，B满足条件． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $