广东东莞市2025-2026学年第二学期教学质量自查高二数学试卷

2025—2026学年度第二学期教学质量自查 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．函数在处的导数是（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．2封不同的书信有3个不同的邮筒可投，不同投法的种数有（ ） A．9 B．8 C．6 D．5 3．已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A． B． C． D． 4．如图，设有直线和圆，当从开始在平面内绕点匀速转动时（角速度不变且转动角度不超过），直线扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 5．某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表： 广告费用（万元） 2 3 4 5 销售额（万元） 39 49 54 根据上表可得经验回归方程，则的值为（ ） A．26 B．27 C．28 D．28.5 6．若二项式（）的展开式中存在常数项，则的最小值为：（ ） A．14 B．10 C．7 D．5 7．袋中有5个白球，3个黑球，从中依次取球，当取出两个相同颜色的球时停止取球，记为取出球的总数．若每次取球后不放回，则的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑。 9．下列关系式正确的有（ ） A． B． C． D． 10．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 11．生物医学研究中，常通过随机对照试验评估一种新药对某种疾病的预防效果．为评估一种新药对某种疾病的预防效果，研究人员对某种动物群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 用药 5 45 50 未用药 25 25 50 合计 30 70 100 从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物．记事件发生与不发生的概率之比为；记在事件发生的条件下，事件发生与不发生的概率之比为．根据以上定义及表中数据，下列说法正确的有（ ） A．的估计值为 B．的含义为用药可能降低发病风险 C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填在答题卡的相应位置上。 12．在的展开式中，的系数为________（请用数字作答）． 13．随机选择一个有两个孩子的家庭，如果已知这个家庭有孩子的生日在星期一，则该家庭两个孩子的生日都在星期一的概率为________． 14．设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 15．（本小题满分13分） 人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取，两种模型各50次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，其部分统计数据如下表． 有效生成 无效生成 合计 模型 10 模型 20 合计 30 （1）完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，估计利用大模型随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断文本生成效果与模型类型有关？ 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）当时，求在区间上的最大值． 17．（本小题满分15分） 一个口袋中有3个红球，4个白球，这7个小球除颜色外均相同．每次同时摸2个球，若摸到的2个球中至少有1个红球，则该次摸球中奖． （1）若有放回地连续摸3次，求中奖次数的分布列及数学期望； （2）若不放回地连续摸2次，求第2次中奖的概率． 18．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，且，求实数的取值范围； （3）当时，证明：． 19．（本小题满分17分） 某选手参加知识闯关比赛，比赛按轮次进行．每一轮比赛系统随机分配一道基础题或拓展题，分配到基础题的概率为，分配到拓展题的概率为．已知该选手答对基础题的概率为，答对拓展题的概率为，且各轮次答题结果相互独立． （1）若规定比赛轮次为10轮，记该选手答对轮次总数为，求为何值时概率最大； （2）若规定连续两轮答题均答错，比赛立即终止．记为该选手在第个轮次比赛后，比赛还未结束的概率． ①求，； ②若对系统分配题目进行设置，在完成第个轮次比赛后，当时，系统停止分配题目，求该选手最多能进行多少个轮次的比赛． 2025—2026学年度第二学期教学质量自查 高二数学 参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A C C B 二、多项选择题（全部选对的得6分，选对但不全的部分得分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABC 三、填空题 12．1 13． 14．0 四、解答题 15．解：（1）由已知得列联表： 有效生成 无效生成 合计 模型A 40 10 50 模型B 30 20 50 合计 70 30 100 3分 由表格知，模型A共生成50次，其中有效生成40次， 所以随机生成1次文本，文本生成效果为有效生成的频率为， 5分 根据频率估计概率，利用模型A随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率． 7分 （2）零假设：文本生成效果与模型类型无关， 8分 计算得， 12分 依据小概率值的独立性检验，有充分的证据推断不成立， 即能推断文本生成效果与模型类型有关． 13分 16．解：（1）当时，， 1分 求导得， 3分 所以，， 5分 所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为 6分 （2）由题知，， 求导得， 7分 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 8分 即在上单调递增， 计算得，， ①当，即时， 恒成立， 所以在上单调递增， 10分 ②当，即时， 因为，， 所以，存在唯一使得， 11分 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 12分 因为，， 13分 ． 14分 综上所述，函数在区间的最大值． 15分 17．解：（1）设“有放回地每次同时摸2个球中奖”为事件A， 1分 则事件A包含摸到的两个球均为红球，或摸到的两个球均为一红一白两类情形， 2分 由古典概型得，， 4分 由题意得X的所有可能的取值为0，1，2，3， 5分 则， 所以， ， ， ， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 9分 所以X的数学期望 10分 （2）设“不放回地第i次摸2个球中奖”为事件，则， 11分 由全概率公式得 ， 14分 所以不放回地连续摸2次，第2次中奖的概率为 15分 18．解：（1）由题得，， 2分 ①当时，恒成立， 所以在单调递减； 3分 ②当时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 5分 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 6分 （2）函数在处取得极值， 所以，且，解得， 7分 由，得， 8分 令，，则， 9分 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 10分 所以， 11分 即． 12分 （3）证明：令， 由（2）知在上单调递减，则在上单调递减， 13分 因为， 所以，即， 15分 因为，所以， 又因为， 所以． 17分 19．解：（1）设事件“分配到基础题”，则“分配到拓展题”，事件“在一个轮次中答题正确”，由题意得，，，， 1分 所以， 3分 由题意得，可得，， 4分 所以， 当时，得；由得； 所以， 所以当时概率最大 6分 （2）①设事件“该选手在第n个轮次中答题正确”，则， 当时，比赛显然不会终止，则， 当时，第1、2枪次比赛至少答对一次，则， 9分 当时，包含“第3轮答题正确，第2个轮次后比赛未结束”和“第3轮答题错误，第2轮答题正确，第1个轮次后比赛未结束”两类，则， 11分 ②设事件“第n个轮次后比赛未结束”， 当时，第n个轮次后比赛未结束有两种情况： （i）第n轮答题正确，且第个轮次后比赛未结束； （ii）第n轮答题错误，且第轮答题正确，且第个轮次后比赛未结束． 所以，则， 所以，，且，， 13分 当时，， 所以，， 14分 又因为， 所以为单调递减数列， 15分 经计算，， 16分 所以该选手最多能进行6个轮次的比赛 17分 学科网（北京）股份有限公司 $